Vollständige Induktion

31.01.2006, 16:53

Bitterprince

Vollständige Induktion

Hallo!

Irgendwie bleibe ich schon bei folgender Aufgabe am Induktionsanfang hängen:

Gegeben ist die Fuktion h mit h (x) = $\begin{eqnarray*} xe^{1-x} ; x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Beweisen Sie, dass für die n-te Ableitungsfunktion $\begin{eqnarray*} h^{n} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} h^{n} (x) = (-1)^{n+1} * (n-x) * e^{1-x} ; n \in \mathbb N \\{0} \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt den Induktionsanfang so gemacht:

$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h'(x) = (-1)^{2} * (1-x)* e^0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-1 * (1-x) \end{eqnarray*}$

zu zeigen

$\begin{eqnarray*} h'(x) = 1* e^{1-x}+x* e^{-1} \end{eqnarray*}$

An dem Punkt hänge ich, ich habe h (x) abgeleitet und kann jetzt aber nicht zeigen, dass das dasselbe ist wie das davor...

Kann mir bitte jemand helfen? Vielen Dank!!

31.01.2006, 16:57

JochenX

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nutze bitte "*" oder "\cdot" für malpunkte

wo kommt denn das e^0 her? du darfst doch nicht für x=1 einsetzen!
und deine ableitung solltest du auch noch mal überdenken.

31.01.2006, 17:01

Bitterprince

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Zitat:

Original von LOED
nutze bitte "*" oder "\cdot" für malpunkte

wo kommt denn das e^0 her? du darfst doch nicht für x=1 einsetzen!
und deine ableitung solltest du auch noch mal überdenken.

eieiei...stimmt..

31.01.2006, 17:04

zeta

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Du machst doch INduktion nach der Anzahl der der Ableitung, also nach n für $\begin{eqnarray*} h^{(n)}(x) \end{eqnarray*}$ . bedenke, dass h^0(x)=h(x), auch dass gilt schon, also kannst du n=0 als IA nehmen!

edit Jochen: mehrzeichige Exponenten in {..}, habs mal geändert

31.01.2006, 17:15

Bitterprince

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Die Ableitung müsste so richtig sein, oder?

$\begin{eqnarray*} h'(x)=1*e^{1-x}+x*e^{1-x}*(-x) \end{eqnarray*}$

31.01.2006, 17:17

Bitterprince

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Zitat:

Original von zeta
Du machst doch INduktion nach der Anzahl der der Ableitung, also nach n für $\begin{eqnarray*} h^{(n)}(x) \end{eqnarray*}$ . bedenke, dass h^0(x)=h(x), auch dass gilt schon, also kannst du n=0 als IA nehmen!

ah..klasse! Das ist ja noch einfacherer! So, dann mach ich jetzt mal den IS... ohje.. Kotzen

31.01.2006, 17:18

zeta

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Falsch! statt -x ne -1 am ende, denn du must die innere funktion 1-x ableiten, und (1-x)'=-1

31.01.2006, 17:22

Bitterprince

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Zitat:

Original von zeta
Falsch! statt -x ne -1 am ende, denn du must die innere funktion 1-x ableiten, und (1-x)'=-1

oh stimmt... Mensch..warum ich das immer verdrehe verwirrt

Danke, Zeta!!

31.01.2006, 17:47

Bitterprince

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der IS wäre ja dann:

wenn die n-te Ableitung $\begin{eqnarray*} h^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}*(n-x)*e^{1-x} \end{eqnarray*}$
ist, dann ist
$\begin{eqnarray*} h^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+2}*(n+1-x)*e^{1-x} \end{eqnarray*}$
die n+1-te Ableitung.

Das stimmt soweit, oder?

Um das zu beweisen, muss ich doch jetzt die n-te Ableitung wiederum ableiten, richtig? Wie leite ich die ab? Muss ich da die Ketten- UND die Produktregel miteinander kombinieren?

31.01.2006, 17:51

therisen

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Ja, genau. Dann mal los.

Gruß, therisen

31.01.2006, 17:53

Bitterprince

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n wird wie eine Zahl behandelt, also die Ableitung von n wäre 0, ja?

31.01.2006, 17:54

therisen

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Ja.

31.01.2006, 18:05

Bitterprince

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Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich da vorgehen soll!
Muss ich erst mit der Kettenregel ableiten (also ist $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ mein u und u' dann $\begin{eqnarray*} (n+1)*(-1)^1 \end{eqnarray*}$ ?) ?

Wie läuft das dann mit der Produktregel, wenn ich drei Produkte habe? Sie lautet doch:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) \end{eqnarray*}$

31.01.2006, 18:12

zeta

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du willst $\begin{eqnarray*} ((-1)^{n+1}(n-x)e^{1-x}) \end{eqnarray*}$ nach x ableiten, also ist (-1)^{n+1} nur ein konstanter faktor! so wie bei 3x^2, da bleibt die drei und kommt die 2, also (3x^2)'=2*3x^1.
du hast $\begin{eqnarray*} u(x):=(-1)^{n+1}(n-x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x):=e^{1-x} \end{eqnarray*}$

31.01.2006, 18:17

Bitterprince

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Zitat:

Original von zeta
du willst $\begin{eqnarray*} ((-1)^{n+1}(n-x)e^{1-x}) \end{eqnarray*}$ nach x ableiten, also ist $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ nur ein konstanter faktor! so wie bei $\begin{eqnarray*} 3x^2 \end{eqnarray*}$ , da bleibt die drei und kommt die 2, also $\begin{eqnarray*} (3x^2)'=2*3x^1 \end{eqnarray*}$ .
du hast $\begin{eqnarray*} u(x):=(-1)^{n+1}(n-x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x):=e^{1-x} \end{eqnarray*}$

danke für den Hinweis, ich probiers!

31.01.2006, 18:35

Bitterprince

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Irgendwie scheine ich im Ableitsumpf zu versinken...

$\begin{eqnarray*} v(x)=e^{1-x} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} v'(x)=e^{1-x}*(-1) \end{eqnarray*}$
ja?

So, wie sieht es mit $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ aus?

$\begin{eqnarray*} u(x)=(-1)^{n+1}*(n-x) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ = ??? meine Vermutung: $\begin{eqnarray*} n+1(-1)^1 \end{eqnarray*}$ ..aber irgendwie fehlt doch da was. Was ist mit der inneren Ableitung? Die müsste doch 0 sein? Aber dann wäre ja das ganze Produkt null..?!

31.01.2006, 18:39

therisen

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Leite mal $\begin{eqnarray*} f(x)=c(n-x) \end{eqnarray*}$ ab!

31.01.2006, 18:46

zeta

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Zusatz: leite das nach x (!!!!!!!!!) ab, nicht nach n oder so.

31.01.2006, 19:08

Bitterprince

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Zitat:

Original von therisen
Leite mal $\begin{eqnarray*} f(x)=c(n-x) \end{eqnarray*}$ ab!

das wäre, wenn n und c Konstanten sind:

$\begin{eqnarray*} c*(-1)+ 0*(n-x) = (-1)*c \end{eqnarray*}$ .. hä? kann das stimmen? Irgendwas blicke ich nicht..

Der Hinweis, dass ich nach x ableiten soll, bringt mich da jetzt auch nicht weiter, ehrlich gesagt.. traurig

31.01.2006, 19:17

therisen

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Es ist mir ein Rätsel, was du da tust... Irgendwie passt das nicht zusammen: Wie kann jemand, der nicht einmal ableiten kann, beweisen wollen, wie die n-te Ableitung einer Funktion aussieht? Die einzige Erklärung, die mir dazu einfällt, ist, dass du ein BWLer oder Ähnliches bist und jetzt an der Uni gezwungen wirst, ein wenig Mathematik zu machen.
Wie dem auch sei: $\begin{eqnarray*} f'(x)=c(n-x)' \end{eqnarray*}$
Du kannst auch einfach ausmultiplizieren und dann summandenweise ableiten!

31.01.2006, 19:18

zeta

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also schreibe doch f(x)=c(n-x)=cn-cx, z.B. 3*5-3x.
was ist die ableitung? (3*5)' - (3x)' nach SUmmenregel, und das wird zu 0-3=-3, analog erhälst du -c als ableitung. und vergleiche mit deinem u(x), was ist da c?

(Bzgl. "nach x ableiten": das sieht manchmal so aus, als wenn du nach n abgeleitet hättest oder irgendwie so...)

31.01.2006, 19:30

Bitterprince

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Zitat:

Original von zeta
also schreibe doch $\begin{eqnarray*} f(x)=c(n-x)=cn-cx \end{eqnarray*}$ , z.B. $\begin{eqnarray*} 3*5-3x \end{eqnarray*}$ .
was ist die ableitung? $\begin{eqnarray*} (3*5)' - (3x)' \end{eqnarray*}$ nach SUmmenregel, und das wird zu 0-3=-3, analog erhälst du -c als ableitung. und vergleiche mit deinem u(x), was ist da c?

(Bzgl. "nach x ableiten": das sieht manchmal so aus, als wenn du nach n abgeleitet hättest oder irgendwie so...)

Danke, wenigstens einer, der mit mir Geduld hat! :-) (sorry, bin mathematisch keine Leuchte.. Bin nur leider gezwungen Mathe Prüfung zu machen...)

Also..dann wäre mein c wohl $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ ! Soll ich jetzt ausmulltiplizieren?

31.01.2006, 19:32

zeta

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hau rein und lass sehen!

31.01.2006, 19:51

Bitterprince

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ach Mist, jetzt kotzt es mich aber echt an... ich komm mit dem scheiß Exponenten einfach nicht zurecht.. mit $\begin{eqnarray*} ^{n+1} \end{eqnarray*}$ (ich denke, ihr wisst was ein Exponent ist^^...)

Ist u ausmultipliziert $\begin{eqnarray*} [(-1)^{n+1}*n] - (-1)^{n+1} * (-x) \end{eqnarray*}$ ??
Ich habe echt keine Ahnung, wie ich das ableiten soll..!

31.01.2006, 19:56

Bitterprince

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Ich bin echt gefrustet jetzt... könnte nicht einer von euch sich mal erbarmen und mir den Lösungsweg nennen, dann kann ich es wenigstens mal schriftlich nachvollziehen..? Wäre echt nett..!

31.01.2006, 19:57

zeta

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wenn man kotzen muss, hat man oft nicht die richtige grundlage gehabt (ist das nicht eine tolle anspielung auf den bösen alkohol... haha)

übrigens: schau mal analysis+beweisen ist ganz neu hier...

zu dir: wir haben ja nun

$\begin{eqnarray*} u(x)=(-1)^{n+1}(n-x) = (-1)^{n+1}\cdot n - (-1)^{n+1}\cdot x =(-1)^{n+1}\cdot n +(-1) (-1)^{n+1}\cdot x = =(-1)^{n+1}\cdot n +(-1)^{n+2}\cdot x \end{eqnarray*}$

die ableituing ist also: ...

31.01.2006, 20:10

Bitterprince

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Zitat:

Original von zeta
wenn man kotzen muss, hat man oft nicht die richtige grundlage gehabt (ist das nicht eine tolle anspielung auf den bösen alkohol... haha)

hihi^^

Zitat:

die ableituing ist also: ...

Du bist ganz nah dran, ich merk das...!!! Big Laugh

31.01.2006, 20:12

zeta

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ich galub auch. vielleicht hilfst du mir Augenzwinkern

31.01.2006, 20:17

Bitterprince

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Zitat:

Original von zeta
ich galub auch. vielleicht hilfst du mir Augenzwinkern

ok... ich versuchs ein letztes Mal.. aber nur, weil du sonst nicht alleine draufkämst.. Big Laugh

31.01.2006, 20:27

Bitterprince

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Ich muss leider passen. Hoffnungsloser Fall, nehme ich an Klo

...
Hab - wie gesagt - keine Ahnung, wie ich diese n-Exponenten ableiten und auch sonst Ordnung reinbringen soll..

Hast du vielleicht, also.. ich meine.. bist du vielleicht schon auf ein Ergebnis gekommen? Hilfe

Ich meine, es müsste $\begin{eqnarray*} h^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+2}*(n+1-x)*e^{1-x} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

herauskommen... nur wie..?

31.01.2006, 20:28

Bitterprince

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ich lass euch dann auch in ruhe... Big Laugh

31.01.2006, 21:24

zeta

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biste noch da, dann können wir eigentlich den endspurt einläuten, ist nicht mehr weit...

31.01.2006, 22:33

Bitterprince

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ja..jetzt wieder.. Auf gehts!! Big Laugh

31.01.2006, 22:45

zeta

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alright: du weißt [u(x)]' [c*(n-x)]' = [cn-cx]' = -c, vgl. oben!
du hast richtig gesagt: bei dir ist c=(-1)^{n+1}
dann ist [u(x)]' = -(-1)^{n+1} = (-1) * (-1)^{n+1} = (-1)^{n+2}

31.01.2006, 22:49

Bitterprince

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Zitat:

Original von zeta
alright: du weißt $\begin{eqnarray*} [u(x)]' [c*(n-x)]' = [cn-cx]' = -c \end{eqnarray*}$ , vgl. oben!
du hast richtig gesagt: bei dir ist $\begin{eqnarray*} c=(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} [u(x)]' = -(-1)^{n+1} = (-1) * (-1)^{n+1} = (-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$

habs nur mit Latex anzeigen lassen..

danke erstmal, zeta..ich probiers nochmal weiter..!!

31.01.2006, 22:57

Bitterprince

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Zitat:

Ist das mit dem c eigentlich immer so, dass es dann minus wird? Quasi das "Gesprengsel" vor dem Produkt?

31.01.2006, 23:02

zeta

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das kommt einfach darauf an. wenn du c(n+x) hast, nicht: [c(n+x)]'=(cn+cx)'=+c

31.01.2006, 23:06

Bitterprince

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Zitat:

Original von zeta
das kommt einfach darauf an. wenn du c(n+x) hast, nicht: [c(n+x)]'=(cn+cx)'=+c

stimmt.. logisch...!

So.. ich bin schon wieder ein stückchen näher^^:

$\begin{eqnarray*} [u(x)*v(x)]'=(-1)^{n+1}*(n-x)*e^{1-x}*(-1)+(-1)^{n+2}*e^{1-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(-1)^{n+1}*e^{1-x}(n-x+1)*(-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$

das $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist da aber noch..was ist damit? Das darf da nicht sein...^^

Sorry, wg. des vielen Editings...

31.01.2006, 23:14

zeta

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Überblick:

Gegeben ist h(x)=x*e^{1-x}

Behauptung: h^(n)(x) = (-1)^{n+1}*(n-x)*e^{1-x}

Beweis:

Induktionsanfang: n=0
Da h^(0)(x)=h(x) und (-1)^{0+1}*(0-x)*e^{1-x}=x*e^{1-x} gilt, stimmts.

Induktionsvoraussetzung: Behauptung gelte für beliebiges, aber festes n.

induktionsschritt: n -> n+1

h^(n+1)(x) = [h^(n)(x)] '
= [(-1)^{n+1}*(n-x)*e^{1-x}]' nach Induktionsvoraussetzung

Jetzt setze u(x)=(-1)^{n+1}(n-x) und v(x)=e^{1-x} und bilde [u(x)*v(x)]'

Hier sind wir gerade, also nicht bei h'(x), alles klar!

31.01.2006, 23:19

Bitterprince

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Zitat:

Original von zeta
Überblick:

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} h(x)=x*e^{1-x} \end{eqnarray*}$

Behauptung: $\begin{eqnarray*} h^{n}(x) = (-1)^{n+1}*(n-x)*e^{1-x} \end{eqnarray*}$

Beweis:

Induktionsanfang: n=0
Da $\begin{eqnarray*} h^{0}(x)=h(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-1)^{0+1}*(0-x)*e^{1-x}=x*e^{1-x} \end{eqnarray*}$ gilt, stimmts.

Induktionsvoraussetzung: Behauptung gelte für beliebiges, aber festes n.

induktionsschritt: n -> n+1

$\begin{eqnarray*} h^{n+1}(x) = [h^{n}(x)] ' \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} [(-1)^{n+1}*(n-x)*e^{1-x}]' \end{eqnarray*}$ nach Induktionsvoraussetzung

Jetzt setze $\begin{eqnarray*} u(x)=(-1)^{n+1}(n-x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x)=e^{1-x} \end{eqnarray*}$ und bilde $\begin{eqnarray*} [u(x)*v(x)]' \end{eqnarray*}$

Hier sind wir gerade, also nicht bei h'(x), alles klar!

Alles klar!
Habe ich gerade im letzten post (nur irrtümlicherweise H'(x) genannt), nur da hakts, weil ich ein Produkt nicht wegbringe..

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