Integration durch Substitution

24.01.2006, 14:08

Schnubby

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Integration durch Substitution

Hi Leute, ich habe folgende Fkt zu Integrieren, ich sollte dabei die Substitution verwenden

$\begin{eqnarray*} \int\frac{sin (x)}{\sqrt{\cos^3(x)} } \end{eqnarray*}$

t = $\begin{eqnarray*} cos^3(x) \end{eqnarray*}$

Ist es dann richtig das ich folgendes erstmal erstmal durchführe buw haben sollte?

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=- \sin(x) \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} dx= - \frac{dt}{ \sin(x)} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis hab ich zwar auch schon aber ich verstehe denn Weg dorthin nicht. Ergebnis soll sein:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{2cos(x)}{\sqrt{(cos(x))^3} } \end{eqnarray*}$

24.01.2006, 14:15

lego

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t=cos³(x) ist keine so gute substitution in meinen augen

wähle lieber t=cos(x)

dann fällt dir oben der sinus weg

edit: irgendwie stimmt dein dx/dt zeug nicht

cos³(x) abgeleitet ergibt nicht -sin(x)

24.01.2006, 14:16

Mathespezialschüler

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Hallo!
Oben fehlt beide Male $\begin{eqnarray*} \mathrm dx \end{eqnarray*}$ und die sogenannte "Lösung" verstehe ich nicht. Wenn du so substituierst, dann ist

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=-\sin x \end{eqnarray*}$

schon falsch. Ich würde im Übrigen $\begin{eqnarray*} t=\cos x \end{eqnarray*}$ setzen, dann wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=-\sin x \end{eqnarray*}$

auch richtig.

Gruß MSS

24.01.2006, 14:22

Schnubby

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sorry
Sorry, man sollte auch $\begin{eqnarray*} t = cos(x) \end{eqnarray*}$ nehemen

Das dann das sinus wegfällt hab ich auch schon gemerkt, aber wie gehts dann weiter?

ich hätte ja dann dort stehen:

$\begin{eqnarray*} \int -\frac{dt}{\sqrt{cos^3(x)}} \end{eqnarray*}$

liege ich da richtig?

24.01.2006, 14:31

Mathespezialschüler

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Wenn $\begin{eqnarray*} t=\cos x \end{eqnarray*}$ ist, dann solltest du in dem Integral auch $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ersetzen!

Gruß MSS

24.01.2006, 14:32

Schnubby

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Ich komme dort nicht wirklich weiter mir fehlt nur ne kleinigkeit, dann würd ich es bestimmt verstehen! Ich hoffe die Kleinigkeit kann ich hier finden!

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24.01.2006, 14:35

JochenX

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wenn $\begin{eqnarray*} t=\cos x \end{eqnarray*}$ ist, dann solltest du in dem Integral auch $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ersetzen!

Gruß MSS

der wichtige schritt wird dir hier doch erstmal auf einem goldenen tablett serviert
wenn du schon substituierst ("ersetzt"), dann ERSETZE doch auch erstmal
dann siehts doch zumindest schon mal angenehmer aus

24.01.2006, 14:37

Schnubby

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Richtig, völlig übersehen was MSS dann schrieb.

Jetzt weiß ich nur noch nicht woher wie die 2 vor dem cos(x) kommt!

24.01.2006, 14:38

Mathespezialschüler

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Ersetze doch erstmal und zeige, was dann dasteht!

Gruß MSS

24.01.2006, 14:40

JochenX

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bedenke, dass "im nenner stehen" und "unter der wurzel stehen" alles in die potenz beim t "eingebaut" werden kann

schreibe also deinen t-bruch als einfache potenz "t^....." und dann kannst du "völlig normal" integrieren und anschließend eine rücksibstitution anhängen

mfg jochen

Wink

Wink

guten morgen, max

24.01.2006, 14:52

Schnubby

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hätte gesagt:
Also ich hätte jetzt gesagt:

$\begin{eqnarray*} \int -\frac{dt}{\sqrt{cos^3(x)}} =\int -\frac{d cos(x)}{\sqrt{cos^3(x)}} =\int \frac{sin}{\sqrt{cos^3(x)}} \end{eqnarray*}$

soweit würd ich ersmal kommen und wenn ich dann oben integriere hätte ich dann

$\begin{eqnarray*} -\frac{cos}{\sqrt{cos^3(x)}} \end{eqnarray*}$

aber wenn ich mir die letzte antwort von jochen ansehe ist die sicherlich falsch!

soll ich dann t^(Nenner) oder t^(Wert unter der Wurzel) versuchen?

24.01.2006, 14:53

JochenX

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wenn $\begin{eqnarray*} t=\cos x \end{eqnarray*}$ ist, dann solltest du in dem Integral auch $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ersetzen!

Gruß MSS

hallo???

ich dachte, du hättest das berücksichtigt?

24.01.2006, 14:58

Schnubby

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Hab ich doch, also in dem fall wo ich selbst sagte das es falsch sein muss, habe ich doch im Zähler für das dt d cos(x) eingesetzt

24.01.2006, 14:58

JochenX

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und für cos(x) sollst du t einsetzen!!!

24.01.2006, 14:59

Mathespezialschüler

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Du sollst doch nicht $\begin{eqnarray*} \mathrm d\cos x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \mathrm dt \end{eqnarray*}$ einsetzen! Du sollst es genau andersrum machen: Du sollst $\begin{eqnarray*} -\mathrm dt \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \sin x\mathrm dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Gruß MSS

24.01.2006, 15:01

Schnubby

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hallo??
warum sagt man mir t = cos (x) und jetzt genau das selbe "für cos(x) bitte t einsetzten"?

Entweder war das jetzt nen fehler oder ich bring da was durcheinander

24.01.2006, 15:02

Mathespezialschüler

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Wir haben es dir nochmal gesagt, weil du es nicht ersetzt hattest. Ich denke, der Fehler liegt bei dir.

Gruß MSS

24.01.2006, 15:03

JochenX

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hallo auch?

hast du schon jemals substituiert???
idee ist doch gerade, dein integral nach x durch ein integral nach t zu ersetzen, dass einfacher ist

zusammenhang war "cos(x)=t", also hast du alles was mit x vorkommt durch was mit t ersetzt
das ist zu einen das vorkommende dx durch dt ersetzen, zum anderen alle x-terme durch t-terme ersetzen

24.01.2006, 15:06

Schnubby

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nein ich habe noch nie substituiert!
Ich rechne mal ebend

24.01.2006, 15:15

Schnubby

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meint ihr es dann evtl das es ca so aussieht?

$\begin{eqnarray*} \int\frac{- dt}{\sqrt{t^3} } \end{eqnarray*}$

24.01.2006, 15:19

Mathespezialschüler

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Ja.

Freude

Gruß MSS

24.01.2006, 15:20

JochenX

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Prost

jawoll!
goldene regel: einfach ALLES mit x durch was entsprechendes mit t ersetzen

und das kannst du nun integrieren, - vor das integral, und dann den integranden als t-potenz schreiben

24.01.2006, 15:31

Schnubby

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OK Leutz nicht zu früh gefreut!

Also das Minus vor das Integral ziehn, dass ist verständlich!

Dann soll ich Integrieren! Was Integriere ich?

Den komplette Ausdruck hinter dem Integralzeichen?
Oder nur das dt?

24.01.2006, 15:32

Schnubby

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Ich habs nicht so mit der Integration! Sorry

24.01.2006, 15:33

JochenX

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das ist jetzt ein ganz normales integral....
Integralzeichen; Integrand mit t; dt
du integrierst ganz normal über den integranden, also diese ganze t-funktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{t^3}} \end{eqnarray*}$

24.01.2006, 15:34

lego

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$\begin{eqnarray*} \int\frac{- dt}{\sqrt{t^3} }=-\int\frac{1}{\sqrt{t^3} }dt \end{eqnarray*}$

weißt du nun, was du integrieren sollst?

edit: man, bin ich heute langsam

24.01.2006, 15:36

JochenX

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Zitat:

Original von lego
$\begin{eqnarray*} \int\frac{- dt}{\sqrt{t^3} }=\int\frac{1}{\sqrt{t^3} }dt \end{eqnarray*}$

und ein minus hast du auch gefressen smile

smile

24.01.2006, 15:37

lego

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stimmt doch gar nicht Big Laugh

Big Laugh

24.01.2006, 15:45

Schnubby

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Naja das ich ein bissel zurückgeblieben bin bei dem Thema habt ihr ja schon gemerkt aber ich kann das einfach nicht,versteh nicht was gemacht werden muss beim integrieren!
Kann es sein das ich jetzt wieder substituieren muss?

24.01.2006, 15:48

Mathespezialschüler

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Nein, jetzt solltest du es so umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{-\mathrm dt}{\sqrt{t^3}}=-\int~t^{-\frac{3}{2}}~\mathrm dt \end{eqnarray*}$ .

Das ist ein Grundintegral, d.h. das sollte man kennen.

Gruß MSS

24.01.2006, 15:56

Schnubby

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Wenn mich dann hier nicht alles täuscht müsste es dann

$\begin{eqnarray*} -\int~t^{-\frac{3}{2}}~\mathrm dt = 2*t^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

sein,richtig?

24.01.2006, 15:59

Mathespezialschüler

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Du kannst das durch Ableiten selbst prüfen. Dann siehst du, dass noch ein kleiner Fehler drin ist!

Gruß MSS

24.01.2006, 16:14

Schnubby

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Ja, bei der Ableitung kommt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{t} } \end{eqnarray*}$ raus ich brauch ja aber unter der wurzel $\begin{eqnarray*} t^3 \end{eqnarray*}$

24.01.2006, 16:17

JochenX

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bedenke:
potenzregel ableiten:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^r => f'(x)=r*x^r \end{eqnarray*}$

potenzregel beim integrieren ergibt sich daraus dann zu:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^r => f(x)=\frac{1}{r+1}x^{r+1} \end{eqnarray*}$

24.01.2006, 16:29

Schnubby

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=t^{(-3/2)} => f(x)=\frac{1}{(-3/2)+1}x^{(-3/2)+1} = -2t^{-(1/2)} \end{eqnarray*}$

ist doch richtig oder nicht?

24.01.2006, 16:39

JochenX

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teste durch ableiten: -(1/2) nach vorne hebt das -2 auf...
hochzahl -1..... passt! Freude

Freude

das ist jetzt das integral; davor steht noch ein - und jetzt kannst du es noch wieder umschreiben und insbesondere rücksubstituieren!

24.01.2006, 17:05

Schnubby

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Okay Leutz ich steh kurz vor dem durchbruch, jetzt mach mir nur noch das zurücksubstituierem schmerzen!

ich soll also von den $\begin{eqnarray*} -t^{-(3/2)} \end{eqnarray*}$

auf meine

$\begin{eqnarray*} \int\frac{2cos(x)}{\sqrt{(cos(x))^3} } \end{eqnarray*}$ kommen,richtig?

wenn es so sein soll, kann ich es teilweise gut nachvollziehen aber die $\begin{eqnarray*} 2cos(x) \end{eqnarray*}$ machen mir zuschaffen im Zähler ich weiß net wie die 2 vor das cos kommt

24.01.2006, 17:45

Kain

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$\begin{eqnarray*} ...=-\frac{2}{\sqrt{t} } +c \end{eqnarray*}$

das war deine lösung für das intergrieren (nicht -t^-3/2) !

jetzt setzt du für t einfach wieder cos x ein und das wars. im zähler brauchst du nichts mehr zu machen

$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{\sqrt{cos x}} +c \end{eqnarray*}$

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