Kombinatorik

25.01.2006, 13:19

pinky101

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Kombinatorik

Zeigen Sie durch passende Umformungen, dass für alle $\begin{eqnarray*} n,k \in\mathbb N0, n \geq k \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n \\ k +1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k +1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Überlegt habe ich mir dazu daß :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so umgeformt werden muss, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heraus kommt.

Dabei ist
$\begin{eqnarray*} (k+1)!=(k+1)* k! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n-k)!=(n-k)*(n-k-1)! \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand dabei helfen?! Bitte.....

edit20: latex verbessert: tags setzen

code:
1:	[latex]...[/latex]

und geschweifte klammern.

25.01.2006, 13:28

Lazarus

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ich schreibs mal mit Latex:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n \\ k +1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k +1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (k+1)!&=&(k+1)* k! \\ (n-k)!&=&(n-k)*(n-k-1)! \end{eqnarray*}$

Deine überlegung ist also das du das umformen willst.
Sehr guter Ansatz, und den solltest du auch versuchen.
Dazu kannst du mit der Definition ansetzten, und das dann neu zusammenfassen.

PS: statt \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} kannst du auch kürzer einfach {a\choose b} oder \left({a\atop b}\right) schreiben.

kommt auch das raus: $\begin{eqnarray*} {a\choose b} \end{eqnarray*}$

25.01.2006, 13:31

Sieben

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Übrigens gibts auch den binom{}{} Befehl...

Und mal ein Beispiel zu verifizieren, hiflt auch oft, mal so n gleich fünf oder so...

25.01.2006, 13:39

pinky101

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RE: Kombinatorik
Danke, dass du es umgeschrieben hast. Habe es auch gerade nochmal neu geschrieben. Mußte erstmal durch das programm durchsteigen...

25.01.2006, 14:35

pinky101

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RE: Kombinatorik
Also ich habe jetzt noch was dazu aber ich bräuchte da mal Hilfe wie ich weiter machen soll...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ja das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n! \\ (k+1)! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n! \\ (k+1)*k! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also habe ich jetzt die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n! \\ (n-k)*k! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n! \\ (k+1)*k! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n! \\ (n-k)*(n-k-1)!*k! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n! \\ (k+1)*k! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ...
mit welcher diesen beiden soll ich am besten weiter machen? kann mir jemand sagen wie ich n! umformen kann bzw. wie ich damit weiter rechen kann?!?!

25.01.2006, 14:38

20_Cent

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RE: Kombinatorik

Zitat:

Original von pinky101
Also ich habe jetzt noch was dazu aber ich bräuchte da mal Hilfe wie ich weiter machen soll...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ja das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n! \\ (k+1)! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n! \\ (k+1)*k! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ist nicht das gleiche!

Zitat:

Also habe ich jetzt die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n! \\ (n-k)*k! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n! \\ (k+1)*k! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n! \\ (n-k)*(n-k-1)!*k! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n! \\ (k+1)*k! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ...
mit welcher diesen beiden soll ich am besten weiter machen? kann mir jemand sagen wie ich n! umformen kann bzw. wie ich damit weiter rechen kann?!?!

erstens stehen da terme und keine gleichungen, zweitens sind beide falsch. Schreibe Brüche (!) und setze die komplette linke seite deiner Gleichung richtig(!) in die Definition ein.

mfg 20

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25.01.2006, 21:45

pinky101

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RE: Kombinatorik
Was ist daran falsch...etwas dumm ausfgeschrieben da sind Bruchstruche aber ich wusste net wie man die macht...*g*

also neuer versuch...
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n}{(n-k)!k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

(k+1)! = (k+1)*k!

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{(n-k)!k!} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(k+1)*k!} \end{eqnarray*}$ dies soll dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ergeben...

das müsst doch soweit richtig sein?!?

25.01.2006, 22:01

20_Cent

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix}= \frac{n!}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

wie kommst du denn dadrauf?
da fehlt was im nenner.
mfG 20

25.01.2006, 22:14

pinky101

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ich habe das mit zahlen ausprobiert...
wenn ich für k=4 einsetze und für n= 2 kommt jeweil das gleiche ergebnis raus?!?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4\\ 2+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 4

$\begin{eqnarray*} \frac{4!}{(2+1)!} \end{eqnarray*}$ = 24/6 =4...
daraus habe ich das geschlossen...

ich bracuhe ja einen bruch um weiter arbeiten zu können ?!?!
Mfg Pinky

25.01.2006, 22:16

20_Cent

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beim ersten term hast du in die definition eingesetzt, warum machst du das hier jetzt nicht auch?!

Setzt mal andere Zahlen ein, dann passt es nicht mehr.
mfG 20

25.01.2006, 22:27

pinky101

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jetzt bin ich mitlerweile total durcheinander...was nun bis jetzt richtig ist und was falsch ist?!?

das liegt daran das ich keine weitere def dafür habe oder übersehe ich die etwa die ganze zeit???

Mfg Pinky

25.01.2006, 22:36

20_Cent

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du kennst doch die definition?
ich mach sie mal mit anderen buchstaben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}= \frac{u!}{v!(u-v)!} \end{eqnarray*}$

jetzt versuche das mal zu übertragen... auf n und k+1.

mfG 20

25.01.2006, 22:44

pinky101

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ist das dann :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(k+1)!*(n-k+1)!} \end{eqnarray*}$
so?1?

Mfg

25.01.2006, 22:48

20_Cent

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fast, setze eine klammer, bzw. tausche + gegen -.
mfG 20

25.01.2006, 22:51

pinky101

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also....

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(k+1)!*(n-(k+1))!} \end{eqnarray*}$ ....

25.01.2006, 22:53

20_Cent

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genau. jetzt kannst du die terme zusammenfassen, umsortieren...
mfG 20

25.01.2006, 22:57

pinky101

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ok wunderbar und jetzt habe ich folgenedes:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!*(n-k)*(n-k-1)!} +\frac{n!}{k!*(k+1)*(n-k-1)!} \end{eqnarray*}$

ich komme mir so dumm vor...jetzt habe ich ja noch die n-k und k+1 ?!?!

25.01.2006, 23:00

20_Cent

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das ist immer noch nicht richtig, was hast du jetzt wieder gemacht?
du musst NUR in die definition einsetzen!
mfG 20

25.01.2006, 23:06

pinky101

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ich habe für (n-k )! folgendes eingesetzt....(n-k)*(n-k-1)!....
und für (k+1)! = (k+1)*k!....so ist uns das vorgegeben worden....

25.01.2006, 23:12

20_Cent

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du musst nur n und k durch n und k+1 ersetzen.
bzw. für den ersten term lässt du die definition einfach stehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfG 20

25.01.2006, 23:21

pinky101

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[quote]Original von 20_Cent
du musst nur n und k durch n und k+1 ersetzen.

hääää.....das verstehe ich nicht, was muss ich wofür einsetzten?

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!*(n-k)!} +\frac{n!}{(k+1)!*(n-k-1)!} \end{eqnarray*}$ ....?!?

25.01.2006, 23:25

20_Cent

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na endlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

jetzt hast du es!
Super!

Jetzt musst du mit dem Hauptnenner erweitern und zusammefassen.
mfg 20

25.01.2006, 23:39

pinky101

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so habe einen gedanken gang der wahrscheinlich wieder mal nicht so das wahre ist...;-(

unter dem bruchstrich steht ja folgendes:

k!*(n-k)!*(k+1)!*(n-k-1)! wenn ich für( n-k)! = (n-k)*(n-k-1)! einsetze und für (k+1)! = (k+1) * k! einsetzte bekomme ich das gleich heraus wie wenn ich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{(k+1)!*(n-k)!} \end{eqnarray*}$

dann setzte ich für (k+1)! = (k+1) * k! ein
und für (n-k)! = (n-k)*(n-k-1)! ein...ist das eine richtige richtung oder mal wieder quatsch....?!?!

25.01.2006, 23:45

pinky101

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ne das passt iregdnwie auch net... traurig

traurig

25.01.2006, 23:47

20_Cent

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eine möglichkeit ist, deine linke seite gleichzusetzen mit deiner rechten seite und dann zu gucken, ob die gleichung erfüllt ist.
mfG 20

26.01.2006, 00:07

pinky101

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keinen blassen schimmer aber das wird irgendiw eghen....trotzdem vielen dank...
Mfg Pinky

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