Ein Argument für die konstruktivistische Mathematik?

21.01.2006, 00:46

therisen

Ein Argument für die konstruktivistische Mathematik?

Hallo,
mit folgendem Problem wurde ich heute konfrontiert:

Sei $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ die Menge aller Wörter, die im Duden stehen inklusive dem Zahlwort "15" und $\begin{eqnarray*} S \subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Menge aller natürlichen Zahlen, die sich mit Hilfe von höchstens 15 Wörtern (=>Satzbildung) $\begin{eqnarray*} w_i \in W \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \big(i=1, \ldots, 15\big) \end{eqnarray*}$ eindeutig charakterisieren lassen. Dann gilt $\begin{eqnarray*} |S| < \infty \end{eqnarray*}$ und trivialerweise ist S nicht leer. Nach dem Wohlordnungsprinzip hat dann die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \setminus S \end{eqnarray*}$ ein eindeutig bestimmtes, kleinstes Element s.

Man betrachte nun folgende Aussage: s "ist die kleinste Zahl, die sich nicht aus höchstens 15 Wörtern eindeutig charakterisieren lässt".

Dieser Satz hat 14 Wörter. Folglich müsste $\begin{eqnarray*} s \in S \end{eqnarray*}$ gelten, was aber nach Wahl von s nicht möglich ist.

Ein Argument für die konstruktivistische Mathematik? Man sollte doch meinen, dass man diesen Widerspruch irgendwie auflösen kann.

Ich bitte um Kommentare/Anregungen/Diskussionen etc.

Gruß, therisen

PS: Bitte keine Links zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz und keine Haarspaltereien wie Konjugation o.ä. Augenzwinkern

21.01.2006, 02:16

Ben Sisko

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RE: Ein Argument für die konstruktivistische Mathematik?

Zitat:

Original von therisen
Dann gilt $\begin{eqnarray*} |S| < \infty \end{eqnarray*}$

Kannst du das zeigen?

21.01.2006, 12:00

Leopold

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Man hat immer ein Problem, wenn man die Sprache der Mathematik und die Metasprache durcheinanderrührt. So wäre z.B. die Frage zu stellen: Ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ überhaupt wohldefiniert? Denn verstehen kann man das Ganze nur, wenn man des Deutschen mächtig ist. Wie will man etwa einem, der nur chinesisch spricht, aber durchaus mathematisch gebildet ist, klar machen, was $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist. Kann der Umfang einer Menge aber von der Landessprache abhängen oder existiert eine Menge nicht unabhängig davon?

Fragen über Fragen ...

21.01.2006, 13:20

therisen

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RE: Ein Argument für die konstruktivistische Mathematik?

Zitat:

Original von Ben Sisko

Zitat:

Original von therisen
Dann gilt $\begin{eqnarray*} |S| < \infty \end{eqnarray*}$

Kannst du das zeigen?

Man kann eine (sehr schlechte) Abschätzung für die Mächtigkeit von S wie folgt finden: Sei m die Mächtigkeit von W. Dann gilt $\begin{eqnarray*} |S|<\sum_{k=1}^{15} m^k<\infty \end{eqnarray*}$ .

@Leopold: Das sind interessante Aspekte, die du da nennst, aber wirklich überzeugend finde ich diese nicht. Aber ich weiß, dass man dieses Problem nicht zufriedenstellend lösen kann und deine Argumentation dürfte wohl eine der bestmöglichen sein. Wenn man sich von der Metasprache entfernen will, braucht man nur das Banach-Tarski-Paradoxon zu betrachten.
Ich finde das Ganze aber ein bisschen enttäuschend, da die Mathematik ja vor allem auch als Wissenschaft dient, die uns helfen soll, Probleme aus dem Alltag lösen zu können. Das von mir angesprochene Problem ist ja eigentlich relativ einfach und man erhofft sich eine Lösung durch die Mathematik. Ähnlich dürfte es wohl Russel mit seinen Principia Mathematica ergangen sein, als auf einmal Kurt Gödel auf die Bühne trat... Für mich jedenfalls ein Grund mehr, abstrakte Mathematik zu betreiben und sich von solchen Problemen zu distanzieren.

Gruß, therisen

21.01.2006, 14:59

4c1d

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Zitat:

Original von Leopold
Ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ überhaupt wohldefiniert?

Das habe ich mir auch gedacht. Das Problem dabei dürfte sein, dass nicht klar ist, was "eindeutig charakterisiert" eigentlich bedeutet. Definiert man eine Charakterisierung als eine Zuordnung (Abbildung) von Wortfolgen auf natürliche Zahlen (ohne den Sinn der Wortfolgen als Satz zu betrachten), dann tritt das Problem garnicht erst auf. Und wie will man eine Charakterisierung mathematisch sonst definieren? Ich sehe das analog zur Widersprüchlichkeit der naiven Mengenlehre.

19.09.2007, 17:26

karldergrosse

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Das ist das mit dem GÖDELschen Unvollständigkeitssatz eng verknüpfte BERRY-Paradoxon. Eine ausführliche Darlegung des logischen Konstruktionsfehlers gibt es hier:
http://www.unendliches.de/german/index.htm?berry.htm

19.09.2007, 18:56

WebFritzi

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RE: Ein Argument für die konstruktivistische Mathematik?

Zitat:

Original von therisen
Man betrachte nun folgende Aussage: s "ist die kleinste Zahl, die sich nicht aus höchstens 15 Wörtern eindeutig charakterisieren lässt".

Was ist jetzt der Satz? Das, was in Anführungszeichen steht, ist kein Satz. Also meinst du sicherlich den Satz

"s ist die kleinste Zahl, die sich nicht aus höchstens 15 Wörtern eindeutig charakterisieren lässt.".

s ist aber kein Wort. Allein hierüber kann man schon nachdenken...

Ich stimme Leopold zu. Wenn man an das ganze mathematisch rangehen will, dann müsste klargemacht werden, was "eindeutig charakterisieren durch Worte" bedeuten soll.

19.09.2007, 18:57

Dual Space

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RE: Ein Argument für die konstruktivistische Mathematik?
Ich denke nach über 1,5 Jahren Bedenkzeit, wird therisen die Antwort nun kennen. Augenzwinkern

19.09.2007, 19:30

WebFritzi

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Huups...

19.09.2007, 20:42

therisen

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RE: Ein Argument für die konstruktivistische Mathematik?

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von therisen
Man betrachte nun folgende Aussage: s "ist die kleinste Zahl, die sich nicht aus höchstens 15 Wörtern eindeutig charakterisieren lässt".

Das hatte ich damals etwas schlecht formuliert (ich habe mich heute auch darüber gewundert), lässt sich aber leicht "retten":

"Die kleinste Zahl, die sich nicht aus höchstens 15 Wörtern eindeutig charakterisieren lässt."

Das beschreibt dann gerade die Zahl s.

Danke übrigens an karldergrosse, der dem Paradoxon nun einen Namen gegeben hat.

Gruß, therisen

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