Abstand Gerade Ebene im R4

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sepia Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Gerade Ebene im R4
hi
ich hab folgendes
ne gerade L: (1,3,0,2) + r (0,1,0,0)
und ne ebene mit (2,-1,-2,1) + s(1,0,-1,1) + t(1,1,1,1)
so jetzt hab ich auch schon nen vektor gefunden der zu allen anderen richtungsvekoren orthogonal ist (1,0,0,-1) aber ich scheitere immer bei dem versuch jetzt den abstand zwischen gerade und eben anhand diesem vektor zu benutzen .
kennt jemand diese aufgabenstellung und kann mir weiter helfen bzw. denkanstoss im inet find ich auch nix wirklich gutes
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand Gerade Ebene im R4
Wenn ich mich recht erinnere, kannst du diesen Abstand bestimmen, indem du einen Punkt A auf der Geraden und einen Punkt B auf der Ebene findest, so dass der Vektor AB ein Vielfaches des orthogonalen Vektors ist. Der Abstand von A zu B ist dann der minimale.

Die beiden Punkte
A = (1,3,0,2) + r (0,1,0,0)
B = (2,-1,-2,1) + s(1,0,-1,1) + t(1,1,1,1)
einsetzen in
A - B = u(1,0,0,-1)
ergibt das zu lösende Gleichungssystem mit den Unbekannten r,s,t,u.

Gruss,
SirJective
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab's mit Infinitesimalrechnung versucht:
X = (1,3+r,0,2) beliebiger Punkt der Geraden g
Y = (2+s+t,-1+t,-2-s+t,1+s+t) beliebiger Punkt der Ebene E

Ist a der Abstand von X,Y, so gilt: a² = f(r,s,t) = (X-Y)(X-Y) (Skalarprodukt)
Jetzt den Gradienten von f bestimmen und Null setzen. Man erhält ein lineares Gleichungssystem, aus dem sich eindeutige Werte für r,s,t ermitteln lassen. Die Jacobi-Matrix f'' ist positiv definit, also liegt ein Minimum vor. Setze ich die Werte von r,s,t ein, erhalte ich a² = 2.
Mario Auf diesen Beitrag antworten »

Die etwas aufwendige Überprüfung der positiven Definitheit kann man
sich aus Gründen der Anschaulichkeit sparen: Es ist
klar, dass das Min. existiert und f diffbar ist.
Wenn nur eine Stelle mit grad f(x)=0 vorhanden ist, muss dies
das gesuchte Min. sein...

Liebe Grüße
Mario
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Gerade-Ebene im 4-dimensionalen euklidischen Raum
Stimmt! Und man kann sogar eine Begründung finden, die diese "Anschaulichkeit" sichert: a²=f(r,s,t) nimmt nämlich keine negativen Werte an und ist am Rande unbeschränkt. Also existiert ein globales Minimum.
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