Invertierbarkeit von Matrizen

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gessi Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbarkeit von Matrizen
Ich habe folgende Aufgabe:

Voraussetzungen: A ist nXn-Matrix über Körper K, I ist die Einheitsmatrix und , i{1,...,n} der i-te Einheitsvektor als Spalte aufgefasst. Zeigen Sie:

a) A ist genau dann invertierbar, wenn sich A durch elementare Zeilenumformungen in I überführen lässt.

b) Die nX(n+1)-Matrix (A ) lässt sich genau dann durch elementare Zeilenumformungen in eine Matrix der Form (I b) mit b überführen, wenn A invertierbar ist und b die i-te Spalte der zu A inversen Matrix A^(-1) ist.

c) Die nX(2n)-Matrix (A I) lässt sich genau dann durch elementare Zeilenumformungen in eine Matrix der Form (I B) mit B nXn-Matrizen überführen, wenn A invertierbar und B = A^(-1) ist.

Meine Gedanken dazu:

zu a) Ich weiß, dass eine nXn-Matrix, die den Rang n hat, invertierbar ist. Kann ich dann sagen, dass eine nXn- Matrix, die sich in die Einheitsmatrix überführen lässt, automatisch den Rang n hat? Bzw. wenn sie den Rang n hat, sich in die Einheitsmatrix überführen lässt? Wenn das so ist, wäre ich fertig, oder?

zu b) (A ) sieht so aus: .

Hab ich das richtig verstanden, dass auch in der i-ten Spalte stehen muss? Oder steht er irgendwo am Ende?

Da A den invertierbar ist, hat sie den Rang n. (I b) sieht aus, wie wenn man ein inhomogenes LGS als Matrix schreibt und auf Zeilenstufenform gebracht hat.
A^(-1) sieht ähnlich aus wie A, nur dass sich die Koeffizienten natürlich geändert haben, außerdem stehen in der i-ten Zeile , ...,

Bei dieser Aufgabe weiß ich überhaupt nicht, wie ich dran gehen soll.

zu c) Ich habe ja (A I) soll zu (I B) umgeformt werden und das geht genau dann, wenn A invertierbar und B = A^(-1) ist.
Das erinnert mich an die Methode, wie man die inverse Matrix findet: Man schreibt A und I nebeneinander und formt so um, dass A zu I wird, die ursprüngliche Einheitsmatrix wird dann zu A^(-1). Letzten Endes ist es doch gerade die Methode, die hier bewiesen wird, oder?
Ich weiß aber nicht genau, warum es so geht.
Ich weiß, dass A * X = I. X ist letztendlich A^(-1). Aber was bringt mir das genau?


Sollte es zu dem Thema schon irgendwo was geben, dann sagt mir bitte wo, mit der Suche habe ich es nicht gefunden.

Wäre echt super, wenn mir jemand hier helfen könnte smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hab da jetzt nicht über alles geschaut, aber ein paar anmerkungen:
(A x) ist üblicherweise die matrix A um die x-spalte erweitert und zwar ganz rechts; der ei-vektor steht also außen

zu a) warum so kompliziert
elementare zeilenumformungen entsprechen matrizenmultiplikationen von links mit elementarmatrizen
umformbarkeit zu I heißt dann also:
1. schritt: C1(A)
2. schritt: C2*(C1*A)
3. schritt: C3*[C2*(C1*A)]
jetzt denkst mal an das assoziativgesetz und wo da irgendwann die inverse schon dasteht
 
 
Gessi_S Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du unter Elementarmatrizen? Und was ist C1 bis C3?
MisterMagister Auf diesen Beitrag antworten »

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