Interpretation einer Äquivalenzklasse

28.01.2006, 15:02	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Interpretation einer Äquivalenzklasse Sei $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{n,n} \end{eqnarray}$ und die lineare DGL gegeben mit $\begin{eqnarray} y = Ay' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(0) = y_0 \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \phi(t;y_0) \end{eqnarray}$ die Lösungen der DGL zum Zeitpunkt t zum Anfangswert $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \phi(t;y_0) = y(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(0) = y_0 \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} R = \{ x \in \mathbb{R}^n, y \in \mathbb{R}^n \| \exists \delta. \phi(\delta;x) = y \} \end{eqnarray}$ Zu zeigen wäre das dass Ding ne Äquivalenzrelation ist. Das sollt ich hinkriegen viel mehr interessiert die Interpretation der Äquivalenzklassen. Die Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^N/R \end{eqnarray}$ werden "Phasenportrait" genannt. Nun aus dem Tutorium weiß ich das Phasenportrait ist die Menge der Trajektorien. Nur seh ich das der Relation nicht wirklich an. Kurz um ich versteh die Relation nicht wirklich.
29.01.2006, 00:33	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hängt damit zusammen das die Lösungen von der Form exp(A) sind. Je nachdem wie die Eigenwerte von A ausfallen, werden durch A verschiedene Vektorfelder definiert. Bei komplexen Eigenwerten kommen zum Beispiel Spiraltrajektoren raus. Ein Anfangswert y_o ist quasi wie ein "Korken" den man in diesen "Strudel" hineinwirft, und je nach Vorzeichen der Eigenwerte "wandern" die Korken zum Ursprung hin oder weg. Hier ist ein Link wo´s mathematischer erklärt wird (weiter unten scrollen, sind dort Beispiel für n=2) : English Wikipedia mfg, phi
29.01.2006, 09:38	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Dank Dir !
29.01.2006, 10:38	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen. Ist schon erstaunlich was man durch eine DLG aus so ´ner kleinen Matrix mit nur 4 Zahlen für eine Vielzahl von Vektorfeldern rausholen kann...

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