Koordinate von Ecke bestimmen

23.05.2008, 19:34

Brigga

Koordinate von Ecke bestimmen

Hier eine Aufgabe, bei der ich die Koordinaten des Punktes C nicht berechnen konnte.
Kann mir da jemand weiterhelfen?

Bei einem Quadrat ABCD mit Seitenlänge 2 müssen die Koordinaten der Punkte B und C berechnet werden, wenn der Punkt A im Schnittpunkt der Koordinatenachsen liegt, B zum ersten Quadraten gehört und x-Koordinate 1 hat.

Vielen Dank für eure Hilfe!

23.05.2008, 19:38

riwe

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RE: Koordinate von Ecke bestimmen
genügen ein bilderl und pythagoras verwirrt

23.05.2008, 20:09

Brigga

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RE: Koordinate von Ecke bestimmen
Und wie berechne ich die Koordinaten der Ecke C?

23.05.2008, 20:13

riwe

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RE: Koordinate von Ecke bestimmen
selber denken verboten verwirrt

$\begin{eqnarray*} x²+y²=4 \quad{ }\text{und}\quad{ }x=1 \end{eqnarray*}$

bzw. an ein halbes gleichseitiges dreieck denken unglücklich

23.05.2008, 20:22

Brigga

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RE: Koordinate von Ecke bestimmen
Pardon, vielleicht bin ich einfach zu dumm...
Aber so weit ich das sehe, ergibt deine Rechnung die Koordinaten des Punktes B.
Ich bin aber auf der suche nach den Koordinaten von C.
verwirrt

23.05.2008, 20:38

riwe

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RE: Koordinate von Ecke bestimmen

Zitat:

Original von Brigga
Pardon, vielleicht bin ich einfach zu dumm...
Aber so weit ich das sehe, ergibt deine Rechnung die Koordinaten des Punktes B.
Ich bin aber auf der suche nach den Koordinaten von C.
verwirrt

entschuldige, da habe ich mich verlesen, aber B brauchst du sowieso:

vektoriell so

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\frac{2}{2}\cdot\overrightarrow{OB}_{\perp}=\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -\sqrt{3} \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sonst eine zu OB (AB) senkrechte gerade durch B mit einem kreis um B mit radius r = 2 schneiden.

23.05.2008, 23:00

Brigga

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RE: Koordinate von Ecke bestimmen
danke für die Lösung!

Weisst du ich gebe Nachhilfe, konnte die Aufgabe aber nicht lösen mit jenem Stoff, die meine Schülerin schon durchgenommen hat - Vektoren gehören nicht dazu.

Du kennst nicht doch noch einen anderen Weg?

23.05.2008, 23:26

riwe

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RE: Koordinate von Ecke bestimmen
zunächst ist ja doch der punkt B verlangt.
den bekommst du am einfachsten durch einsetzen in die kreisgleichung bzw. mit pythagoras, siehe oben
$\begin{eqnarray*} B(1/\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

jetzt führen viele wege nach rom,
einer davon:
kreis um B wie oben erwähnt

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2+(y-\sqrt{3})^2=4 \end{eqnarray*}$
geschnitten mit der zu AB senkrechten geraden durch B
$\begin{eqnarray*} y-\sqrt {3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-1) \end{eqnarray*}$
was wunschgemäß auf $\begin{eqnarray*} y_C=\sqrt{3}\pm 1 \end{eqnarray*}$ führt,
wobei das pluszeichen zu wählen ist, wenn man die übliche reihenfolge der bezeichner A, B, C und D beachtet.

ist vielleicht einfacher, wenn du dir die mühe machst zu sagen, was man verwenden darf

ein besonders einfacher weg geht über die (halben) gleichseitigen dreiecke,
da du weißt, dass die höhe desselben wegen $\begin{eqnarray*} a = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h=\frac{a}{2}\sqrt{3}=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
ist, kannst du die koordinaten von B und C sofort hinmalen:

$\begin{eqnarray*} B(1/\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C(1-\sqrt{3}/1+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

zufrieden verwirrt

24.05.2008, 11:05

Brigga

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RE: Koordinate von Ecke bestimmen

Zitat:

Original von riwe
ein besonders einfacher weg geht über die (halben) gleichseitigen dreiecke,
da du weißt, dass die höhe desselben wegen $\begin{eqnarray*} a = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h=\frac{a}{2}\sqrt{3}=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
ist, kannst du die koordinaten von B und C sofort hinmalen:

$\begin{eqnarray*} B(1/\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C(1-\sqrt{3}/1+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

zufrieden verwirrt

Vielen Dank für deine Antworten!

Noch eine letzte Frage: Du beziehst dich ja darauf, dass die beiden roten Dreiecke gleich sind. Woraus kannst du schliessen, dass dies so ist?

24.05.2008, 11:17

riwe

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RE: Koordinate von Ecke bestimmen

Zitat:

Original von Brigga

Zitat:

Vielen Dank für deine Antworten!

Noch eine letzte Frage: Du beziehst dich ja darauf, dass die beiden roten Dreiecke gleich sind. Woraus kannst du schliessen, dass dies so ist?

na willst du immer noch nicht selbst nachdenken verwirrt

sie sind kongruent:
die winkel bei B sind normalenwinkel und daher gleich,
beide haben einen rechten winkel
daher stimmen sie in 3 winkeln überein und sind ähnlich.
und letztlich haben sie eine quadratseite gemein, nämlich AB = BC

24.05.2008, 11:25

Brigga

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RE: Koordinate von Ecke bestimmen
Danke für deine Hilfe!

24.05.2008, 17:19

Mathegreis

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Wie riwe bereits mitgeteilt hat, führen viele Wege nach Rom.

Eine Version zur Berechnung der Eckpunkts-Koordinaten möchte ich gern nachreichen, weil sie mit Anfangskenntnissen der analytischen Geometrie möglich ist: Bekannt sein muss die Ermittlung der Mittelpunktskoordinaten einer Strecke.

Die Koordinaten des Punktes $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind über den Pythagoras zu ermitteln und liegen bei $\begin{eqnarray*} B (1 / \sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ .

Die Koordinaten des Punktes $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ sind leicht auszumachen; sie liegen bei $\begin{eqnarray*} D ( -\sqrt{3} / 1) \end{eqnarray*}$

Die Koordinaten des Quadratmittelpunktes liegen in der Mitte der Diagonalen
$\begin{eqnarray*} BD \end{eqnarray*}$ und haben die Koordinaten

$\begin{eqnarray*} x_m= \frac{1-\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_m= \frac{1+\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Dieser Mittelpunkt liegt aber auch in der Mitte der Diagonalen $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_c+0}{2} = \frac{1-\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} x_c = 1 -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_c \end{eqnarray*}$ wird analog berechnet und ergibt den Wert

$\begin{eqnarray*} y_c = 1 -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

25.05.2008, 19:43

riwe

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Zitat:

Original von Mathegreis
Wie riwe bereits mitgeteilt hat, führen viele Wege nach Rom.

Eine Version zur Berechnung der Eckpunkts-Koordinaten möchte ich gern nachreichen, weil sie mit Anfangskenntnissen der analytischen Geometrie möglich ist: Bekannt sein muss die Ermittlung der Mittelpunktskoordinaten einer Strecke.

Die Koordinaten des Punktes $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind über den Pythagoras zu ermitteln und liegen bei $\begin{eqnarray*} B (1 / \sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ .

Die Koordinaten des Punktes $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ sind leicht auszumachen; sie liegen bei $\begin{eqnarray*} D ( -\sqrt{3} / 1) \end{eqnarray*}$

Die Koordinaten des Quadratmittelpunktes liegen in der Mitte der Diagonalen
$\begin{eqnarray*} BD \end{eqnarray*}$ und haben die Koordinaten

$\begin{eqnarray*} x_m= \frac{1-\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_m= \frac{1+\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Dieser Mittelpunkt liegt aber auch in der Mitte der Diagonalen $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_c+0}{2} = \frac{1-\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} x_c = 1 -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_c \end{eqnarray*}$ wird analog berechnet und ergibt den Wert

$\begin{eqnarray*} y_c = 1 -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

da hast du einen tippfehler (copy and paste) verwirrt

$\begin{eqnarray*} y_c = 1 +\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

25.05.2008, 20:46

Mathegreis

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Ja, so passiert das.

Vielen Dank für den Hinweis!

Gruß

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Koordinate von Ecke bestimmen

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