Existenz und Eindeutigkeit der Eulerschen Zahl

19.05.2008, 20:33

s_sgreis

Existenz und Eindeutigkeit der Eulerschen Zahl

Hallo

ich habe eine Aufgabe zum lösen bekommen, wo ich leider nicht einmal einen Ansatz finde...

Es wird darauf hingewiesen, dass man die Aufgabe mit der Bernoullischen Ungleichung lösen kann.

Sie lautet:

Zeige für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n} \leq (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n} \leq (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet.

Liebe Grüße

19.05.2008, 20:49

s_sgreis

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Nachtrag
Leider habe ich den zweiten Teil falsch geschrieben.

Nach dem "und" folgt folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n+1})^{n+2} \leq (1+\frac{1}{n})^{n+1} \end{eqnarray*}$

Sorry!

19.05.2008, 20:49

tmo

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Ist das nicht 2 mal genau die selbe Ungleichung? verwirrt

Naja, multipliziere die Ungleichung auf beiden Seiten mal mit $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$ um dann durch $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ zu teilen. Dann kannst du die bernoullische Ungleichung anwenden um die Ungleichung zu zeigen.

19.05.2008, 20:50

Rare676

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Teile doch mal durch die Rechte Seite und entferne die Doppelbrüche und fasse zusammen. Vllt siehste dann mehr Augenzwinkern

19.05.2008, 21:04

s_sgreis

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weitere Frage
@ tmo

ich habe multipliziert, aber schon bei der Division habe ich eine neue Frage: Wie kann ich
durch $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n+1} \end{eqnarray*}$ dividieren, wenn ich das gar nicht auf beiden Seiten der Ungleichung stehen habe?

Nachdem ich multipliziert habe, steht bei mir:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n+1} \leq (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} * (1+\frac{1}{n})^{n+1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt dividiere, verkompliziert sich das doch noch, oder?

19.05.2008, 21:07

s_sgreis

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weitere Frage
@ rare

leider hilft mir dein Tipp nicht weiter, da mir schonmal nicht klar ist, wie ich durch die rechte Seite dividieren kann. Was passiert dann auf der linken, da die beiden ja nicht gleich sind (Weder Basis noch Potenz)?

Eine reine Verständnisfrage fällt mir dann auch noch ein: Muss ich eigentlich die beiden Ungleichungen erst mal völlig unabhängig voneinander zeigen oder haben die was miteinander zu tun?

Danke!

19.05.2008, 21:08

tmo

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RE: weitere Frage

Zitat:

Original von s_sgreis
@ tmo

ich habe multipliziert, aber schon bei der Division habe ich eine neue Frage: Wie kann ich
durch $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n+1} \end{eqnarray*}$ dividieren, wenn ich das gar nicht auf beiden Seiten der Ungleichung stehen habe?

Man kann doch auch bei $\begin{eqnarray*} 3<5 \end{eqnarray*}$ durch 2 teilen: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}<\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ , obwohl auf beiden Seiten keine 2 stand verwirrt

Zitat:

Original von s_sgreis
$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n+1} \leq (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} * (1+\frac{1}{n})^{n+1} \end{eqnarray*}$

Da hast du dich vertan. Auf der rechten Seite ist ein bisschen zuviel hinzugekommen.

Die Ungleichungen folgen beide aus der bernoullischen Ungleichung sie haben also schon was miteinander zu tun. Allerdings kannst du sie beide unabhägig voneinander beweisen. Jedoch sollte die zweite einfach fallen, wenn du die erste erstmal geschafft hast.

19.05.2008, 21:14

Airblader

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Edit:

Hier stand Unsinn Augenzwinkern

air

19.05.2008, 21:22

s_sgreis

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RE: weitere Frage
Es tut mir wirklich leid, mitteilen zu müssen, dass ich noch nicht einmal verstanden habe, wieso ich mich auf der rechten Seite vertan hab, als ich mit (1+(1/n)) multipliziert hab...
Erstaunt1

Kannst du mir sagen, wie ich multiplizieren muss, wenn ich weder dieselbe Hochzahl noch dieselbe Basis habe?

Ich steh glaub total auf dem Schlauch gerade...

19.05.2008, 21:25

tmo

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RE: Existenz und Eindeutigkeit der Eulerschen Zahl
$\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n} \leq \left( 1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Multiplizieren mit $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} \leq \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \left(1+\frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$

Nun teilst du durch $\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Vielleicht sollte man dir noch $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n} = \frac{n}{n}+\frac{1}{n} = \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$ mit auf den Weg geben.

19.05.2008, 21:39

s_sgreis

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RE: Existenz und Eindeutigkeit der Eulerschen Zahl
Ich bin gerade bei folgendem Schritt:

$\begin{eqnarray*} (\frac{n+1}{n})^{n} \leq (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} \end{eqnarray*}$

Bin ich auf dem richtigen Weg?

Nun versuche ich, das noch irgendwie zu vereinfachen, was mir aber gerade auch nicht wirklich gelingt...kannst du mir noch einen Tipp geben?

19.05.2008, 21:42

tmo

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RE: Existenz und Eindeutigkeit der Eulerschen Zahl
Wenn du
$\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} \leq \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \left(1+\frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$
durch $\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ teilst, wie kann dann auf der linken seite noch $\begin{eqnarray*} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ stehen?

Du bist im moment ehrlich gesagt noch kein Schritt weiter als die Anfangsungleichung.

19.05.2008, 21:50

s_sgreis

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RE: Existenz und Eindeutigkeit der Eulerschen Zahl
$\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} \leq \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \left(1+\frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$

durch $\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ teilen,

dann bleibt:
$\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac{(1+ \frac{1}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{1}{n})^{n}} \end{eqnarray*}$

danach habe ich, um den Bruch weg zu bekommen, mal dem Nenner gemacht.

Wo ist mein Fehler?

19.05.2008, 21:53

tmo

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Das ist richtig.

Aber du hast doch selbst schon gemerkt, dass die Exponenten gleich sein sollten. Deswegen solltest du hier nicht kürzen:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n+1}} \cdot \left(1+\frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt kommen die Potenzgesetze zum Einsatz. Weiterhin solltest du die Term in den Klammern nun auf einen Bruch bringen. So wie ich es dir schon vorgemacht hatte.

19.05.2008, 22:13

s_sgreis

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Zwischenzeitlich sieht meine Gleichung wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac{(1+ \frac{1}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{1}{n})^{n}} \end{eqnarray*}$

und nun? Ist das überhaupt ok, was ich gemacht habe? Erstaunt1

19.05.2008, 22:13

s_sgreis

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Nein
wieso kommt das so??

selbstverständlich sieht die Gleichung so nicht aus!

1\leq (n+2)^{n+1} * (\frac{n+1}{n} )

das müsste dastehen! Sorry nochmal

19.05.2008, 22:14

s_sgreis

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RE: Nein
$\begin{eqnarray*} 1\leq (n+2)^{n+1} * (\frac{n+1}{n} ) \end{eqnarray*}$

19.05.2008, 22:16

tmo

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RE: Nein

Zitat:

Original von s_sgreis
$\begin{eqnarray*} 1\leq (n+2)^{n+1} * (\frac{n+1}{n} ) \end{eqnarray*}$

Schön wärs, denn das wäre trivialerweise wahr.

Du musst einen Fehler gemacht machen. Übrigens solltest du den Vorschau-Button verwenden, bevor du abschickst. Dann vermeidest du diese Doppelposts.

19.05.2008, 22:21

s_sgreis

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RE: Nein
traurig

ich hab jetzt schon so lange rumgerechnet, ich hab nochmal ein Ergebnis *g*

$\begin{eqnarray*} 1\leq ((\frac{1}{2} +n))^{n+1} * \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

ist das auch falsch?

20.05.2008, 09:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von s_sgreis
$\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac{(1+ \frac{1}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{1}{n})^{n}} \end{eqnarray*}$

Besser wäre es, du hättest den hinteren Faktor so gelassen, wie es im Post von tmo gestanden hat:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac{(1+ \frac{1}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{1}{n})^{n+1}} \cdot (1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

Jetzt schreiben wir das mal so:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \left( \frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}} \right)^{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

<==>

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \left( \frac{(n+2)n}{(n+1)^2} \right)^{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

<==>

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \left( 1 + \frac{(n+2)n}{(n+1)^2} - 1 \right)^{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

Fasse jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)n}{(n+1)^2} - 1 \end{eqnarray*}$ zusammen und nutze dann die Bernoullische Ungleichung.

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