"Zinseszins"-Aufgabe mit geometrischer Reihe?

24.01.2006, 16:48

Heidi

"Zinseszins"-Aufgabe mit geometrischer Reihe?

Hallo,
ich bin zwar gerade erst reingestolpert, habe aber enormen Hilfebedarf, ich hoffe, man möge mir verzeihen...

Ich schreibe (leider) am Freitag eine schlimme Mathe-Prüfung, und bin schier am Verzweifeln.
Z.B. folgende Übungsaufgabe macht mir seit Tagen Kopfzerbrechen:

Zitat:

Im Jahre 1994 betrug der Verbrauch an Erdgas 1824 Einheiten. Am Ende jenes Jahres wurden 128300 Einheiten an Reserven geschätzt. wie lange reichen die Reserven, wenn der Verbrauch um 2% steigt?

Lösung soll sein n ~ 43,77 --> ca. 44 Jahre.

Ich habe nun schon diverse Ansätze ausprobiert und bin langsam ganz "gaga".

Ich bin mit der Zinseszinsformel vorgegangen, habe das Gefühl, irgendwo hat sich da eine geometrische Reihe versteckt, aber wie ich es auch versuche, ich komme auf keinen grünen Zweig traurig

.

Folgende Zuordnungen habe ich vorgenommen:
R° (für Reserven) = 130124 (128300 + 1824)
R 1 = 128300
R n = 0
q = große Frage.
Mein Ansatz: 1. Jahr 1824, 2. Jahr 1824 x 1,02, 3. Jahr 1824 x 1,02² etc.

Aber irgendwie helfen mir diese Gedankenspielereien nicht weiter und ich komme auf keine angemessene Lösungsformel.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank
Heidi Wink

24.01.2006, 17:47

MrPSI

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deine Idee, dass es sich hierbei um eine geometrische Reihe handelt ist absolut passend. Diese geometrische Reihe zeigt an, wieviel schon verbraucht wurde.

die Summenformel für eine geometrische Reihe der Form $\begin{eqnarray*} b+bq+bq^2+...+bq^n=s_n \end{eqnarray*}$ lautet so:
$\begin{eqnarray*} s_n=b \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

das sollte man jetzt noch geeignet umformen können, und voila, man hat die Lösung.

24.01.2006, 18:18

Heidi

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Hallo MrPSI,

danke erstmal.
Eines verstehe ich jedoch grundsätzlich erstmal nicht: Warum heißt es in dem Fall $\begin{eqnarray*} \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \end{eqnarray*}$ und nicht
$\begin{eqnarray*} \frac{q^{n+1}- q}{q -1} \end{eqnarray*}$ ?

Danke und viele Grüße
Heidi!

24.01.2006, 18:23

MrPSI

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bei deiner 2. Formel hast du einen kleinen Fehler: es heisst nicht $\begin{eqnarray*} q^{n+1}-q \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} q^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$ .
Und wenn man diese Korrektur gemacht hat, dann stimmt auch die 2. Variante. Wenn du aus der 1. Formel im Nenner und Zähler ein Minus heraushebst, kannst du diese wegkürzen und du erhälst die 2. Formel.

24.01.2006, 18:38

Heidi

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Oh Gott, Verwirrung!!!
Ich bitte um Aufklärung Hilfe

!
Also, mein Mathe-Tutor hat uns folgende Formeln mit auf den Weg gegeben:

1) Beim Start i=0 $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~ q^{i}= \frac{q^{n+1}-1 }{q - 1} \end{eqnarray*}$
2) Beim Start i=1 $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~ q^{i}= \frac{q^{n+1}-1 }{q - 1} \end{eqnarray*}$
und
3) Allgemein: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=a}^b~ q^{i}= \frac{q^{b+1}-q^{q}}{q - 1} \end{eqnarray*}$

Ist das nun falsch?

Viele Grüße
Heidi!

24.01.2006, 18:39

Heidi

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Oh Gott, Verwirrung!!!
Ich bitte um Aufklärung Hilfe

!
Also, mein Mathe-Tutor hat uns folgende Formeln mit auf den Weg gegeben:

1) Beim Start i=0 $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~ q^{i}= \frac{q^{n+1}-1 }{q - 1} \end{eqnarray*}$
2) Beim Start i=1 $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~ q^{i}= \frac{q^{n+1}-1 }{q - 1} \end{eqnarray*}$
und
3) Allgemein: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=a}^b~ q^{i}= \frac{q^{b+1}-q^{q}}{q - 1} \end{eqnarray*}$

Ist das nun falsch?

Viele Grüße
Heidi!

24.01.2006, 18:41

MrPSI

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nimm einfach die Formel Nr. 1) da wir hier ja von Anfang an die Jahre zählen.

//edit: @Heidi: deine Formel Nr. 2) hat seltsame Ähnlichkeit mit Formel Nr. 1) obwohl der Startpunkt unterschiedlich ist.

24.01.2006, 19:25

Heidi

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Hallo MrPSI,

ich habe mit dem Formel-Editor bzw. mit dem Kopieren Mist gemacht(daher auch mein versehentlicher Doppelpost, ich wollte eigentlich nur editieren...). Die Formel Nr. 2 sollte im Zähler statt der 1 ein q haben. Stimmt sie denn dann?

Viele Grüße
Heidi!

24.01.2006, 19:40

MrPSI

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ob sie stimmt weiß ich leider nicht, da ich bis jetzt nur die Formel für den Start bei 0 kenne.
Außerdem muss man hier sowieso den Start bei 0 setzen, also bei 1994 anfangen, da dann das Ergebnis rauskommt. Und deine Formel Nr. 1) ist nicht ganz vollständig, es fehlt ihr nämlich der Startwert b(=1824).

Die Formel, die in diesem Fall benötigt wird ist $\begin{eqnarray*} s_n=\sum_{i=0}^n~ b*q^i=b*\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

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