Überdeckungskompakt

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21.01.2006, 01:08	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
Überdeckungskompakt Hallo, ich sitze grad an einem Beweis, und zwar will ich zeigen, dass das Intervall (3,7) nicht überdeckungskompakt ist. Ist ja auch klar weil es ja eine offene Menge ist. D.h. man kann keine Vereinigung von endlich vielen Mengen finden, so dass diese gleich der Menge ist oder anders gesagt es existiert kein Mengensystem $\begin{eqnarray} \{M_ \alpha: \alpha \in I\} \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} M = \bigcup M_ \alpha \end{eqnarray}$ . Und das liegt eben daran, dass es sich um ein offenes Intervall. Hoffe ich habs so richtig verstanden und ihr habt so ungefähr verstanden was ich mein. Das Problem besteht darin, es formal auszudrücken, vielleicht kann mir da jemand helfen. Würd mich freuen, Gruß, Sheli
21.01.2006, 01:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Besser ist es, nicht von Gleichheit, sondern von einer Teilmengenbeziehung zu sprechen: $\begin{eqnarray} M\subset\bigcup M_ \alpha \end{eqnarray}$ . In beiden Fällen hast du es aber falsch verstanden. Überdeckungssatz von Heine-Borel: Eine Menge $\begin{eqnarray} M\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ ist genau dann kompakt, wenn jede ihrer offenen Überdeckungen eine endliche (Teil-)Überdeckung enthält. Du hast nun die Rückrichtung "verneint" (genauer: Du hast die Kontraposition formuliert), und zwar so: Wenn eine Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ nicht kompakt ist, dann gibt es keine einzige endliche offene Überdeckung von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Das ist falsch. Eine endliche offene Überdeckung von $\begin{eqnarray} (3,7) \end{eqnarray}$ ist z.B. gegeben durch das Mengensystem $\begin{eqnarray} \{(2,8)\} \end{eqnarray}$ . Schreibe die Rückrichtung des Überdeckungssatzes mit Quantoren und versuche anschließend, diese noch einmal richtig zu verneinen. Gruß MSS
21.01.2006, 15:38	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wäre die richtige Negation von dem Satz doch hoffentlich folgende eine Menge M ist dann nicht kompakt, wenn es eine offene Umgebung gibt, die keine endliche Teilüberdeckung enthält. das müsste ich dann ja zeigen für das Intervall (3,7). Hoffe ich habe das jetzt richtig verstanden.
21.01.2006, 15:39	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es richtig! Gruß MSS
21.01.2006, 15:47	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
Na zumindest weiss ich jetzt was ich genau zeigen muss aber das zu beweisen ist weiterhin ein problem. Wie finde ich zum Beispiel eine solche offene Umgebung, die keien endliche Teilmenge enthält?
21.01.2006, 16:04	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, da kann ich dir nicht viel helfen, außer dir die Lösung zu geben. Also: Probiers mal mit: $\begin{eqnarray} \left\{\left(3+\frac{8}{2(n+1)},3+\frac{8}{n+1}\right),n\in\mathbb N\right\} \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
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21.01.2006, 20:35	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
da wir uns im endlidemensionalen Raum befinden, gilt doch eigentlich M kompakt <=> M überdeckungskompakt <=> M beschränkt und abgeschlossen. da kann man doch einfacht sagen, dass (3,7) nicht abgeschlossen ist und fertig ists. oder? Naja, auf jeden Fall sollen wir das eigentlich mit offenen Kugeln der Art $\begin{eqnarray} B(x,r_n), n \in N \end{eqnarray}$ und mit Hilfe der Definition die wir in der Vorlesung hatten zeigen und die war $\begin{eqnarray} A:=\{M_ \alpha\| \alpha \in I \} \end{eqnarray}$ "Überdeckung von M" <=> $\begin{eqnarray} M=\bigcup M_ \alpha \end{eqnarray}$ Deshalb hab ich am anfang auch nicht Teilmenge, sondern das Gleichheitszeichen geschrieben.
21.01.2006, 22:32	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei meinem Mengensystem gilt Gleichheit. Gruß MSS
21.01.2006, 23:06	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar stimmt. Danke dir für die schnelle Hilfe

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