Lipschitzbedingung

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peinep47 Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitzbedingung
Hallo meine Frage handelt von der Lipschitzbedingung. Erfüllt die Funktion

eine Lipschitzbedingung im Rechteck E:= {(x,y) | |x| a, 0 y b}?

Die allgemeine Formel ist ja:
| f(x, y1) - f(x, y2) | \leq L |y1 - y2|

Andererseits gilt wohl:
L := max |f'(x, y)| (x,y)


Bei der zweiten Formel würde ich nachdem ich nach y abgeitet habe sagen, dass man a möglichst groß und b möglichst klein wählen sollte. Allerdings ist die Wurzel aus 0 ja nicht definiert und daher hat man doch eine Singularität an dieser Stelle.

Kann mir jemand helfen (und vielleicht auch erklären was die Lipschitzkonstante aussagt??)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ist nicht definiert? smile
peinep47 Auf diesen Beitrag antworten »

Upps, da war ich wohl in Gedanken einen Schritt weiter als hier geschrieben habe. Ich meinte natürlich die Division 1 durch 0 ist ja nicht definiert, es sei denn man(n) hat das neuerdings gelöst durch 0 dividieren zu können.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen



ist es letztendlich nur ein reelles Problem. Und dass die Wurzelfunktion nicht Lipschitzstetig ist, kann man wissen. Falls nicht: Eine differenzierbare Funktion ist genau dann Lipschitzstetig, wenn die Ableitung beschränkt ist. Jetzt musst du nur die aus dem Definitionsbereich rausnehmen.

Gruß MSS
Milchbub Auf diesen Beitrag antworten »

eure ausführungen sind mir dazu noch nicht ganz klar.

man bekommt doch als partielle ableitung nach y folgenden

term:

und da für y --> 0 der Term unendlich wird ist die Fkt. nicht Lipschitzstetig.

ist das so richtig?
holographics Auf diesen Beitrag antworten »

Es heht auch so:
Du nimmst die allgemeineformel für Lipschitzstetigkeit, und setzt für y1 =0 ein, dann teilst du den ganzen Bruch durch y2. Dann hast du unter dem Bruchstrich y2 stehen, und da y auch null sein darf, existiert die Lipschitzkonstante nicht.
Ich hoffe mal das ist richtig.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@holographics
Was soll sein? Wenn schon ist und dann auch, dann gilt die Ungleichung natürlich für jedes nichtnegative . Allerdings kann man tatsächlich einsetzen und anschließend argumentieren, dass für die Ungleichung für kein gelten kann.

Gruß MSS
Milchbub Auf diesen Beitrag antworten »

wie hat das mit meiner begründung ausgehen? ist das ding nun eigentlich lipschitz stetig oder nicht? habe da in meinem buch so ein bsp:

f(x,y) = |y|

dies ist an der Stelle (x,0) nicht differenzierbar, aber trotzdem überall lipschitz stetig, das steht doch total im widerspruch.?
gleiches würde doch auch auf unsere funktion zutreffen oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Milchbub
das steht doch total im widerspruch.?

Achja? Warum denn das?
Nein, deine Funktion ist nicht Lipschitzstetig: Wie du das zeigen kannst, habe ich oben bereits gesagt.

Gruß MSS
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