Darstellungsmöglichkeiten von PI

20.01.2006, 16:15

Steve Sislay

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Darstellungsmöglichkeiten von PI

Hallo, ich bin noch ganz neu hier!!!
Schönes Board habt ihr!

Ich wollte mal fragen welche Darstellungsmöglichkeiten von PI ihr kennt???!

Also mit welchen mathematischen Formeln man Pi berechnen kann...
Ich habe mir 2 erarbeitet, die ich aber erst veröffentlichen möchte wenn ich ein paar von euch gesehen habe^^

Danke für euer Feedback!

Ps kennt jemand ein gutes Programm zur Primzahlenberchnung???

20.01.2006, 16:36

therisen

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Hallo,

zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \pi \approx \frac{4}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{\cdots}}}} \end{eqnarray*}$

EDIT: Danke @ papahuhn

Gruß, therisen

20.01.2006, 16:43

Steve Sislay

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Hübsch Hübsch!
Kann man die auch als $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~(...) \end{eqnarray*}$ darstellen???

Mfg Steve

20.01.2006, 16:49

papahuhn

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Zitat:

Original von therisen
Hallo,

zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \pi = \frac{4}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{\cdots}}}} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

Nanu? Ich dachte, für Pi erkennt man keine Regelmäßigkeit in der Kettenbruchdarstellung?!?

20.01.2006, 16:58

Leopold

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Es gibt so viele verschiedene Formeln für $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , vom Altertum (Archimedes) über die Inder (Nilakantha) und die Hochzeit der europäischen Analysis (Euler et alii) bis in die heutige Zeit (Borwein et alii). So ist zwar nicht ausgeschlossen, daß du eine ganz neue Formel gefunden hast ("ganz neu" meint, daß sie nicht nur eine irgendwie geartete Variante einer schon bekannten Formel ist), die Wahrscheinlichkeit dafür ist aber wohl in der Größenordnung von $\begin{eqnarray*} p = 10^{-5} \end{eqnarray*}$ .

20.01.2006, 17:04

therisen

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Zitat:

Original von papahuhn
Nanu? Ich dachte, für Pi erkennt man keine Regelmäßigkeit in der Kettenbruchdarstellung?!?

Du hast recht, siehe mein Edit.

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20.01.2006, 17:13

Leopold

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therisen, das war doch richtig.

Und hier weitere Kettenbrüche aus verschiedenen Epochen:

$\begin{eqnarray*} \pi = \frac{4}{1+\frac{2}{7 + \frac{1 \cdot 3}{8 + \frac{3 \cdot 5}{8 + \frac{5 \cdot 7}{8 + \ldots}}}}} \end{eqnarray*}$

(Euler, 1783)

$\begin{eqnarray*} \pi = 3 + \frac{1^2}{6 + \frac{3^2}{6 + \frac{5^2}{6 + \frac{7^2}{6 + \ldots}}}} \end{eqnarray*}$

(Lange, 1999)

20.01.2006, 17:33

papahuhn

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Also was denn nun; sind das exakte Darstellungen oder Näherungen? Wenn das nur Näherungen sind, frage ich mich, wofür man da unendliche Kettenbrüche nimmt. Näher an Pi kommt man mit mehr Iterationen irgendwann auch nicht.

20.01.2006, 17:43

Leopold

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Wie immer, wenn Pünktchen im Spiel sind, ist hier natürlich der Limes der entsprechenden Zahlenfolge gemeint. Das ist aber auch bei Reihen nicht anders. Beim konkreten Rechnen muß man natürlich irgendwo abbrechen und erhält einen Näherungswert, z.B.

$\begin{eqnarray*} \pi \approx \frac{4}{1+\frac{2}{7 + \frac{1 \cdot 3}{8 + \frac{3 \cdot 5}{8 + \frac{5 \cdot 7}{8}}}}} \end{eqnarray*}$

20.01.2006, 17:47

Steve Sislay

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Das mit dem Kettenbrüchen kannte ich auch noch nicht, danke aber das ich es kennenlernen durfte!

Kennt ihr vielleicht noch mehr Weg?
Dabei interessieren mich aber wenige die historischen Hintergründe etc.
Ich halte mehr von kreativer Mathematik als von Lehrbuchorgien aber trotzdem nett von euch...

20.01.2006, 17:56

Leopold

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Literatur:

Jörg Arndt, Christoph Haenel
$\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , Algorithmen, Computer, Arithmetik
Springer-Verlag Berlin Heidelberg

Da findest du hunderte von Formeln und Berechnungsmethoden.

20.01.2006, 17:57

papahuhn

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Zitat:

Original von Leopold
Wie immer, wenn Pünktchen im Spiel sind, ist hier natürlich der Limes der entsprechenden Zahlenfolge gemeint. Das ist aber auch bei Reihen nicht anders. Beim konkreten Rechnen muß man natürlich irgendwo abbrechen und erhält einen Näherungswert

Es geht mir nicht darum, was ein Kettenbruch ist. Ich meine gehört zu haben, dass Pi keine regelmäßige Kettenbruchdarstellung hat. Also ist z.b. der Kettenbruch von Lange nicht exakt Pi sondern irgendetwas nahe an Pi. Bei Gebilden, deren Grenzwert exakt Pi ist, würde es Sinn machen, so viele Iterationen durchzuführen wie man kann. Aber falls der Kettenbruch eh nicht exakt Pi ergibt, kann man auch nicht sagen unbedingt behaupten, dass der Grenzwert des Bruchs besser ist als der gleiche Bruch ausgewertet bis zur Tiefe 1000. Also warum ein unendlicher Kettenbruch.

Ps: Hab gerade ein Script geschrieben das mit den Bruch auswertet. Das Ding muss ja verdammt nahe an Pi sein. Nach 50000 Iterationen liegt die Differenz unter Maschinengenauigkeit.

20.01.2006, 18:01

Leopold

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Zitat:

Original von papahuhn
Ich meine gehört zu haben, dass Pi keine regelmäßige Kettenbruchdarstellung hat.

Das stimmt auch. Ich glaube das Problem läßt sich lösen, wenn du einmal bei Wikipedia oder ähnlich nachschaust, wie eine regelmäßige Kettenbruchentwicklung definiert ist.

20.01.2006, 18:12

Steve Sislay

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Nagut ich Stelle euch meine Methode einfach mal vor und ihr könnt Stellung dazu nehmen...
Allerdings möchte ich erstmal keine Näheren Erläuterungen dazu abgeben...
Vielleicht schafft ihr es ja selbst diese Formel nachzuvollziehen!

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n~ \sqrt{(2/n)^2+(\sqrt{1-(-1+2i/n)^2}-\sqrt{1-(-1+2(i-1)/n)^2})^2} = \pi \end{eqnarray*}$

Gibt es diese Formel schon?

Mfg

Kann mir jemand eine guten Rechner für Windows empfehlen?

20.01.2006, 18:31

20_Cent

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sag mal, bist du sicher, dass da $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ rauskommt?

also derive bekommt das jedenfalls nicht hin...

mfg 20

20.01.2006, 18:34

Steve Sislay

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Ich kann das mit meinen Casio Classpad bis n=40 rechnen...
darum wollte ich ja mal wissen ob ihr mir ein passendes Programm für den rechner empfehlen könnt!

Aber ja, die Lösung ist tatsächlich Pi!

20.01.2006, 18:38

20_Cent

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wert für n=10000: 3.141605212

sieht ganz gut aus...

aber den grenzwert kann kann derive nicht berechnen...

mfG 20

edit:
wert für 100000: 3.145825620

also zu groß... ich denke nicht, dass da $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ rauskommt.

20.01.2006, 18:50

Steve Sislay

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mhmm kannst du es noch fortführen???

20.01.2006, 18:51

20_Cent

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ich bin dabei... als physikstudent sage ich aber vorraus, dass es nicht passt *g*
kann mich natürlich auch irren...

mfG 20

20.01.2006, 18:57

Leopold

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Mein CAS (LiveMath) liefert für $\begin{eqnarray*} n = 1000000 \end{eqnarray*}$ den Wert

$\begin{eqnarray*} 3{,}1415926527581 \end{eqnarray*}$

Das sieht also ganz gut aus. Die Art des Ausdrucks deutet darauf hin, daß er durch Berechnung einer Riemannschen Summe für ein Integral entstanden ist. Wenn es denn so wäre, könnte er nicht als neues Berechnungsverfahren durchgehen, sofern das Integral bekanntermaßen den Wert $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ hat.

20.01.2006, 18:59

Steve Sislay

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Normalerweise müsste es das gleiche sein wie

$\begin{eqnarray*} 2\int_{-1}^{1}~\sqrt{1-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Moment mal, ich bin 13te Klasse Mathe-Grundkurs!
Wer oder was ist eine Riemannschen Summe?

20.01.2006, 19:16

Leopold

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Einfach einmal googeln oder wikipedieren.

20.01.2006, 19:58

20_Cent

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hmm... derive sagt was anderes... blödes derive, ich werde mich in zukunft nur noch auf meinen kopf verlassen *g*

für 1000000: 3.993118330 + 0.01523597961·i (i ist die imaginäre einheit)

mfG 20

20.01.2006, 21:46

Leopold

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Da das so weit weg vom wahren Ergebnis ist, habe ich den Verdacht, daß nicht Derive sich irrt, sondern jemand anders. Vielleicht eine Klammer falsch gesetzt oder ein Quadrat falsch positioniert oder eine Wurzel vergessen oder statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ an einer Stelle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ geschrieben oder ein Pluszeichen versehentlich als Minuszeichen geschrieben oder ...

21.01.2006, 06:21

20_Cent

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ich habe das gerade nochmal komplett neu eingetippt, für 1000000 kommt immer noch genau 3.993118330 + 0.01523597961·i raus.
Entweder derive spinnt (ich misstraue derive schon ein bisschen, es hat sich schon ein paarmal ziemlich vertan...), oder die formel ist falsch.
mfG 20

PS: Das Integral ist $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , das kann derive auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.01.2006, 08:44

Steve Sislay

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Naja eine andere die ich noch sehr interessant finde ist diese hier:
(habe ich mir allerdings nicht selber hergeleitet)

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac{n!*e^n}{n^n*\sqrt{2n}})^2=\pi \end{eqnarray*}$

21.01.2006, 14:32

Lazarus

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John Machin hat mal damit die ersten 100 nachkommastellen von pi berechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4}=4\cdot\arctan{\frac{1}{5}}-\arctan{\frac{1}{239}} \end{eqnarray*}$

is doch auch ganz nett oder?

andere möglichkeit wäre evtl. eine taylorreihe zu entwickeln für den arcsin an der stelle x=1
dann sollte dann pi/2 rauskommen. bei genügender genauigkeit ist das doch was oder?

servus

21.01.2006, 15:29

Mathespezialschüler

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Wie könnt ihr denn einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\pm\ldots \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots \end{eqnarray*}$

vergessen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

21.01.2006, 18:25

papahuhn

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von papahuhn
Ich meine gehört zu haben, dass Pi keine regelmäßige Kettenbruchdarstellung hat.

Das stimmt auch. Ich glaube das Problem läßt sich lösen, wenn du einmal bei Wikipedia oder ähnlich nachschaust, wie eine regelmäßige Kettenbruchentwicklung definiert ist.

Ah stimmt, der Zähler sollte immer Eins sein. Dann hat sich das erledigt. smile

smile

21.01.2006, 18:50

therisen

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Wie wäre es noch mit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}=\frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!}{(n!)^4}\cdot \frac{(1103+26390n)}{396^{4n}} \end{eqnarray*}$

Wer möchte das nachprüfen *g*?

Gruß, therisen

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