Berechnung des Erwartungswertes wenn n Schützen auf k Enten schießen

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michahab Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung des Erwartungswertes wenn n Schützen auf k Enten schießen
Hallo,
knoble jetzt den ganzen Tag schon an der folgenden Aufgabe:

n Schützen zielen ohne Absprache auf k Enten, X sei die Ausbeute. Jeder schießt 1x Berechne den Erwartungswert.

Ich hab mir mal so meine Gedanken gemacht.


wenn die i-te Ente getroffen wird und 0 wenn nicht.


Denn ich denke, dass ich hier doch mit der Gegenwahrscheinlichkeit rechnen muss. Ist einfacher.

Daraus folgt, dass


Jetzt hängt es irgendwie an dem Ermitteln der W'keit.

Gruß
Michael
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Obwohl du es nicht gesagt hast, nehme ich mal an, dass alle n Schützen im wahrsten Sinne des Wortes "todsichere" Schützen sind? Augenzwinkern Also 100% Trefferwahrscheinlichkeit auf ihr jeweils gewähltes Zel.

Du hast doch schon fast alles beisammen, es fehlt lediglich die Bestimmung von , hast sogar recht, dass dies direkter zu bestimmen ist als (woher dieses Gefühl: Intuition? Augenzwinkern ).

Ereignis bedeutet, dass alle Schützen auf die Ente Nr. nicht schießen, oder anders formuliert: Alle Schützen schießen nur auf die anderen Enten. Alles klar?
michahab Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Annahme mit dem "todsicheren" Schützen sehe ich auch so.
Die W'keit, dass alle n Schützen auf die k-1 anderen schießen ist doch dann

AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da hast du dich vertan.

Betrachte doch erstmal einen Schützen: Er kann auf Enten schießen, "günstig" für ist aber, wenn er nur auf davon schießt... Zur Erinnerung: Laplace-Wkt = "günstige Varianten" dividiert durch "alle Varianten".
michahab Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuchs nochmal.....

Ein Schütze kann insgesamt auf Enten schießen. Es sind aber nur Enten für günstig. Also ist

Ist es jetzt richtig? Freude ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das stimmt bei einem Schützen. Jetzt also wieder zu Schützen...
 
 
michahab Auf diesen Beitrag antworten »

Für alle n Schützen wäre das dann....



Wenn das soweit stimmen sollte, dann folgt daraus:




Ok?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Zeile ist Ok, ja. (Das Ende der vorletzten Zeile wegen Weglassens des Summenzeichens natürlich nicht.)

Jetzt noch die Summe vereinfachen, was nicht so schwierig sein sollte, da der Summand hinsichtlich des Summationsindex konstant ist.
michahab Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

da war ich in der Zeile zuvor ein wenig Schreibfaul Augenzwinkern

AD Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibfaulheit rächt sich irgendwann, das hast du eben gerade selbst bewiesen, als du die Klammern weggelassen hast. Richtig ist

.
michahab Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Hammer Hammer Hammer Hammer

Aaaaarrrrgh!!!!

Solche leichtsinnigen Fehler ärgern mich. Danke, ich werde mich in Zukunft versuchen zu bessern.

Unsere Tutorin hat uns gerade per Mail einen kleinen Zusatz mitgeteilt zu der Aufgabe. Wir sollen die Aufgabe unter "vernünftigen Annahmen" bearbeiten. Darunter verstehe ich, dass ich nicht mit einer totsicheren Trefferquote arbeite, oder? Sollte ich dann nicht lieber mit p=1/2 z.B. rechnen? Ich bin verwirrt verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Warum konkret festlegen, wenn man es auch erstmal allgemein mit einer Trefferwkt rechnen kann? So würde ich vorgehen.

Was kann man bei dieser veränderten Situation von oben übernehmen? Fast alles, nur die Berechnung von muss modifiziert werden:

Es ist genau dann, wenn alle die Schützen, die auf Ente zielen, daneben schießen - ob die anderweitig zielenden Schützen treffen, ist dabei für Ente nicht von Belang. Sagen wir, es schießen genau der Schützen auf Ente , das geschieht gemäß Binomialverteilung mit Wkt. . Dass diese Schützen alle daneben treffen, geschieht mit Wkt. ... Jetzt alles gut durchrühren. Augenzwinkern
michahab Auf diesen Beitrag antworten »

Dann versuch ich mich mal....



Der ganze Ausdruck ist doch wieder eine Konstante, die ich mit k multiplizieren muss, oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mitdenken! Ich hab von der Anzahl der Schützen gesprochen, die auf Ente zielen. Diese Anzahl ist aber nicht fest, sondern ebenso zufällig. Also musst du über alle Möglichkeiten entsprechend der jeweiligen Auftrittswahrscheinlichkeit summieren. Da ist zunächst



Und zur Vereinfachung dieser Summe denke mal an den binomischen Satz

mit geeignet gewählten Werten ,

den man auch von rechts nach links lesen kann...
michahab Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

solche Dinge seh ich einfach nicht. Mist.....

Also...

dann ist mein a=

und b=

Daraus folgt was zu wird.

Jetzt im Ganzen....



Dann würde mit der Erkenntnis von oben nur noch stehen bleiben. Hab ich doch bestimmt einen Fehler gemacht. Sieht mir zu einfach aus. verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

ist passend gewählt, jedoch nicht. Versuche es mal mit

,

da wird dann der "störende" Restterm mit verbraten.
michahab Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung des Erwartungswertes wenn n Schützen auf k Enten schießen
Danke für den Tipp.

Dann komm ich auf



Gefällt mir auf jeden Fall besser als meine erste Lösung.....
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlt natürlich noch das Einsetzen in .

Für muss am Ende natürlich dasselbe rauskommen wie oben, während für die entenfreundliche Variante auf jeden Fall herauskommen sollte. Solche Plausibilitätskontrollen sollte man immer mal durchführen, da lässt sich so mancher grobe Schnitzer entlarven - wenn auch nicht alle. Augenzwinkern
michahab Auf diesen Beitrag antworten »

Also kommt am Ende nach dem Einsetzen und Ausmultiplizieren (wenn man die Klammern richtig setzt Big Laugh )



heraus.

Unsere Tutorin hat gesagt, dass es Zusatzpunkte für die Varianz noch gibt. Die sei aber extrem schwer auszurechnen. Selbst der Prof. hätte seine liebe Müh gehabt. Hast du eine Idee.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Profs sind auch nicht mehr das, was sie früher mal waren. Big Laugh


Klar geht das, da musst du ganz zum Anfang zurückgehen: Nach deinem Ansatz ist ja .

Wenn man nun nutzen will, dann haben wir noch zu berechnen. Also frisch ans Werk:



Der Fall ist einfach und schon oben erledigt: .

Es bleibt der Fall zu betrachten:

,

und das heißt schlussendlich die Bestimmung von ...
michahab Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ja... erst stellt er uns die Aufgabe, hinterher rechnet er sie erst durch und stellt fest, dass es gar nicht so einfach geht wie er sich das gedacht hat unglücklich

So grob kann ich deinen Gedanken folgen, aber das ist schon ein hartes Stück. Ich werd mich aber damit beschäftigen. Aber vorher muss ich noch die Pflichtaufgaben lösen. Erst die Arbeit und dann das Vergnügen. Na ja in dem Fall eher ...und dann die Varianz. Big Laugh

Werde mich bestimmt mit anderen Aufgaben noch melden...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann viel Spaß noch. Augenzwinkern
Zur Überprüfung (deiner oder meiner - je nachdem) mal noch mein Resultat:



michahab Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mich gerade nochmal an die Varianz gemacht.

Irgendwie ist mir dabei aber aufgefallen, dass ich deinen Erwartungswert nicht nachvollziehen kann.

Zum Schluss steht doch in der Summe

Wieso kommst du auf

verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also wirklich, elementarer geht's kaum:

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