Taylorentwicklung - was soll das eigentlich?

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22.05.2008, 17:00	FelixH	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorentwicklung - was soll das eigentlich? Hallo! Ich versuche gerade ein Mathereferat über die Taylorentwicklung vorzubereiten. Ich glaube die Mathematik dahinter habe ich so weit verstanden: Man schafft sich eine Polynomfunktion, die die gegebene Funktion an einer definierten Stelle (und auch in einem bestimmten Abstand um diese Stelle) annähert. Jetzt meine Frage: das erste Glied dieser Polynomfunktion entspricht ja schon dem Funktionswert der zu nähernden Funktion an dem Entwicklungspunkt, d. h. an dem Punkt, für den ich dann später wahrscheinlich auch die Näherung haben möchte. Also eigentlich errechne ich hier ja eine Näherung mit Hilfe des tatsächlichen exakten Wertes, oder? Warum dieser Aufwand? Auf keiner Internetseite wurde das richtig erklärt. MfG Felix
22.05.2008, 17:06	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, man benutzt die Taylorentwicklung wie du schon gesagt hast, um Näherungswerte zu bestimmen. Will man zB $\begin{eqnarray} \log(0.9) \end{eqnarray}$ näherungsweise bestimmen, kann man natürlich nicht $\begin{eqnarray} a=0.9 \end{eqnarray}$ als Entwicklungspunkt wählen. In diesem Falle würde man 1 als Entwicklungspunkt wählen. D.h. man wählt einen Entwicklungspunkt, dessen Wert man kennt und kann dann die Werte in der nähe dieses Punktes annähern
22.05.2008, 17:40	FelixH	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke, so weit habe ich das jetzt verstanden. Kann man das auch auf trogonometrische Funktionen anwenden? Eigentlich sollten ja bei einer unendlichen Potezreihe dann alle genäherten Funktionswerte auch gegen unendlich laufen, oder? Und gibt es eine Möglichkeit unendliche (oder zumindest längere) Potenzreihen schnell auszurechnen? Immer einzeln die Ableitungen der Funktion auszurechnen und alles einsetzen ist ja relativ aufwendig. Danke schonmal, Felix
23.05.2008, 00:56	FelixH	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Also erstmal vergesst bitte die Frage mit den trogonometrischen Funktionen, da bin ich dann doch selber noch draufgekommen... :-) Aber es hat sich noch eine weitere Frage ergeben: Auf folgender Seite (http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Versc...spdf/Taylor.pdf) wird in den ersten paar Zeilen die Taylorreihe hergeleitet, und zwar im Prinzip durch algebraische Umformung eines Polynoms. Jetzt ist meine Frage, ob ich das als allgemeine Herleitung für die Taylorreihe verwenden darf, die sich nicht nur auf einfache Polynome beziehen lässt, sondern für alle denkbaren Funktionen gilt? Ich habe so meine Probleme damit das zu glauben, weil es ja auch auf den ersten Blick nur mit dem Entwicklungspunkt 0 logisch erscheint. Aber es wäre natürlich schon schön, weil der Beweis mittels vollständiger Induktion wohl zu lang für mein Referat ist. MfG Flix
23.05.2008, 10:57	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Also der erste Teil (Zeile 1 - 5) gilt tatsächlich nur für Polynome. Die Verallgemeinerung folgt dann in dem Teil danach...
23.05.2008, 15:35	FelixH	Auf diesen Beitrag antworten »
also mein Mathelehrer hat mir gesagt, ich soll auf die Bedeutung der Taylorentwicklung in der analytischen Geometrie eingegehn... Dazu ist ja im Internet so weit ich gesehen habe rein garnichts zu finden. Kann mir jemand evtl. ein Stichwort geben unter dem ich weiter suchen kann? MfG Flix
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23.05.2008, 17:15	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Was versteht dein Lehrer unter "analytische Geometrie" ?
23.05.2008, 17:41	FelixH	Auf diesen Beitrag antworten »
öhm das ist bei uns im LK eben das dritte Themengebiet neben Analysis und Stochastik. Wir rechnen da mit Vektoren, Vektoren im mehrdimensionalen Raum, Koordinaten, ... Lauter solche Sachen.
23.05.2008, 18:42	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Also was die Geometrie angeht fällt mir da eigentlich nichts ein, es sei denn man nimmt Funktionen mehrerer Veränderlicher darin auf (von diesen kann man ähnlich eine Taylorreihe haben), was aber wohl eher unüblich ist. Noch zur Herleitung: Angenommen wir haben eine Funktion $\begin{eqnarray} f:I\to\mathbb R \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ein reelles Intervall ist und die Funktion ist "genügend oft" differenzierbar auf diesem Intervall (ich nehme nun mal an dass sie unendlich oft differenzierbar ist). Wenn dann $\begin{eqnarray} x_0\in I \end{eqnarray}$ eine Stelle im Intervall ist, kann man immer eine Taylorreihe von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit dem Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ schreiben, die sogenannte formale Taylorreihe, also sowas: $\begin{eqnarray} f(x)~\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \end{eqnarray}$ Die interessante Frage an der ganzen Sache ist: Konvergiert diese Reihe überhaupt? Wenn ja wo? Und vor allem auch wogegen? Genau wegen der letzten Frage hab ich auch kein "=" geschrieben sondern ein "~", was man als "hat die Taylorreihe" lesen könnte. Das heisst die interessanten Dinge die man erwähnen sollte ist der sogenannte Konvergenzradius der Taylorreihe oder wie man auch sagt, der Potenzreihe. Klar ist natürlich, dass diese Reihe an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ selbst konvergiert, denn dann steht da lediglich $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x_0-x_0)^k=f(x_0) \end{eqnarray}$ aber das ist uninteressant. Nun aber "wie weit" um $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ konvergiert das Ding auch noch? Beispielsweise hat die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=e^x \end{eqnarray}$ eine überall konvergente Taylorreihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^k \end{eqnarray}$ (Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ ) und jetzt kommt das wichtige: Diese Taylorreihe konvergiert und stellt die Funktion dar, das heisst man kann wirklich schreiben $\begin{eqnarray} e^{x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^k \end{eqnarray}$ [also mit "="] Ganz anders hingegen verhält sich das Beispiel von Wikipedia: Die angegebene Funktion hat natürlich auch eine Taylorreihe, und diese Taylorreihe konvergiert auch überall (das heisst auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ), aber der Wert der Taylorreihe stimmt nirgendwo mit dem Funktionswert überein (mal vom Entwicklungspunkt abgesehen). Also so ganz einfach wie sich der Autor des angegebenen Skripts macht ist es nicht. Also mein Tipp ist sich ein bischen in die interessanten Fragen einzulesen, das heisst bezüglich Konvergenz der "quasi immer" vorhandenen Taylorreihe einer Funktion.
24.05.2008, 14:06	FelixH	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Also erstmal danke für deine Anregungen! Ich weiß nur noch nicht ob die Herleitung der Formel für den Konvergenzradius für mein Referat etwas zu weit führt... Was bedeutet eigentlich die Schreibweise, dass die Funktion ein reelles Intervall auf R abbildet? Das ist mir so noch nie untergekommen.
24.05.2008, 14:41	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst das ja auch nicht herleiten, das führt wirklich viel zu weit. Was ich damit sagen wollte ist, dass sich der Autor meiner Meinung nach komisch audrückt und suggeriert, dass wenn man eine Taylorreihe hat nichts schief gehen kann. Ich würde dir wie gesagt empfehlen dass du dich ein bischen einliest und die Beweise weglässt, denn die sind für einen Überblick über das Thema nicht so wichtig [ganz anders natürlich wollte man einen exakten Aufbau machen.]. Nur ich persönlich finde es sinnvoller dass man die Idee und die Probleme des Konzepts der Taylorreihe versteht! Zur Schreibweise: Du weisst ja, dass eine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ einen Definitions- und einen Wertebereich hat. Und mit der Schreibweise $\begin{eqnarray} f:I\to\mathbb R \end{eqnarray}$ drückt man aus, dass der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ das ganze Intervall $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ist und der Wertebereich in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ zu finden ist, oder anders gesagt: Die Funktion schickt jeden Punkt des Intervalls $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ auf eine reelle Zahl. Im Gegensatz zb. heisst $\begin{eqnarray} g:[0,1]\to\{0,1\} \end{eqnarray}$ dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ jeden Punkt des Intervalls $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ nimmt und ihm einen Wert aus der Menge $\begin{eqnarray} \{0,1\} \end{eqnarray}$ zuordnet [wie beispielsweise die konstante Funktion $\begin{eqnarray} g(x)=0 \end{eqnarray}$ ]. Man könnte allerdings genauso schreiben $\begin{eqnarray} g:[0,1]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ das bedeutet das gleiche [denn $\begin{eqnarray} \{0,1\}\subset\mathbb R \end{eqnarray}$ ]. Der Vorteil dieser Schreibweise ist einfach, dass man sofort den Definitions- und Wertebereich sieht.
01.06.2008, 19:40	FelixH	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke, ich denke auf diese Schreibweise werde ich wohl verzichten. Noch eine allgemeine Frage: entspricht ein Taylorpolynom unendlicher Länge grundsätzlich die Ausgangsfunktion, oder trifft das bei manchen Funktionen nicht zu. Da findet man im Internet recht unterschiedliche Angaben. MfG Felix
01.06.2008, 20:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es trifft nicht zu: Berühmtes Gegenbeispiel ist $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} & \;\mbox{für}\; x>0\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ . Unendlich oft differenzierbar auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , und alle Ableitungswerte im Nullpunkt sind gleich Null.

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