Joransche NF mit Basis

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23.05.2008, 13:13	July	Auf diesen Beitrag antworten »
Joransche NF mit Basis Hallo an alle! Bitte nicht, von den großen Matrizen abschrecken lassen , hab das Meiste schon berechnet. Einfach ma durchlesen! Ich habe ein Poblem mit folgender Aufgabe: Bestimmen Sie die jordansche Normalform der folgenden nilpotenten Matrix und berechnen Sie die Basis, bezüglich welcher die Matzrix der Abbildung $\begin{eqnarray} f=f_A \end{eqnarray}$ in Jordanblöcke zerfällt. $\begin{eqnarray} A = \left( \begin{array}{cccccc} -5&6&0&5&-2&-3 \\ -5&9&1&5&-4&-5 \\ -2&4&0&2&-2&-2 \\ -4&4&0&4&-1&-2 \\ -2&4&0&2&-2&-2 \\ -6&11&1&6&-5&-6 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ Nun habe ich $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^3 \end{eqnarray}$ berechnet: $\begin{eqnarray} A^2 = \left( \begin{array}{cccccc} -3&3&3&3&0&-3 \\ -4&4&4&4&0&-4 \\ -2&2&2&2&0&-2 \\ -2&2&2&2&0&-2 \\ -2&2&2&2&0&-2 \\ -5&5&5&5&0&-5 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^3 = 0_{3 \times 3} \end{eqnarray}$ woraus sich $\begin{eqnarray} Ord(A) = 3 \end{eqnarray}$ ergibt. Dann kann man die Matrizen durch den Gauß jagen und den Rang berechnen: $\begin{eqnarray} rk(A) = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} rk(A^2) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} rk(A^3) = 0 \end{eqnarray}$ damit dann die Dimensionen der Kerne berechnen: $\begin{eqnarray} dimKer(A) = 6-3 = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dimKer(A^2) = 6-1 = 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dimKer(A^3) = 6-0 = 6 \end{eqnarray}$ und schließlich mit $\begin{eqnarray} Ord(A) = 3 \end{eqnarray}$ die Jordanzerlegung berechnen: $\begin{eqnarray} A^2 = \left( \begin{array}{cccccc} 0&1&0&&& \\ 0&0&1&&& \\ 0&0&0&&& \\ &&&0&1& \\ &&&0&0& \\ &&&&&0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ Soweit, so gut. Nun soll ich aber noch die Basis berechnen, bzl derer die Matrix in genau diese Gestalt zerfällt. Und da es drei Jordanblöcke sind, schätze ich mal, dass ich drei zyklische Basen berechnen soll. Aber ich hab keine Ahnung, woraus ich diese berechnen soll. Von was berechne ich denn da die Basis bzw. wie stelle ich das an??? Lg, July
23.05.2008, 14:22	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, dazu musst du Basen der Eigenräume bzw. deren Potenzen berechnen. Am einfachsten ist es, wenn du mal im Internet nach fertig gerechneten Beispielen suchst oder in einem Lehrbuch liest, wie das funktioniert. Gruß, therisen
24.05.2008, 07:48	July	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss ich jetzt von dem riesigen Ding auch noch die Eigenwerte und dann zu jedem Eigenwert den Eigenraum berechnen? Boah... Und dann die Basisvektoren der Eigenräume zu einer großen Basis zusammenfassen oder was?
24.05.2008, 14:13	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix hat doch nur den Eigenwert Null - das ist doch gerade der Trick an einer nilpotenten Matrix. Und dann solltest du folgendes machen: Finde einen Vektor $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ , der in $\begin{eqnarray} \ker\left(A^3\right) \end{eqnarray}$ , aber nicht in $\begin{eqnarray} \ker\left(A^2\right) \end{eqnarray}$ liegt. Finde dann einen Vektor $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ , der in $\begin{eqnarray} \ker\left(A^2\right) \end{eqnarray}$ , aber nicht in $\begin{eqnarray} \ker(A) \end{eqnarray}$ liegt, und zu $\begin{eqnarray} Av_1 \end{eqnarray}$ linear unabhängig ist. Jetzt ergänzt du noch $\begin{eqnarray} Av_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^2v_1 \end{eqnarray}$ mit einem Vektor $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ zu einer Basis von $\begin{eqnarray} \ker(A) \end{eqnarray}$ . Bezüglich der geordneten (!) Basis $\begin{eqnarray} \mathcal B=\{v_1,Av_1,A^2v_1,v_2,Av_2,v_3\} \end{eqnarray}$ hat dann die darstellende Matrix der Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die von dir angegebene Jordansche Normalform. Wenn du einen anderen Algorithmus zur Bestimmung der Basis (bzw. der Basen der (höheren) Eigenräume) kennst, dann kannst du ignorieren, was ich gerade geschrieben hab.
24.05.2008, 20:19	July	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstmal vielen Dank für die umfangreiche Antwort - find ich echt klasse! Wenn ich das so mache, habe ich aber ein Problem: Wie sieht denn ein Vektor aus $\begin{eqnarray} A^3 \end{eqnarray}$ aus, der nicht in $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ liegt. Wenn ich jetzt nicht ganz falsch denke, sind doch in $\begin{eqnarray} A^3 \end{eqnarray}$ nur Nullvektoren, $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ hat aber in der 5ten Spalte auch einen Nullvektor. Wo liegt denn da mein Denkfehler?
24.05.2008, 20:52	July	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vergiss was ich da geschrieben hab! Kompletter Schwachsinn! Also wäre z.B. $\begin{eqnarray} v_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_3 = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ und dementsprechend die zyklische Basis $\begin{eqnarray} V = \left\{ v_1=\left( \begin{array}{c} 1\\0\\0\\0\\0\\0 \end{array} \right), Av_1=\left( \begin{array}{c} -5\\-5\\-2\\-4\\-2\\-6 \end{array} \right) , A^2v_1\left( \begin{array}{c} -3\\-4\\-2\\-2\\-2\\-5 \end{array} \right) , v_2=\left( \begin{array}{c} 1\\1\\0\\0\\0\\0 \end{array} \right) , Av_2=\left( \begin{array}{c} 1\\4\\2\\0\\2\\5 \end{array} \right) , v_3=\left( \begin{array}{c} 2\\3\\1\\1\\2\\3 \end{array} \right)\right\} \end{eqnarray}$ So, ist das jetzt meine Basis über der die Matrix in die Joradnsche Normalform zerfällt?
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24.05.2008, 21:38	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich hab mich oben vertan bei der Reihenfolge der Basis. Richtig ist: $\begin{eqnarray} \mathcal B=\{A^2v_1,Av_1,v_1,Av_2,v_2,v_3\} \end{eqnarray}$ . Jetzt sollte es passen. Wenn du deine Basis auch so (um)ordnest, sollte es stimmen, falls du dich nicht verrechnet hast. Das möchte ich allerdings jetzt nicht selber nachprüfen ...
24.05.2008, 21:53	July	Auf diesen Beitrag antworten »
Na das is doch ma ne supi Antwort , genau das wollt ich hörn Das Umordnen bekomm ich nach all dem andern nun auch noch hin und rechne bei der Gelegenheit alles noch ma fein nach Sehr schön, dann danke ich dir herzlich für deine Anleitung und wünsch dir noch nen schönen Abend! LG, July
24.05.2008, 22:20	July	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bins noch mal Also ich hab in meinem Seminarhefter noch mal nachgeschaut wegen der Reihenfolge der zykl. Basis. Bist du dir sicher, dass es jetzt $\begin{eqnarray} \mathcal{B} = \{ A^2v_1, Av_1, v_1, Av_2, v_2, v_3 \} \end{eqnarray}$ sein muss? Denn im Seminar haben wir die Basis so aufgeschrieben, wie du es am Anfang hattest, also $\begin{eqnarray} \mathcal{B} = \{ v_1, Av_1, A^2v_1, v_2, Av_2, v_3 \} \end{eqnarray}$ Was macht das denn eigentlich für einen Unterschied?
24.05.2008, 22:27	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich bin mir jetzt sicher. Zur ersten Basis gehört die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & & & \\ 0 & 0 & 1 & & & \\ 0 & 0 & 0 & & & \\ & & & 0 & 1 & \\ & & & 0 & 0 & \\ & & & & & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , zur zweiten jedoch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & & & \\ 1 & 0 & 0 & & & \\ 0 & 1 & 0 & & & \\ & & & 0 & 0 & \\ & & & 1 & 0 & \\ & & & & & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
24.05.2008, 22:34	July	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir bitte noch ma kurz sagen, wie ich das überprüfe? Einfach $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit der Basismatrix multiplizieren?
24.05.2008, 22:48	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, durch Überlegen. Sei $\begin{eqnarray} \mathcal B=\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6\} \end{eqnarray}$ deine Basis. In der ersten Spalte der zugehörigen Matrix steht der Koordinatenvektor des Bildes von $\begin{eqnarray} b_1 \end{eqnarray}$ unter der linearen Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ (bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} \mathcal B \end{eqnarray}$ ), ebenso steht in der zweiten Spalte der Koordinatenvektor des Bildes von $\begin{eqnarray} b_2 \end{eqnarray}$ unter $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ (bezüglich $\begin{eqnarray} \mathcal B \end{eqnarray}$ ) usw. Machen wir das mal für die erste Basis: $\begin{eqnarray} \mathcal B=\{A^2v_1,Av_1,v_1,Av_2,v_2,v_3\} \end{eqnarray}$ . Der erste Vektor, das ist $\begin{eqnarray} A^2v_1 \end{eqnarray}$ , wird auf $\begin{eqnarray} A^3v_1=0 \end{eqnarray}$ abgebildet, also auf den Nullvektor. Der zweite Vektor, $\begin{eqnarray} Av_1 \end{eqnarray}$ , wird auf den ersten Vektor, nämlich $\begin{eqnarray} A^2v_1 \end{eqnarray}$ , abgebildet. Dieser hat bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} \mathcal B \end{eqnarray}$ den Koordinatenvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Der dritte Vektor, $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ , wird auf $\begin{eqnarray} Av_1 \end{eqnarray}$ , also den Vektor mit den Koordinaten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ abgebildet. Das ist somit die dritte Spalte der Matrix usw. Falls du dir dennoch nicht sicher bist, kannst du (jedoch mit erheblichem Aufwand) die Matrix auch einfach ausrechnen. Ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ deine ursprüngliche Matrix und sind $\begin{eqnarray} b_1,\ldots,b_n \end{eqnarray}$ die Eigen- bzw. Hauptvektoren, die du für deine Basis $\begin{eqnarray} \mathcal B \end{eqnarray}$ gefunden hast, wobei du sie auch in dieser Reihenfolge in die Basis reinschreibst, dann kannst du mithilfe der Matrix $\begin{eqnarray} T=\begin{pmatrix} b_1 & \cdots & b_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , in deren Spalten also die Koordinaten der Eigen- bzw. Hauptvektoren (bezüglich der ursprünglichen Basis - meist die Standardbasis) stehen, deine JNF $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ so ausrechnen: $\begin{eqnarray} J=T^{-1}AT \end{eqnarray}$ . Dafür musst du natürlich $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ invertieren, was schon ein recht großer Rechenaufwand wird, und dann noch diese Multiplikation durchführen. Wenn du allerdings doch sicher bist, welche JNF $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ rauskommen muss, und nur nochmal nachrechnen willst, ob du beim Bestimmen der Eigenvektoren auch alles richtig gerechnet hast, kannst du, falls es schnell geht und du genug Zeit hast, auch die Gleichung $\begin{eqnarray} TJ=AT \end{eqnarray}$ überprüfen. Das geht wesentlich schneller, weil man keine Inverse berechnen muss und die linke Seite sehr einfach auszurechnen ist.
25.05.2008, 20:22	July	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich könnt dich knutschen! Vielen vielen Dank! Ich bin mir sehr sicher, dass die JNF richtig ist und hab das darum mit $\begin{eqnarray} TJ = AT \end{eqnarray}$ nachgerechnet und es stimmt überein! Somit ist die Aufgabe also vollständig gelöst und ich kann sie guten Gewissens abgeben Also nochmals vielen Dank und noch einen wunderschönen Abend! LG, July
25.05.2008, 20:32	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitteschön. : )

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