Zahl mit 15 oder 7 Teilern

27.01.2006, 17:35

Flori

Zahl mit 15 oder 7 Teilern

Wir haben eine Aufgabe, welche lautet
Gibt es eine natürliche Zahl mit 15 Teilern oder genau mit 7 Teilern? (Wenn möglich , jeweils die kleinste Zahl!)

Ich kann rechnerisch keine Zahl mit 15 bzw. 7 Teilern ermitteln. Solche Zahlen existieren doch nicht, oder habe ich etwas nicht richtig verstanden.
Teileranzahl rechnet man ja eigentlich aus indem man die Exponenten der PFZ nimmt und die 1 addiert oder?

27.01.2006, 17:37

rain

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die zahl $\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ...\cdot 14 \cdot 15 \end{eqnarray*}$
hat z.B. 15 teiler und ist eine natürliche!

für genau 7 teiler,nehme die 7 kleinsten primzahlen miteinander mal..

hehe. Prost

27.01.2006, 17:42

carsten

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Zitat:

Original von raindrop1987
die zahl $\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ...\cdot 14 \cdot 15 \end{eqnarray*}$
hat z.B. 15 teiler und ist eine natürliche!

für genau 7 teiler,nehme die 7 kleinsten primzahlen miteinander mal..

hehe. Prost

noe, weil man die Faktoren untereinander zu neuen Teilern zusammensetzen kann.

Wenn eine Zahl unter anderem 2 und 3 als Teiler hat, dann hat sie auch automatisch 6 als Teiler. So kann man gewisse Anzahlen an Teilern ausschliessen.

Das mit 15 Teilern stimmt auch nur wenn "15 Teiler" fuer "mindestens 15 Teiler steht", was mathematisch zwar korrekt ist, in der Schule aber manchmal anders gemeint ist.

Edit:

Zitat:

Teileranzahl rechnet man ja eigentlich aus indem man die Exponenten der PFZ nimmt und die 1 addiert oder?

Gegensbeispiel:

2*2*3=12, hat Teiler: 1,2,3,4,6,12, das sind 6.
Exponenten der PFZ 2 und 1.....

27.01.2006, 17:45

rain

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nee,versehen.sorry!
edit: zählt die 1 auch als teiler?

27.01.2006, 17:56

Leopold

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Eine Zahl mit genau 15 Teilern ist z.B. $\begin{eqnarray*} 2^{14} = 16384 \end{eqnarray*}$ . Aber das ist natürlich nicht die kleinste derartige Zahl.

Man verwende:

Die Zahl $\begin{eqnarray*} n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots \end{eqnarray*}$ hat genau $\begin{eqnarray*} (\alpha_1 + 1) \cdot (\alpha_2 + 1) \cdots \end{eqnarray*}$ Teiler.

Die $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ sind natürlich paarweise verschiedene Primzahlen und die Exponenten positiv ganzzahlig.

27.01.2006, 18:00

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Zitat:

Original von carsten

Zitat:

Teileranzahl rechnet man ja eigentlich aus indem man die Exponenten der PFZ nimmt und die 1 addiert oder?

Gegensbeispiel:

2*2*3=12, hat Teiler: 1,2,3,4,6,12, das sind 6.
Exponenten der PFZ 2 und 1.....

Ich weiß jetzt nicht, ob du provozieren willst (meine Ironiedetektoren sind ausgefallen), aber die korrekte Rechnung lautet natürlich

$\begin{eqnarray*} 12=2^2\cdot 3^1 \end{eqnarray*}$ ergibt Teileranzahl $\begin{eqnarray*} (2+1)(1+1)=6 \end{eqnarray*}$

Übrigens ist jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ als Teileranzahl möglich, z.B. von $\begin{eqnarray*} 2^{m-1} \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Ach, wieder zu langsam. Augenzwinkern

27.01.2006, 18:14

carsten

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Ich weiß jetzt nicht, ob du provozieren willst (meine Ironiedetektoren sind ausgefallen), aber die korrekte Rechnung lautet natürlich

$\begin{eqnarray*} 12=2^2\cdot 3^1 \end{eqnarray*}$ ergibt Teileranzahl $\begin{eqnarray*} (2+1)(1+1)=6 \end{eqnarray*}$

Übrigens ist jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ als Teileranzahl möglich, z.B. von $\begin{eqnarray*} 2^{m-1} \end{eqnarray*}$ .

Ne, ich sollte einfach nur ins Bett gehen und wieder gesund werden .... ich hab erst das " indem man die Exponenten der PFZ nimmt und die 1 addiert" falsch verstanden und dann nicht weit genug gedacht.....

'Tschuldigung

27.01.2006, 18:23

Flori

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ach danke ich habe für die kleinste Zahl mit 15 teilern schon gefunden. das ist die 144 , trotzdem vielen Dank.
So habe es jetzt auch verstanden! *jippie*

27.01.2006, 18:45

Leopold

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In einem fernen Land wollte sich der Diktator zu seinem siebzigsten Geburtstag seinen Landeskindern gnädig zeigen. Er wies daher den Schließer des Staatsgefängnisses in der Hauptstand an, im Rahmen einer Amnestie Gefange frei zu lassen.
Die Türen des Staatsgefängnisses waren mit 1,2,3,... durchnumeriert. Der Schließer sollte zunächst alle Türen öffnen, aber darauf achten, daß niemand entwischte. Dann sollte er, mit der Tür Nummer 2 beginnend, jede zweite Tür wieder zusperren. Dann wieder von vorne, jetzt mit der Nummer 3 anfangend, sollte er jede dritte Tür auf- oder zuschließen, je nachdem, ob sie zuvor zu oder auf war. Und dann jede vierte Tür, und schließlich jede fünfte Tür ... und ... und ...
Und freizulassen war dann jeder Gefangene, dessen Tür am Ende offen war.

Welche Gefangenen kommen in den Genuß der Amnestie?

27.01.2006, 19:15

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Eine sehr großzügige Amnestie - würdig eines Diktators.

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