Eigenwerte und Eigenvektoren

25.01.2006, 16:22

Bloomy

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Eigenwerte und Eigenvektoren

Hallo,

haben letzte Woche Eigenwerte und Eigenvektoren angesprochen, jedoch keine Beispielaufgabe dazu gerechnet und jetzt hab ich dazu eine Hausaufgabe auf unglücklich

unglücklich

. Hab mir dazu auch schon einiges durchgelesen aber wenn da kein Beispiel zu steht, versteh ich überhaupt net wie ich das rechnen soll...

Hier meine Aufgabe:
Bestimmen Sie charakteristische Gleichung, Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\-1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Weiß auch jetzt nicht so genau, was mit "charakteristischer Gleichung" gemeint ist. Im Buch steht dazu:
Ein Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} vec{0} \end{eqnarray*}$ existiert nur, wenn die Matrix A-k+E nicht regulär ist, wenn also $\begin{eqnarray*} \mid A-k*E \mid \end{eqnarray*}$ =0 ist. Diese Geichung heißt charakteristische Gleichung.

Mhm..toll, was hab ich jetzt davon?
Wär echt super, wenn mir jemand von euch mal die Aufgabe als Beispiel vorrechnen würde. Ich weiß, das sollte ich jetzt net verlangen aber würd mir echt helfen,weil ich dann mal wüsste wie sowas aussieht verwirrt

verwirrt

Danke schonmal!

25.01.2006, 16:29

Mazze

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Zitat:

Wär echt super, wenn mir jemand von euch mal die Aufgabe als Beispiel vorrechnen würde.

Das wird hier nicht passieren. Aber Du bist nah dran es selbst zu schaffen. Zunächst sollst Du die Gleichung

$\begin{eqnarray*} | A - k \cdot E| = 0 \end{eqnarray*}$

lösen. Wenn Du senkrechte Striche um die Matrix hast heißt das, dass ist die Determinante. Du sollst also im ersten Schritt (!) die Determinante von A - k*E ausrechnen und dann 0 setzen. Also die Determinante von

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 - k & 1 \\-1 & 2 - k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So jetzt bist Du dran wie sind die Eigenwerte definiert ? (da musst Du nur in Deine Vorlesungsunterlagen schauen !)

25.01.2006, 16:52

Bloomy

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Also, davon versteh ich jetzt mal überhaupt gar nichts traurig

traurig

Hab auch leider keine Vorlesungsunterlagen, wo ich reingucken könnte, bin doch nur ein armer kleiner Schüler *g*

Ich hab aber doch nur die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben und sonst nichts...Dann kann ich doch auch nicht das k abziehen....Und wieso wird von 4 und 2 ein k abgezogen und von -1 und 1 nicht?

Geht das etwa so:

k*E = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann das ganze von A abziehen? Dann hat man ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4-k & 1 \\ -1 & 2-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Ahaaa! Ich glaub ich habs...Aber ist das jetzt schon das, was man die charakteristische Gleichung nennt oder fehlt da noch was? Das kann doch keine Gleichung sein, ist ja nur eine Matrix!

Mhm...ein Eigenwert... also ein Eigenvektor hat die gleiche Richtung wie sein Bildvektor, was auch immer das heißen mag und der Streckfaktor ist der Eigenwert...oder so. Aber müsste ich den nicht aus der Gleichung ablesen können?

25.01.2006, 16:54

Mazze

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Ich frag anders,

weißt Du was die Determinante einer Matrix ist?

Zitat:

Aber ist das jetzt schon das, was man die charakteristische Gleichung

Ist das eine Gleichung (ist da irgendwo ein Gleichheitszeichen?)

25.01.2006, 16:59

Bloomy

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Nein, das weiß ich nicht unglücklich

unglücklich

*g* dann nehmen ich mal an, es ist keine Gleichung Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.01.2006, 17:01

Mazze

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Zitat:

Nein, das weiß ich nicht

Gut, dann schau Dir erstmal in Deinem Buch an was die Determinante ist. Die Formale definition wirst Du als Schüler nicht so brauchen. Viel mehr wie man sie berechnet. Für die Eigenwerte/Eigenvektoren brauchst Du die Determinante.

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25.01.2006, 17:33

Bloomy

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Dazu hab ich im Buch nichts gefunden, jetzt hab ich das erstmal anders ausgerechnet:

charakteristische Gleichung: $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 4-k & 1 \\ -1 & 2-k\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ =0
<=> (4-k) (2-k) +1 =0
<=> k=3

Wenn man k=3 in die Gleichung einsetzt, kommt für den Eigenwert e=1 raus.

Eigenvektoren:

(A-3*E) * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 &1\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

<=> x+y=0, -x+y=0

<=> x=0, y=0

Eigenvektor ist also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
So stands bei mir im Buch denk ich.

25.01.2006, 17:39

Mazze

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Also ersten. Ein Eigenvektor ist nur dann ein Eigenvektor zu einem Eigenwert wenn der Vektor ungleich 0 ist. Damit ist Deine Lösung schonmal falsch.

Du hast übrigens in Deinen ersten Umformungsschritten die Determinante berechnet und das char. Polynom

(4 - k)(2-k) + 1 erhalten.

Die Nullstellen dieses Polynoms sind die Eigenwerte.
Also musst Du die Nullstellen von

k² - 6k + 9

bestimmen. Die einzige (doppelte) Nullstelle ist wie Du gesagt hast 3. Danach hast Du einen Fehler beim einsetzen gemacht. 2 -3 = -1

Sei x ein Vektor, x heißt Eigenvektor zum Eigenwert k wenn x ungleich 0 ist und

$\begin{eqnarray*} A \cdot x = k \cdot x \end{eqnarray*}$

gilt, oder äquivalent wenn

$\begin{eqnarray*} (A - k \cdot E) \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$

25.01.2006, 17:49

Bloomy

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Naja, wenigstens ein Teil ist schonmal richtig.
Ja, 2-3 = -1...
Dachte nur, dass da wegen den Betragstrichen dann 1 rauskommt.

Mhm...hat die -1 denn überhaupt irgendeine Bedeutung? Kann ich damit was machen?
Rechne ich dann für den Eigenwert
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}4& 1 \\-1 &2\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ *x = 3*x

oder

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}1& 1 \\-1 &-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ *x = 3*x

Würde das mit der 2. Variante rechnen, dann hätte ich was mit der -1 gemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.01.2006, 17:53

Mazze

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Zitat:

Dachte nur, dass da wegen den Betragstrichen dann 1 rauskommt.

Das sind keine Betragsstriche. Kleiner Exkurs

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

heißt das es eine Matrix ist.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

heißt das es die Determinante der Matrix ist NICHT der Betrag.

Du könntest das erste GLS lösen was schwierig ist. Das zweite GLS ist falsch. Du lößt am besten immer das GLS

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$

also allgemein

$\begin{eqnarray*} (A - k \cdot E) \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$

25.01.2006, 18:19

Bloomy

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Ah...ok!
Dann ist das ja die gleiche Rechnung, die ich ausversehen weiter oben für die Eigenvektoren genommen hatte.

dann hab ich x+y=0 und -x-y=0. Mhm....da kommt ja nachher 0=0 raus.

Gibt es hier vielleicht gar keine Eigenwerte?

Sorry, wegen meiner vielen Fragen^^

25.01.2006, 18:42

Mazze

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Zitat:

Gibt es hier vielleicht gar keine Eigenwerte?

Du meinst sicher Eigenvektoren, da Du den einzigen Eigenwert 3 schon bestimmt hast. Folgendes

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$

Wir addieren zur zweiten Zeile die erste also folgt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$

Und hier sieht man sofort das es unendlich viele Eigenvektoren gibt. Das nennt man dann übrigens den Eigenraum (jetzt sehr unformal ausgedrückt)

Nun wie lößt man ein Gleichungssystem das in Zeilenstufenform ist. Man fängt unten an. Da steht

0*x2 = 0

Das heißt x2 ist eine beliebige reelle Zahl. Jetzt gehen wir eine Zeile weiter hoch da steht

x1 + x2 = 0 also ist x1 = -x2. Damit ist jeder Vektor der Form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -t \\ t \end{pmatrix} t \in R_{+} \end{eqnarray*}$

ein Eigenvektor zum Eigenwert 3.

Probier es einfach mal aus. Such Dir ein t aus und dann überprüfe die Bedingung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\-1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -t \\ t \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} -t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das kannste sogar allgemein so aufschreiben.

26.01.2006, 16:17

Bloomy

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Danke :-)

Hab das auch mal so ähnlich ausprobiert, nur dass ich statt -t und t einfach x und y eingesetzt habe. Dann hab ich das aufgelöst und als Ergebnis hatte ich dann y=-x.

Bedeutet das nicht das gleiche? Also, ich mein, das heißt doch dann auch, dass es beliebig viele Eigenvektoren sind und find ich irgendwie noch etwas einfacher.

26.01.2006, 19:21

Mazze

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Zitat:

und find ich irgendwie noch etwas einfacher

Du findest es einfacher eine Variable durch 2 Auszudrücken?
Wie auch immer, es ist exakt das gleiche.

26.01.2006, 21:24

Bloomy

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Naja, vielleicht etwas umständlicher aber irgendwie hab ich das eher verstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was ist denn, wenn am Ende y=y oder x=x rauskommt? Gibts dann auch unendlich viele Lösungen?

26.01.2006, 21:46

Mazze

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x = x gilt wohl für alle Werte die Du einsetzt oder?

27.01.2006, 12:38

Bloomy

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Ja, ich dachte nur, da ich da ja keinen y-Wert gegeben hab...dann weiß ich ja nicht, ob ich y auch beliebig wählen kann.

Ich schreib meine Rechnung einfach mal auf, vll hab ich ja auch nen Fehler.

Die gegebene Matrix ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die charakteristische Gleichung dazu
k²-6k+5=0

Die Eigenwerte sind k=5 und k=1

Berechnung des 1. Eigenvektors:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5x \\ 5y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

<=> x=5x und 3x+5y=5y
<=> x=0 und y=y

Berechnung des 2. Eigenvektors:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

<=> x=x und 3x +4y=0
<=> x=x und -3/4x =y

Heißt das jetzt, dass ich beim ersten Eigenvektor für y unendlich viele werte einsetzen kann, aber x trotzdem immer =0 ist?

Und bei dem 2. Eigenvektor hab ich einen Widerspruch. Die erste Zeile würde mir demnach sagen, dass x frei wählbar ist, aber die 2. Zeile sagt aus, dass der Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-3/4 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

27.01.2006, 12:48

Mazze

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Wie ich Dir schon gesagt habe Du solltest

$\begin{eqnarray*} (A - k \cdot E)x = 0 \end{eqnarray*}$

lösen da passiert sowas erst garnicht.

Zitat:

Heißt das jetzt, dass ich beim ersten Eigenvektor für y unendlich viele werte einsetzen kann, aber x trotzdem immer =0 ist?

Das kannst Du dir selber erklären in dem Du einfach mal

Ax berechnest.

Zitat:

Und bei dem 2. Eigenvektor hab ich einen Widerspruch. Die erste Zeile würde mir demnach sagen, dass x frei wählbar ist, aber die 2. Zeile sagt aus, dass der Eigenvektor

Das ist falsch. Das ist ein Eigenvektor nicht der Eigenvektor. Im allgemeinen gibt es zu einem Eigenwert unendlich viele Eigenvektoren, diese Menge nennt man dann Eigenraum. Und x ist freiwählbar. Y hängt aber von x ab. Das ist alles. Da ist kein Widerspruch. Zudem ist Dein Eigenvektor falsch denn

$\begin{eqnarray*} \frac{-3}{4} \cdot \frac{-3}{4} = \frac{9}{16} \neq 1 \end{eqnarray*}$

Um einen Eigenvektor zu bekommen setzt Du ein x-ein und erhälst so die y Koordinate des Vektors. Dein Eigenvektor sieht allgemein so aus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ -\frac{3}{4}x \end{pmatrix} x \in R \end{eqnarray*}$

ohne 0.

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