Euler Charakteristik beim Zylinder?

23.01.2006, 15:43	JonnyG	Auf diesen Beitrag antworten »
Euler Charakteristik beim Zylinder? Kann man bei einem Zylinder auch E - K + F rechnen? Da dieser keine Ecken hat, kann man hier auch eine Triangulisierung wie bei einer Kugel vornehmen? Und wenn das geht, welche Charakteristik hat dieser? Vielen Dank schon mal
23.01.2006, 18:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Zylinder $\begin{eqnarray} \mathcal{Z} \end{eqnarray}$ ist nicht homöomorph zu einer Kugel, wohl aber zu einem Quader, der auf zwei gegenüberliegenden Seiten offen ist (Streichholzschachtelhülle). Für einen solchen Quader ist $\begin{eqnarray} e = 8 \, , \ \ k = 12 \, , \ \ f =4 \end{eqnarray}$ Daher ist die Euler-Charakteristik für einen Zylinder $\begin{eqnarray} \chi(\mathcal{Z}) = 8 - 12 + 4 = 0 \end{eqnarray}$
23.01.2006, 21:00	JonnyG	Auf diesen Beitrag antworten »
schon mal vielen dank Hab aber noch nicht verstanden, wie man sich das genau vorstellen muss. Hatte mir die beiden Kreise als je vier Dreiecke, wie bei einem Kuchen vorgestellt. Und komm dann auf 10 - 16 + 9 = 3
24.01.2006, 07:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst auch eine Triangulierung des Zylinders vornehmen. Denke dir den Zylindermantel längs aufgeschnitten und zu einem Rechteck entfaltet (siehe Zeichnung). Wenn du die Figur wieder zu einem Zylinder zusammenklebst, fallen die linke und rechte Kante und ihre Ecken zusammen. Du darfst die Kanten und Ecken daher nur einmal rechnen. Die Figur zeigt dann $\begin{eqnarray} e = 4 \, , \ \ k = 8 \, , \ \ f = 4 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \chi(\mathcal{Z}) = 4 - 8 + 4 = 0 \end{eqnarray}$ Das ist natürlich kein Beweis für die Formel, weil die Invarianz dieser Wechselsumme vorausgesetzt und sie nur noch konkret an einem Beispiel berechnet wird. Aber du kannst dir ja selbst einmal überlegen, daß sich die Wechselsumme bei anderen Triangulierungen nicht ändert.
24.01.2006, 14:54	JonnyG	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Mantel ist auch nicht wirklich das Problem. Was mach ich mit den beiden Deckflächen, warum kann man sie einfach weglassen?
24.01.2006, 15:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin wie selbstverständlich von einem Hohlzylinder ausgegangen. Aber man kann das natürlich auch anders sehen. Auf jeden Fall ist ein Hohlzylinder (Rohr) topologisch etwas anderes als ein geschlossener Zylinder (ungeöffnete Dose). Ein solcher ist natürlich zur 2-Sphäre homöomorph und hat daher Euler-Charakteristik 2. $\begin{eqnarray} \chi(\text{Hohlzylinder}) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \chi(\text{geschlossener Zylinder}) = 2 \end{eqnarray}$ Man sollte also klären, was man unter einem Zylinder versteht.
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24.01.2006, 15:59	JonnyG	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinte einen geschlossenen Zylinder. Trotzdem erstmal vielen Dank für die schnellen Antworten Hab aber noch immer das Problem, dass ich nicht weiss wie man die E, K und F zählen soll. Kann man sich den Deckkreis aus vier Dreicken, mit jeweils einer gebogenen Kante vorstellen? (Ähnlich einer Pizza?)
24.01.2006, 17:05	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
die Kanten der Dreiecke müssen keine Geraden sein, irgendwelche glatten Kurven tun es auch. man könnte sogar den ganzen Deckkreis als ein Dreieck nehmen, dann legt man 3 Punkte darauf als Ecken fest und muss nur noch darauf achten, das an jeder Ecke mindestens 3 Dreiecke zusammenstossen. eine mögliche Triangulierung ist dann: Mantel senkrecht in 3 Rechecke teilen Rechtecke diagonal teilen -> 6 Dreiecke 2 Deckkreise -> noch 2 Dreiecke dann kriegst du E=6 K=12 und F=8 also wieder Eulerchar 2

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