Integration von Wurzelfunktion |
| 02.02.2006, 10:04 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Integration von Wurzelfunktion Bin grade dabei für das Abi zu lernen und bin auf diese Aufgabe gestoßen. f(x)=0,5x^2*(9-x^2)^(1/2) Vieleicht weiß ja jemand, wie man diese Funktion aufleiten kann, ist irgendwie voll schwierig: Habe es schon mit Substitution und partielle Integration versucht, aber komme nicht auf das Ergebnis: Mir genügt ein Ansatz 
Ciaoi Franzi PS: Die Grenzen sind -3 bis 3 
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| 02.02.2006, 10:07 | Aufleiter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welcher Schwachmat verbreitet eigendlich Ausdrücke wie "Aufleiten" ? |
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| 02.02.2006, 10:11 | Frooke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Integration von Wurzelfunktion Hallihallo! Für diese Funktion... ..., die wirklich etwas tricky ist, fällt mir nur eine trigonometrische Substitution ein! Versuch mal, etwas mit Sinus oder Cosinus zu basteln 
.EDIT: Aufleiten scheint sich wirklich sehr eingebürgert zu haben: Das eigentlich passende Wort wäre INTEGRIEREN
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| 02.02.2006, 11:59 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, also ich denke es ist am sinnvollsten erstmal die 9 aus der wurzel zu ziehen und das x² außerhalb der wurzel umzuformen, dann hast du: jetzt substituieren, und du erhältst einen ausdruck, den du meiner meinung nach recht gut mit trigonometrischer substitution lösen kannst |
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| 02.02.2006, 19:53 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erstmal sorry wegen dem 
AUFLEITEN, habe ich absichtlich benutzt, finde das Wort irgendwie witzig...auch wenn ich weiß, dass integrieren fachlich korrekter wäre
Also nehmt es mir nicht für übel. Ok...versuche jetzt mal die angegebenen Ansätze auszuprobieren, ihr benutzt also Substitution oder? Habe mal eine Frage: Gibt es zu trigonometrischen Substitutionen irgendwelcher Formeln? Kann damit nämlich grade nichts anfangen... |
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| 02.02.2006, 20:07 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das heißt, dass du nach der ersten Substitution noch die weitere u=cos(z) oder u=sin(z) machen sollst. Du könntest aber auch beide Subsitutionen mit x=3cos(z) oder x=3sin(z) auf einmal erschlagen. |
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| 02.02.2006, 20:13 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könnte ich das (9-x^2)^(1/2) genauso behandeln wie (1+x^2)^(1/2); habe da nämlich eine Beisspielaufgabe gefunden. Oder ist es wichtig das ich die 9 aus der Wurzel hole?
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| 02.02.2006, 20:17 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zunächst mal steht bei dir oben und nicht +. Oder hast du oben die Aufgabe falsch abgeschrieben? Bei + hilft nämlich eine andere Substitution. Die 9 muss aber auf jeden Fall aus der Wurzel raus. Deshalb auch die erste Umformung von lego |
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| 02.02.2006, 20:27 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Edit Sorry, habe mich eben vertippt, sollte eigentlich 9-x^2 heißen
Tut mir echt leid, weiß auch nicht...stehe glaube ich auf dem schlauch: Habe jetzt 27/2*(z)^2* (1-z^2)^(1/2) Aber wie soll ich weiter machen, soll ich z durch sin u ersetzten, aber das ist schwachsinnig oder? Ich kriege wirklich gleich die kriese, weiß jetzt warum die in meinem Abi-Vorbereitungsbuch die Aufgabe mit nem Computerprogramm lösen, aber ich will die selbst rauskriegen, habe nur noch nie eine trigometrische Substitution gemacht... Kann ich vielleicht noch einen Tip haben? OK, weiß nicht, ob ich vielleicht teilweise auf dem richtigen weg bin: 27/2 Integral z^2 * (1-z^2)^(1/2) dz also den Wurzelteil könnte ich noch hinbekommen, habe ja auch diese Beisspielaufgabe, aber was mache ich mit dem vorderen Teil des Produktes, also mit dem vorderen z^2 einfach substituiert stehen lassen oder...? Also habe mal einen Beisspielweg angehangen. Kann ich den auf den wurzelteil anwenden? |
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| 02.02.2006, 21:23 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann mir denn keiner helfen 
bin echt am verzweifeln... |
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| 02.02.2006, 21:27 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Edit
Der Teil unter der Wurzel geht analog zu dem Beispiel auf dem Blatt. Das z^2 vor der Wurzel muss natürlich auch mit der entsprechenden Substitution z=sin(u) ersetzt werden. Es darf nach der Substitution kein z mehr übrig sein. |
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| 02.02.2006, 21:29 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, Danke ich glaube ich bekomme es jetzt hin, wirklich kompliziert irgendwie,aber echt DANKE DANKE DANKE 
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| 02.02.2006, 22:19 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
habe doch noch eine Frage: Warum ist: siehe Anhang die eine funktion mit sin gleich der funktion mit cos? Kann ich irgendwie nicht nachvollziehen... Ich glaube hat sich erledigt: Wenn ich das richtig verstanden habe ist 1-(sin u)^2 = (cos u)^2 und daraus die Wurzel ergibt cos u. Dies dann mal cos u du ergibt dann (cos u)^2 du, oder? |
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| 02.02.2006, 22:26 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
es gilt: sin²(x)+cos²(x)=1, daher |
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| 02.02.2006, 22:36 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, jetzt ich ich das auch verstande, nur noch eine Frage; wahrscheinlich total blöd, weil ich damit die ganze Zeit gerechnet habe, aber warum kann ich sagen, dass aus x=sin u folgt, dass dx=cos u du ist. bei einfacheren Aufagebn hatte ich in der 12 zum Beispiel: x^2 *e^x dx u=x^2 dv=e^x dx wie kann ich das vergleichen? |
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| 02.02.2006, 22:42 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dass aus x=sin u "folgt" dass dx=cos u du ist, sieht man, wenn man auf beiden seiten der gleichung ableitet was du da unten mit e und x für substitutionen hast, kann ich nicht nachvollzeihen, bist du dir sicher, dass das so stimmt? |
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| 02.02.2006, 22:49 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach so, dass hatte ich mir auch gedacht, war nur iritiert wegen dieser anderen aufgabe,...sook, jetzt kommt noch eine letzte frage, aber wirklich die aller letzte, tut mir so leid
Bei meiner Resubstitution am Ende der Aufgabe komme ich auf bei einem Teil auf 1/2*(u+sin u *cos u) und daraus wird 1/2*(arc cos z + z*(1-z^2)^(1/2)). Wie komme ich von sin u *cos u auf diesen ausdruck...will mal wissen, ob ich richtig gedacht habe? |
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| 02.02.2006, 23:07 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn ich dich richtig verstanden habe, dann willst du wissen, warum du hier den arccos rausbekommst oder? naja das kommt von der substitution du hast x=cos u substitutiert, damit du nur das u allein (ohne den cos) rücksubstituieren kannst musst du das x=cos u nach u umformen, deshalb wendest du auf beiden seiten den arccos an arccos(x)=arccos(cos(u))=u |
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| 02.02.2006, 23:11 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich weiß ja nicht, ob sich mal jemand die Mühe machen will die Funktion zu integrieren, abe rich komme mit meiner Stammfunktion nicht auf das angegebene Ergebnis...Ich glaube mein vorderer Teil ist falsch (also der vor der Wurzel: x^2 ->(x/3)^2 -> z^2 -> (sin u)^2 und darauswurde dann später: 1/2*(u sin u* cos u) ist das überrhaupt richtig? bei der Resubstitution habe ich dann: 1/2*(arc cos (z) - z*(1-z^2)^(1/2)) und dann halt noch für z x/3 eingesetzt. Was ist daran falsch? |
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| 02.02.2006, 23:14 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: wenn ich dich richtig verstanden habe, dann willst du wissen, warum du hier den arccos rausbekommst oder? Nein, sorry wollte wissen, warum aus sin u*cos u -> z*(1-z^2)^(1/2) wird also warum das mit der Wurzel, das andere war mir klar
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| 02.02.2006, 23:21 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
z=sin u war deine substitution, daher erhältst du beim resubstituieren für das sin(u) dein z aus z=sin u folgt aber auch, wie vorher schon erklärt somit und das kannst du dann resubstituieren |
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| 02.02.2006, 23:26 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, alles klar, habe ich gar nicht mehr dran gedachtt, wie blöd von mir...was das vordere Teil des produktes angeht weißt du da vielleicht auch was, dann bin ich auch fertig und nerve nicht mehr
Ich hasse es nur schlafen zu gehen, wenn ich eine Aufgabe noch nicht gelöst habe 
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| 03.02.2006, 12:09 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1/2*(arc cos (z) - z*(1-z^2)^(1/2)) also wenn du das meinst, dann hab ich doch alle teile erklärt, wo die herkommen, den arccos, das z und die wurzel |
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| 06.02.2006, 19:11 | Franzi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das habe ich nicht gemeint, aber hat sich mitlerweile schon geklärt, also DANKE
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