Minimalpolynom

18.05.2008, 11:40

Kalle8

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Minimalpolynom

Guten Tag,

ich hab bei dieser Aufgabe Probleme. Vielleicht kann mir ja einer helfen.

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ der Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, i) \end{eqnarray*}$ .

Wie bestimmt man den Grad $\begin{eqnarray*} [K:\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ und das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+ i \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

18.05.2008, 12:30

therisen

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Hallo,

zunächst mal solltest du den Grad berechnen. Das erledigst du mit der Gradformel und durch sukzessives Bestimmen von Minimalpolynomen (der Grad des Minimalpolynoms gibt den Grad der jeweiligen einfachen Körpererweiterung an).

Gruß, therisen

18.05.2008, 12:36

Kalle8

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Ist denn $\begin{eqnarray*} [K:\mathbb{Q}] = 8 \end{eqnarray*}$ .
Da die Minimalpolynome von den drei Ausdrücken jeweils den höchsten Grad 2 haben?

18.05.2008, 12:49

therisen

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Das ist richtig. Kannst du das auch beweisen? (Ein Schritt ist nichttrivial. Welcher?)

18.05.2008, 13:19

Kalle8

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Meinst du mit dem $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ?
Denn es könnte ja auch ein Polynom mit Grad kleiner als 4 geben.

18.05.2008, 13:37

therisen

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Zitat:

Original von Kalle8
Meinst du mit dem $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, genau das meine ich.

Zitat:

Original von Kalle8
Denn es könnte ja auch ein Polynom mit Grad kleiner als 4 geben.

Wieso Grad 4? Es gilt doch nur zu entscheiden, ob $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3):\mathbb Q(\sqrt 2)]=2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3):\mathbb Q(\sqrt 2)]=1 \end{eqnarray*}$ . Anders formuliert: Gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt3\in\mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ ? Beweis?

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18.05.2008, 13:52

Kalle8

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Ok... das hab ich soweit verstanden. smile

smile

Gilt dann auch für das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+i\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ hat den höchsten Grad 8, oder musst der Grad nur kleiner als 8 sein ?

18.05.2008, 14:02

therisen

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Interessanterweise hat das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+i\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ den Grad 4. Es ist nicht schwer, dieses zu bestimmen.

18.05.2008, 14:50

Kalle8

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Also ich hab $\begin{eqnarray*} f = x^4+2x^2+25 \end{eqnarray*}$ . Dies passt. Ich hab probiert, ob es ein Polynom niedrigeren Grades dies erfüllt.

18.05.2008, 14:55

therisen

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Richtig.

19.05.2008, 14:49

system-agent

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Da sich der Thread wohl soweit für den Fragesteller erledigt hat, möchte ich das nutzen um eine Frage zu stellen:

Zum Nachweis, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}\notin\mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ .
Mir ist klar, dass $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt{2}):\mathbb Q]=2 \end{eqnarray*}$ und daher ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ein zweidimensionaler Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Das heisst es muss eine Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B=\{v_1,v_2\} \end{eqnarray*}$ geben und dann wird gesagt dass für die Basis $\begin{eqnarray*} v_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist und dann ein Widerspruch hergeleitet für die Annahme, dass doch $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}\in\mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ . Soweit so gut, nur ich habe mir die Frage gestellt wieso man notwendig weiss, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal B=\{1,\sqrt{2}\} \end{eqnarray*}$ eine Basis ist.
Ich meine zunächst hat man ja nur einmal
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2})=\mathbb Q[x]/<x^2-2> \end{eqnarray*}$

Heisst das, man kann eine Basis von
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x]/<f(x)> \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ irreduzibel)
immer dadurch bekommen, indem man die Wurzeln des Polynoms nimmt?

19.05.2008, 14:58

therisen

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Zitat:

Original von system-agent
Soweit so gut, nur ich habe mir die Frage gestellt wieso man notwendig weiss, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal B=\{1,\sqrt{2}\} \end{eqnarray*}$ eine Basis ist.

Der $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt2) \end{eqnarray*}$ ist 2-dimensional. Daher genügt es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \{1,\sqrt2\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist. Das ist aber leicht einzusehen.

Eine Basis findet man i.d.R. dadurch, dass man zunächst die Dimension bestimmt und dann von den erzeugenden Elementen der Erweiterung Produkte/Inverse etc. bildet, bis man ein maximales linear unabhängiges System hat.

EDIT: Alternativ kann man auch das Bild des Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]\to\mathbb C, f\mapsto f(\sqrt2) \end{eqnarray*}$ untersuchen. Das ist ja gerade $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt2) \end{eqnarray*}$ .

19.05.2008, 15:05

system-agent

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OK, wunderbar.

19.05.2008, 20:24

system-agent

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Zitat:

Original von therisen

EDIT: Alternativ kann man auch das Bild des Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]\to\mathbb C, f\mapsto f(\sqrt2) \end{eqnarray*}$ untersuchen. Das ist ja gerade $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt2) \end{eqnarray*}$ .

Ja genau, das war das Problem. Ich weiss nie wirklich wie man eine Basis finden kann, gerade wenn die Dimension bischen grösser ist zb. für $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$
Man hat doch $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb Q]=4 \end{eqnarray*}$ , wegen
$\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb Q]=\underbrace{[\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb Q(\sqrt{2})]}_{=2}\cdot\underbrace{[\mathbb Q(\sqrt{2}):\mathbb Q]}_{=2} \end{eqnarray*}$ ?

Dann soll man $\begin{eqnarray*} \mathcal B=\{v_1,...,v_4\} \end{eqnarray*}$ eine Basis finden. Ich meine klar ist $\begin{eqnarray*} v_1=1 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} \mathbb Q\subset\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ .

Und wegen
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2})=\mathbb Q[x]/<x^2-2> \end{eqnarray*}$
kann man $\begin{eqnarray*} v_2=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ nutzen. Ähnlich für $\begin{eqnarray*} v_3=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , weil
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{3})=\mathbb Q[x]/<x^2-3> \end{eqnarray*}$ .

Nun habe ich gesehen, dass $\begin{eqnarray*} v_4=\sqrt{6} \end{eqnarray*}$ ist, aber wie kommt man am besten darauf? Lediglich durch ausprobieren?

Wie soll man dies in dem Fall mit dem Einsetzungsmorphismus machen?

19.05.2008, 21:14

therisen

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Zitat:

Original von system-agent
Nun habe ich gesehen, dass $\begin{eqnarray*} v_4=\sqrt{6} \end{eqnarray*}$ ist, aber wie kommt man am besten darauf? Lediglich durch ausprobieren?

Ein wenig Ausprobieren und Intuition. Das erspart einem viel Arbeit.

Zitat:

Original von system-agent
Wie soll man dies in dem Fall mit dem Einsetzungsmorphismus machen?

Das ist nicht so einfach, da es sich um keine einfache Erweiterung handelt. Ich empfehle den obigen Weg (Intuition).

19.05.2008, 21:15

system-agent

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Alles klar, dann werd ich mir mal mit Aufgaben ein bischen Intuition antrainieren smile

smile

19.05.2008, 21:18

therisen

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Übrigens ist es manchmal durchaus schwierig zu entscheiden, ob eine Erweiterung Grad 1 oder 2 hat (im Fall von $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt3 \end{eqnarray*}$ war es sehr einfach).

19.05.2008, 21:21

system-agent

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Hättest du ein solches Beispiel?

19.05.2008, 21:28

therisen

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Zwei etwas (nicht viel) schwerere Beispiele:

Gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{2-\sqrt2}\in\mathbb Q\left(\sqrt{2+\sqrt2}\right) \end{eqnarray*}$ ?

Gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1+\sqrt3}\in\mathbb Q\left(i\sqrt{1+\sqrt3}\right) \end{eqnarray*}$ ?

19.05.2008, 21:48

system-agent

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Soweit mal zum Ersten Beispiel:
Ich habe das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2+\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet und gefunden, dass dieses
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4-4x^2+2 \end{eqnarray*}$
ist. Damit ist dann auch $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt{2+\sqrt{2}}):\mathbb Q]=4 \end{eqnarray*}$

Dann hat man, dass auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{2-\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ eine Wurzel davon ist, daher setze ich mal
$\begin{eqnarray*} v_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2=\sqrt{2+\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_3=\sqrt{2-\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
und als Produkt der beiden
$\begin{eqnarray*} v_4=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Ich habe noch nicht nachgewiesen, dass dies wirklich eine Basis ist, aber ist das schonmal OK soweit? Falls ja, dann ist gezeigt, dass deine Behauptung wahr ist.

Edit:
Falls ich das mit dem Einsetzungsmorphismus machen will, kann ich dann so argumentieren, dass zb für $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ der Morphismus $\begin{eqnarray*} g(\sqrt{2+\sqrt{2}})=2+\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ liefert und weil $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\notin\mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann soll man dies als ein Basisvektor nehmen?

19.05.2008, 23:24

therisen

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Zitat:

Original von system-agent
Ich habe noch nicht nachgewiesen, dass dies wirklich eine Basis ist, aber ist das schonmal OK soweit? Falls ja, dann ist gezeigt, dass deine Behauptung wahr ist.

Naja, um zu zeigen, dass das eine Basis ist, musst du erstmal beweisen, dass $\begin{eqnarray*} v_3\in\mathbb Q\left(\sqrt{2+\sqrt2}\right) \end{eqnarray*}$ . Du bist also noch keinen Schritt weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von system-agent
Falls ich das mit dem Einsetzungsmorphismus machen will, kann ich dann so argumentieren, dass zb für $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ der Morphismus $\begin{eqnarray*} g(\sqrt{2+\sqrt{2}})=2+\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ liefert und weil $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\notin\mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann soll man dies als ein Basisvektor nehmen?

Wozu brauchst du da einen Einsetzungsmorphismus? Da man stets $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ in die Basis aufnimmt (oder ein skalares Vielfaches davon), darf natürlich kein weiterer Basisvektor ebenfalls in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ liegen.

20.05.2008, 14:34

system-agent

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Da hast du wohl recht.

Reicht es zu sagen, dass
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)=\mathbb Q[x]/<f(x)> \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2+\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ und weil ebenfalls $\begin{eqnarray*} f(\sqrt{2-\sqrt{2}})=0 \end{eqnarray*}$ , folgt die Behauptung?

20.05.2008, 15:48

therisen

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Nein, das klappt nicht. Nur weil du eine Nullstelle adjungierst, erhältst du noch lange keinen Zerfällungskörper.

20.05.2008, 18:11

system-agent

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Ja, sehe ich ein.

Also dann mal auf die experimentelle Tour:
Sicher
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2+\sqrt{2}}\in\mathbb Q\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)=:K \end{eqnarray*}$
und weil $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper, dann muss auch
$\begin{eqnarray*} K\ni\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^2=2+\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , das heisst also $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\in K \end{eqnarray*}$ .

Nun aus dem gleichen Grund muss
$\begin{eqnarray*} K\ni\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=...=\sqrt{2-\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
das heisst dann
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2-\sqrt{2}}\in K \end{eqnarray*}$

Also wenn ich das nun habe, dann kann ich wie oben die Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B=\{v_1,...,v_4\} \end{eqnarray*}$ setzen. Um die lineare Unabhängigkeit zu überprüfen, muss ich da mit der Definition herangehen, also
$\begin{eqnarray*} a\cdot1+b\cdot\sqrt{2+\sqrt{2}}+c\cdot\sqrt{2-\sqrt{2}}+d\cdot\sqrt{2}=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b,c,d\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ und dann mittels Umformungen $\begin{eqnarray*} a=b=c=d=0 \end{eqnarray*}$ folgern oder gibts da einen nicht so mühsamen Weg der mir entgangen ist?

20.05.2008, 18:27

therisen

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Alles richtig. Nein, du hast nichts übersehen. Man muss den mühsamen Weg gehen.

12.05.2010, 18:23

Betzi

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Da ich z.Zt. ein ähnliches Problem habe, hab ich den Thread wieder hochgeholt.

Ich soll die Dimension von:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt{2}) (\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt{2}) (\sqrt{1 +\sqrt{2} }) \end{eqnarray*}$

herausfinden.

In der Vorlesung habe ich diese Formel auf Seite 1 um die Dimension herauszufinden noch nicht bekommen und ich versteh sie auch nicht. Also blieb mir nur übrig eine Basis durch Intuition zu finden.

Ich bin auch auf 1, $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (\sqrt{6}) \end{eqnarray*}$ gekommen, frage mich allerdings warum nicht auch $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2/3}) \end{eqnarray*}$ mit in der Basis liegt? Wenn man $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ dividiert, kommt man doch noch auf diese Variante?
Beim zweiten Körper würde ich es auf ähnlichem Wege probieren.
Kann mir jemand behilflich sein, wäre sehr dankbar.

14.05.2010, 10:20

Zephyr

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hab die selbe aufgabe und das selbe problem Big Laugh

Big Laugh

ne antwort wäre kuhl ^^

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