Ableitung der Umkehrfunktion

29.01.2006, 13:18

azur

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Ableitung der Umkehrfunktion

Hallo,
in unserer Formelsammlung steht, dass für differenzirbare Funktionen gilt

$\begin{eqnarray*} \overline f'(y_0)= \frac{1}{f'(x_0)} \end{eqnarray*}$

Wie wendet man diese Formel an? Wenn man z.B. die Formel $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ hat, wie berechnet man dann mit dieser Formel die Ableitung der Umkehrfunktion?

azur

29.01.2006, 13:20

rain

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f(x)=x^2 besitzt keine umkehrfunktion!

29.01.2006, 13:21

system-agent

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zuerst musst du mal sicherstellen, dass deine funktion überhaupt umkehrbar ist. so wie du dein f hinschreibst, ist sie das nämlich nicht. du musst wenigstens den def.-bereich auf nur positive x-werte einschränken !

29.01.2006, 13:33

Leopold

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Zitat:

raindrop1987 schrieb:
f(x)=x^2 besitzt keine umkehrfunktion!

Du bist aber knallhart!

Sind wir etwas genauer. Ohne Angabe von Definitions- und Wertebereich sollte man eine Funktion niemals umkehren. Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f: \ [0,\infty) \to [0,\infty) \, , \ \ f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

besitzt nämlich sehr wohl eine Umkehrfunktion, als da ist

$\begin{eqnarray*} \bar{f}: \ [0,\infty) \to [0,\infty) \, , \ \ \bar{f}(y) = \sqrt{y} \end{eqnarray*}$

Um nun z.B. die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} \bar{f} \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} y_0 = 6{,}25 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, muß man den Kehrwert der Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der zu $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ korrespondierenden Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = \bar{f}(y_0) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Das wäre hier $\begin{eqnarray*} x_0 = \bar{f}(6{,25}) = 2{,}5 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \bar{f}'(6{,}25) = \frac{1}{f'(2{,}5)} = \frac{1}{2 \cdot 2{,}5} = \frac{1}{5} = 0{,}2 \end{eqnarray*}$

Und wenn man das allgemein für ein $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ durchführt, erhält man auch die allgemeine Ableitungsfunktion der Wurzel.

29.01.2006, 13:39

rain

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jo,stimmt schon@leopold.
aber ich bin davon ausgegangen dass es sich hier um ein schulproblem handelt,und dort wird nunmal so "knallhart" vorgegangen..
sorry.

29.01.2006, 13:42

Leopold

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Inhaltlich hast du ja recht. Aber ein Hinweis an den Fragenden, welche entscheidende Überlegung da noch fehlt, wäre doch hilfreich gewesen. Oder nicht?

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29.01.2006, 13:43

rain

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ja,da hast du sicherlich recht..beim nächsten mal gehe ich anders vor.

29.01.2006, 16:22

Milkaschokolade

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Warum muss man denn den Definitonsbereich und den Wertebereich angeben um eine Umkehrfunktion bilden zu können?

29.01.2006, 17:56

20_Cent

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In die Funktion f(x)=x^2 kannst du alles einsetzen, aber es kommen nur positive Zahlen raus. Bei der Wurzelfunktion ist es genau umgekehrt. Wenn du also den Wertebereich der Funktion so einschränkst, dass alles getroffen wird, dann kannst du die Funktion umkehren.
mfG 20

29.01.2006, 18:19

azur

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Hallo,
vielen Dank für eure Posts. Wie macht man das, wenn man das allgemein und formal richtig machen will?

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 0\le x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\overline f(y)=\sqrt y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline f'(y)= \frac{1}{f'(\overline f(y))} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{f'( \sqrt y)} \end{eqnarray*}$

wenn jetzt f' bedeutet, dass man das mal 2 nehmen muss, dann hätte man das doch. Aber darf man das so einfach machen?

29.01.2006, 18:55

Leopold

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So einfach darf man das machen.

29.01.2006, 19:03

Lazarus

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Bei solch übersichtlichen Funktionen wie f(x)=x^2 oder f(x)^(-1)=sqrt(x) kann man natürlich die die formel anwenden, wobei es auch kein Problem darstellt, direkt abzuleiten.
Dies wäre, wenn nicht extra 2 verschiedene Lösungswege gefordert sind, hier sogar der kürzere Weg Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.01.2006, 22:35

Milkaschokolade

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[quote]Original von 20_Cent
In die Funktion f(x)=x^2 kannst du alles einsetzen, aber es kommen nur positive Zahlen raus. Bei der Wurzelfunktion ist es genau umgekehrt. Wenn du also den Wertebereich der Funktion so einschränkst, dass alles getroffen wird, dann kannst du die Funktion umkehren.
mfG 20[/qu

Das verstehe ich net so ganz. Meinst du mit dem"Einschränken", dass ich einfach nur angebe, welche y-Werte "entstehen" können bei dem Definitionsbereich der möglich ist?
Aber warum ich das machen muss, hab ich immer noch net verstanden.

Ich weiß aber, dass D und W bei ner Umkehrfunktion vertauscht werden....

29.01.2006, 22:40

rain

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so,dem y-wert 4 können zwei x-werte zugeordnet werden,nämlich 2 und -2,d.h. f ist somit nicht umkehrbar.wenn du nun aber festlegst: $\begin{eqnarray*} f(x):=x^2 ; x\geq 0 \end{eqnarray*}$ ,wird jedem y wert nur ein einziger x-wert zugeordnet.damit ist die funktion dann umkehrbar,um das ganze mal an nem beispiel zu verdeutlichen.

29.01.2006, 23:31

Milkaschokolade

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Sorry, aber warum ist die Parabel denn nicht umkehrbar. Ich verstehe es net..... Warum darf jedem Y-Wert nur ein X-Wert zugeordnet werden, damit die Funktion umkehrbar ist?

Hat das vielleicht damit was zu tun, dass man manchmal zwei Umkehrfunktionen raus bekommt?

29.01.2006, 23:35

Milkaschokolade

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Ah ok, verstanden.

Kann man denn auch andere Definitonsbereiche als x>0 wählen?

30.01.2006, 00:40

20_Cent

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du kannst diese parabel auf der y-achse verschieben, nach oben und nach unten. Dann ist der Wertebereich anders, damit auch der Definitionsbereich der Umkehrfunktion.
mfG 20

30.01.2006, 16:57

Milkaschokolade

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Heißt das dann , dass ich da drauf achten muss, dass jedem X-Wert nur ein Y-Wert zugeordnet ist, wenn ich den Definitionsbereich bestimmt habe!?!

30.01.2006, 18:16

20_Cent

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Sonst ist es keine Funktion mehr, darauf musst du also achten.
mfG 20

30.01.2006, 18:37

Milkaschokolade

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Nur nochmal zur Absicherung:

Bei der normalen Funktion darf aber ein Y-Wert mehrere X-Werte haben (zB bei einer Parabel)?!? Wenn ich bei dieser Funktion dann x und y vertausche, muss ich einen Definitonsbereich so definieren, dass jeder alte y-wert (neuer x-wert) nur noch einen alten x-wert (neuen y-wert) hat. Stimmt das jetzt so? Wenn ja, dann hab ich es verstanden.

30.01.2006, 18:42

system-agent

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das hast du so ganz richtig verstanden. eine solche funktion ist eine bijektive oder eineindeutige funktion !
weitere beispiele in der schule stellt wohl
f(x)=e^x
und ihre umkehrfunktion
g(x)=ln(x)
dar...

gruß, system-agent

30.01.2006, 18:52

Milkaschokolade

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Was genau ist jetzt eine bijektive oder eineindeutige Funktion?

Eine Funktion wo ein Y-Wert mehrere X-Werte hat?

Oder eine Funktion, wo ein X-Wert eigentlich mehrere Y-Werte hat, ihr aber die "Hälfte" der Y-Werte vom Definitonsbereich "geklaut" worden sind?

Was die Parabel-Funktion und E-Funktion gemeinsam haben sollen, hab ich jetzt nämlich nicht verstanden......

31.01.2006, 22:10

Milkaschokolade

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Könnt ihr meine letzten Frage, was genau eine bijektive bzw. eineindeutige Funktion ist klären?

31.01.2006, 22:28

Leopold

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bijektiv = eineindeutig = umkehrbar

31.01.2006, 22:42

Lazarus

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Ich glaube das hilft Milkaschokolade nicht sonderlich weiter, da sie denk ich nichts mit den Begriffen anfangen kann @ Leopold.
Ich denke Sie will eher hören, das eine Funktion genau dann bijektiv ist, wenn jedes Element der Zielmenge von genau einem Elementen der Definitionsmenge genau einmal getroffen wird.

Das heisst einerseits:
Jedes Element der Zielmenge wird getroffen (Surjektivität), allerdings nur genau einmal. (Injektivität)
Jedes Element der Ursprungsmenge liefert damit eindeutig ein Element der Zielmenge und Andersrum, somit kann die Abbildung umgekehrt werden.(Bijektiv=Umkehrbar)

Servus

31.01.2006, 22:53

Leopold

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Ich wollte Milkaschokolade eigentlich nur darauf aufmerksam machen, daß die in die Runde geworfenen Begriffe "bijketiv" und "eineindeutig" nichts zur Sache beitragen, weil sie in diesem Kontext nur Synonyme für "umkehrbar" sind. Und Umkehrbarkeit zu verstehen ist ja genau ihr Problem. Ein Problem wird aber nicht dadurch gelöst, daß man es mit neuen Fremdwörtern belegt und umbenennt. Man verwirrt dadurch den Fragestellenden nur, weil er sich da Wunder was darunter vorstellt. Wo doch eigentlich gar nicht Neues dahinter ist ...

Einmal eine anschauliche Beschreibung für den Hausgebrauch:
Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jede Parallele zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse den Graphen höchstens einmal schneidet.

31.01.2006, 22:58

Lazarus

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Damit hast du natürlich recht, dass durch den abwechselnden Gebrauch dieser Synonyme das eigentliche Problem eher vergrößert wurde.
Hoffen wir jedoch, das wir beide damit nun unseren Teil dazu beigetragen haben, jenes zu lösen.

01.02.2006, 20:15

Milkaschokolade

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Hey,

erstmal danke für eure Antworten!

Also, ich glaube ich habe es verstanden: Wenn man zu einer Ausgangsfunktion die Umkehrfunktion bestimmen will, muss man den Definitionsbereich der Ausgangsfunktion so einschränken, dass jeder y-Wert nur noch ein x-Wert hat (sollte das nicht von vornherein der Fall sein). Den Wertebereich passt man dem Definitionsbereich der Ausgangsfunktion dann an!

ok?

02.02.2006, 20:47

Milkaschokolade

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Ist meine Zusammenfassung denn jetzt richtig oder fehlt Wesentliches?

Bitte um Antwort! DAAAANKE

02.02.2006, 23:12

Lazarus

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Zitat:

Original von Milkaschokolade
[...]
Wenn man zu einer Ausgangsfunktion die Umkehrfunktion bestimmen will, muss man den Definitionsbereich der Ausgangsfunktion so einschränken, dass jeder y-Wert nur noch [genau] einen x-Wert hat (sollte das nicht von vornherein der Fall sein). Den Wertebereich passt man dem Definitionsbereich der Ausgangsfunktion dann an![...]

Was du mit dem letzten Satz gemeint hast, ist mir nicht ganz klar.
Könntest du das bitte nochmal genauer (präziser) formulieren?
Geht es um die Einschränkung des Wertebereiches, so dass er gleich dem Definitionsbereich ist, oder darum, das du in Hinblick auf die obengenannten Kriterien (die richtig sind) den Wertebereich bearbeiten willst.

Letzteres wäre richtig.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x)&=&\sin{x}\\f^{-1}(x)&=&\arcsin{x}\\D_f=&[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]& = W_{f^{-1}}\\W_f=&[-1;1] &= D_{f^{-1}} \end{eqnarray*}$

03.02.2006, 16:30

Milkaschokolade

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Wollte einfach nur sagen, dass man die möglichen Werte der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt und dann ausrechnet.... Das gibt dann den Wertebereich.
Danke!

03.02.2006, 16:36

Lazarus

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Ok. Gut, dann ist alles Richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

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