Abstand Gerade Ebene im R4 |
27.04.2004, 15:52 | sepia | Auf diesen Beitrag antworten » |
Abstand Gerade Ebene im R4 ich hab folgendes ne gerade L: (1,3,0,2) + r (0,1,0,0) und ne ebene mit (2,-1,-2,1) + s(1,0,-1,1) + t(1,1,1,1) so jetzt hab ich auch schon nen vektor gefunden der zu allen anderen richtungsvekoren orthogonal ist (1,0,0,-1) aber ich scheitere immer bei dem versuch jetzt den abstand zwischen gerade und eben anhand diesem vektor zu benutzen . kennt jemand diese aufgabenstellung und kann mir weiter helfen bzw. denkanstoss im inet find ich auch nix wirklich gutes |
||
27.04.2004, 17:29 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Abstand Gerade Ebene im R4 Wenn ich mich recht erinnere, kannst du diesen Abstand bestimmen, indem du einen Punkt A auf der Geraden und einen Punkt B auf der Ebene findest, so dass der Vektor AB ein Vielfaches des orthogonalen Vektors ist. Der Abstand von A zu B ist dann der minimale. Die beiden Punkte A = (1,3,0,2) + r (0,1,0,0) B = (2,-1,-2,1) + s(1,0,-1,1) + t(1,1,1,1) einsetzen in A - B = u(1,0,0,-1) ergibt das zu lösende Gleichungssystem mit den Unbekannten r,s,t,u. Gruss, SirJective |
||
27.04.2004, 18:41 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich hab's mit Infinitesimalrechnung versucht: X = (1,3+r,0,2) beliebiger Punkt der Geraden g Y = (2+s+t,-1+t,-2-s+t,1+s+t) beliebiger Punkt der Ebene E Ist a der Abstand von X,Y, so gilt: a² = f(r,s,t) = (X-Y)(X-Y) (Skalarprodukt) Jetzt den Gradienten von f bestimmen und Null setzen. Man erhält ein lineares Gleichungssystem, aus dem sich eindeutige Werte für r,s,t ermitteln lassen. Die Jacobi-Matrix f'' ist positiv definit, also liegt ein Minimum vor. Setze ich die Werte von r,s,t ein, erhalte ich a² = 2. |
||
27.04.2004, 18:54 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die etwas aufwendige Überprüfung der positiven Definitheit kann man sich aus Gründen der Anschaulichkeit sparen: Es ist klar, dass das Min. existiert und f diffbar ist. Wenn nur eine Stelle mit grad f(x)=0 vorhanden ist, muss dies das gesuchte Min. sein... Liebe Grüße Mario |
||
27.04.2004, 19:00 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Abstand Gerade-Ebene im 4-dimensionalen euklidischen Raum Stimmt! Und man kann sogar eine Begründung finden, die diese "Anschaulichkeit" sichert: a²=f(r,s,t) nimmt nämlich keine negativen Werte an und ist am Rande unbeschränkt. Also existiert ein globales Minimum. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
Die Neuesten » |