Komplexe Wegintegrale

03.02.2006, 18:14

Milchbub

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Komplexe Wegintegrale

hallo habe da ein problem bei einem komplexen Wegintegralen

will nun das komplexe wegintegral von f(z) = z^2 + 1 berechnen entlang der Kurve die R mit iR verbindet.

dazu hab ich zwei ansätze aufgestellt:
1: normal mit der Formel für das wegint.
$\begin{eqnarray*} 1: \int_{}^{weg}~f~dz = \int_{b}^{a}~f(z(t))z'(t)~dt \end{eqnarray*}$

dazu hab ich die Kurve erst parametrisiert mit

Re^ (it) und t von 0 bis 2pi

hab da als ergebnis 2/3 *iR^2 raus

dann wollte ich es mit der Stammfunktion bestimmen, was ja normal gehen müsste da F ja eine reguläre Fkt ist.

$\begin{eqnarray*} 2: [(1/3) z^3]_{iR}^R \end{eqnarray*}$

da habe ich dann als ergebniss was komplett anderes raus.

nun meine bin ich mir nicht sicher was richtig ist. normal müsste doch mit beiden ansätzen das gleiche rauskommen, nur warum ist dies nicht der fall? darf ich den ansatz mit der stammfkt. nicht wählen?

03.02.2006, 18:33

Leopold

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1. Soll nun die Kurve $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{i}R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \operatorname{i}R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ verbinden? Teile deines Beitrags deuten auf das erste, andere auf das zweite hin. Das solltest du erst einmal klarstellen, denn auf die Orientierung kommt es schließlich an.

2. Ein Kreisbogen um $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \operatorname{i}R \end{eqnarray*}$ stellt nur einen Viertelkreis dar. Deine Parametrisierung verlangt daher das Parameterintervall $\begin{eqnarray*} \left[\, 0 \, , \, \frac{\pi}{2} \, \right] \end{eqnarray*}$ .

03.02.2006, 18:46

Milchbub

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von R nach iR und mit der parametrisierung hast du so recht, hab das auch so bei mir stehen

03.02.2006, 18:56

Leopold

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RE: Komplexe Wegintegrale

Zitat:

Original von Milchbub
von R nach iR und mit der parametrisierung hast du so recht, hab das auch so bei mir stehen

Und das hier?

Zitat:

Original von Milchbub
Re^ (it) und t von 0 bis 2pi

(farbliche Markierung durch mich)

Und das hier?

Zitat:

Original von Milchbub
$\begin{eqnarray*} 2: [(1/3) z^3]_{iR}^R \end{eqnarray*}$

03.02.2006, 19:15

Milchbub

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kannst du mir vll nochmal so ganz allgemein und ohne große mathematischen deutungen, wann ich wie was berechne.
schreibe mal ein paar punkte auf wäre nett wenn ich zu jedem ein kleinen komentar bekommen würde:

gehen wir als erstes mal davon aus, das ein zusammenhängendes Gebiet über ganz C vorliegt.

1 smile

smile

dann ist ja ein das integral über einen geschlossen weg (positiv orientiert) immer gleich null sofern es keine definitionslücken hat. wie ist das bei einem negativ orientierten weg, der keine def lücken hat und bei einem mit def. lücken. also in welchen fall wird ein intagral gleich null und wann nicht?

2 smile

smile

wann ich ein komplexen inegral mit einer stammfunktion ausrechnen?

3 smile

smile

wann kann ich ein wegint. durch cauchysche inegralformal ausrechnen (durch geeignete umformungen)?

4 smile

smile

hab da noch was in der richtung gefunden: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=25357
der beitrag am 08.12.2005 13:13 von lepold wie kann man sich die punkte (I) und (II) erklären? warum fällt da jeweils ein term raus

mehr fällt mir grade nicht ein. bin über alles halbwegs verständliche in der richtung dankbar
im vorraus danke

03.02.2006, 19:36

Milchbub

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zu leopold: ist von 0 bis pi/2 und von R nach Ri, also grenzen verdreht, glaube aber mein problem leigt ehr im verständnis, siehe meinen post zuvor

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03.02.2006, 21:23

lego

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1. ob verwärts oder rückwärts ist bei einem geschlossenem weg auf einem einfach zusammenhängendem gebiet egal, ist beides 0

2. bei deiner frage fehlt ein wort aber wenn ich es richtig deute, willst du wissen, wann du ein integral mit einer stammfunktion ausrechnen KANNST. wenn sie eine hat kannst du sie hernehmen, in diesem fall ist das wegintegral auch wegunabhängig, sprich du brauchst dich nur um anfangs und endpunkt der kurve kümmern

3. cif sind praktisch, wenn du funktionen hast, die so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(z)}{(z-\alpha)^n} \end{eqnarray*}$ sprich wenn du im nenner einen solchen ausdruck stehen hast

4, ka grad

04.02.2006, 10:56

Milchbub

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danke für die antwort.
weiß noch jemand was zu punkt 4? es geht in dieser aufgabe ja um zwei kreise, der eine positv orientiert der andere negativ. wie kann man sich das ergebnis der aufgabe logisch erklären? welcher kreis, oder welcher teil eines kreises trägt was zum weg bei?
nach meinen verständnis müssten es beide sein, da sie ja beide definitionslücken bei 1 bzw. -1 haben, und deshalb das wegintegral nicht null sein kann oder? ich dann aber gesagt, rein aus meinem verständnis: der der eine kreis positiv orientiert ist betrag das wegint über ihn i2pi und das über den negativ orientierten -i2pi, also waäre der gesamtweg ja gleich null was er ja aber nicht ist.... also wie kann man sich das verständlich machen?

und nochmal zu punkt 3: die stmmfkt kann ich doch immer bilder wenn die fkt über ihren definitionsbereich keine lücken aufweist also regulär ist oder?

danke

04.02.2006, 12:36

Leopold

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Der Kreis $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ als Mittelpunkt und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ als Radius. Der Integrand $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$ ist holomorph auf einer Umgebung dieses Kreises (die Polstelle $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ liegt ja "Lichtjahre" entfernt, insbesondere nicht im Innern des Kreises). Nach dem Cauchyschen Integralsatz ist das Integral über $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ also Null.

04.02.2006, 12:42

zeta

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wie kommst du eigentlich auf deine stammfunktion? ((1/3)z^3)'=z^2, und wo ist die +1?

04.02.2006, 18:32

Milchbub

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@leopold das wäre mir jetzt klar, wenn bei mir im buch nicht stehen würde, dass sich der cauchysche intregralsatz auf positiv orientierte flächen bezieht und somit ja wohl nicht auf $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ 2, dieser weg ist ja negativ orientiert.
wie ist das nun erklärbar?

07.02.2006, 14:13

Milchbub

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kann die fkt Re(z) eine stammfunktion besitzen? und warum.
welche komplexe funktion besitzen keine stammfunktion

07.02.2006, 16:30

Leopold

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Gäbe es eine in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F'(z) = f(z) = \operatorname{Re}{(z)} \end{eqnarray*}$ , dann wäre auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph (holomorphe Funktionen sind beliebig oft komplex differenzierbar). Dem widersprechen aber die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.

Deine andere Frage ist unklar: Suchst du äquivalente Beschreibungen (da kommt es dann ganz auf dein Vorwissen an, was geht) oder hältst du Ausschau nach konkreten (holomorphen) Funktionen ohne Stammfunktion?

Zu deiner alten Frage nach der Orientierung des geschlossenen Weges:

Beachte, daß, wenn $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} - \gamma \end{eqnarray*}$ Wege sind, die sich nur in der Orientierung unterscheiden, gilt

$\begin{eqnarray*} \int_{- \gamma}~f(z)~\mathrm{d}z \ = \ - \int_{\gamma}~f(z)~\mathrm{d}z \end{eqnarray*}$

Und das beantwortet deine Frage.

07.02.2006, 21:56

Milchbub

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ok vielen dank leopold du hilfst mir wirklich immer gut weiter. das thema ist irgendwie ein bisschen zu abstrakt für mich...

hab da jetzt noch eine frage.

$\begin{eqnarray*} \int_{|z-i|=3/2}^{}~\frac{e^{1/z^2}}{z^2 + 1} ~dx \end{eqnarray*}$

ist gegeben will das integral mit hilfe des residuensatzes ausrechnen.
will jetzt erst mal die singularitäten bestimmen. ich hab ja zwei, da nenner die ordnung zwei hat.
meiner meinung sind die singularitäten i und -i oder? aber was mach ich mit dem Zähler, da steckt ja auch noch eine singularität drin nämlich 0, wie geh ich da vor? nehme ich drei Singularitäten? dann muss ich ja prüfen welche art von singularität vorliegt oder?

07.02.2006, 22:42

Leopold

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Zunächst kommt es nur auf die Singularitäten im Innern der geschlossenen Kurve an, und das sind hier $\begin{eqnarray*} z_0 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_1 = \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ befindet sich eine wesentliche Singularität und bei $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ ein Pol der Ordnung 1. Die Laurent-Entwicklung um $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ kann nur gerade Potenzen enthalten, denn der Integrand ist eine gerade Funktion. Also hat das Residuum bei $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ kannst du aus der Darstellung

$\begin{eqnarray*} \frac{\operatorname{e}^{\frac{1}{z^2}}}{1 + z^2} = \frac{1}{z - \operatorname{i}} \cdot \frac{\operatorname{e}^{\frac{1}{z^2}}}{z + \operatorname{i}} \end{eqnarray*}$

das Residuum ablesen; denn der zweite Bruch ist holomorph bei $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann der Wert des Integrals angegeben werden.

07.02.2006, 23:02

Milchbub

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wie siehst denn da, dass 0 und i in der kurve liegen und nicht -i?
gibts da irgendeinen trick mit dem man schnell erkennen kann welche art von singularität vorliegt oder muss ich das immer erst nachrechnen?

07.02.2006, 23:13

Leopold

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Warum zeichnest du dir die Kurve - das ist doch ein Kreis! - nicht einfach einmal auf? Nur hinschauen! Es liegt alles zu Tage.

Für den Residuensatz ist der Typ der Singularität irrelevant, da es eben - das ist der Witz! - nur auf das Residuum (wörtlich das "Überbleibsel") ankommt. Und daß bei 0 eine wesentliche Singularität vorliegt, sieht man einfach daran, daß bei Substitution von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^2} \end{eqnarray*}$ in der Exponentialreihe unendlich viele Potenzen von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit negativen Exponenten (nämlich sogar alle) vorkommen.

07.02.2006, 23:25

Milchbub

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also muss ich um das das residuum ausrechnen zu können gar nicht wissen was für eine singularität vorliegt? weil ich habe da bei mir im buch verschiedene ansätze zur lösung (z.b. für pol erster ordnung, pol n ordnung und noch einen zwei andere). kann ich einfach meine beiden singularitäten nehmen und in diese standardformel einsetzen ohne voher die art der singularität zu wissen

07.02.2006, 23:32

Milchbub

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oder wie soll ich sonst wissen wie ich meine meine "residuen gleichung" löse?
kann?
für das letzte beispiel kann ich die null nicht einfach in meine ansätze einsetzten
sondern muss das erst in eine laurentreihe entwickeln.

07.02.2006, 23:34

Leopold

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Ich habe mir noch nie die Regeln für Pole erster, zweiter und vierunddreißigster Ordnung gemerkt, weil ich das immer direkt mit der Laurent-Reihe mache. Wenn du natürlich solche Regeln verwendest, mußt du auch ihre Voraussetzungen beachten. Aber wie schon gesagt - ich halte sie für überflüssig.

08.02.2006, 10:25

Milchbub

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noch was. soll ein reeles integral mit einem komplexen ansatz ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} I=\int_{0}^{\infty }~\frac{x^2 dx}{{(x^2 + a^2)}^2} ~dx \end{eqnarray*}$
mit a>0

warum muss ich hier nur den pol zweiter ordnung von ai und nicht von -ai betrachten?

08.02.2006, 11:00

Leopold

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Schau dir die Regel bzw. ihren Beweis an. Vermutlich wird dort über den oberen Halbkreis um $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ von einem Radius $\begin{eqnarray*} R>a \end{eqnarray*}$ integriert. Deshalb also.

Wenn man über den ganzen Kreis integrieren würde, bräuchte man natürlich auch die anderen Pole. Aber vermutlich kann man dann das gewünschte reelle Integral nicht aus dem Ansatz herausrechnen.

Beachte bei dieser Aufgabe übrigens, daß der Integrand gerade ist, daß also

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~\ldots \ = \ \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}~\ldots \end{eqnarray*}$

gilt.

08.02.2006, 14:51

lego

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bei deiner letzten aufgabe wird das reeele integral wie leopold schon gesagt hat vermutlich über einen halbkreis mit radius r berechnet. man bildet sich küntlich einen geschlossenen weg aus 2 stücken. das erste teilstück ist dein reelles integral zwischen den grenzen -r und r und das zweite ist ein halbkreis mit mittelpunkt 0 und radius r in der oberen halbebene von IC. man zeigt dann, dass das kurvenintagral längs dieses halbkreises für r gegen unendlich gegen 0 strebt. somit ist der wert des integrals längs der konstruierten kurve gleich dem reellen integral von -unendlich bis + unendlich.

um nun den wert diese integrals zu bestimmen benutz man nun den residuensatz. weil der halbkreis aber nur in der oberen halbebene liegt braucht man auch nur die residuen, die in dieser halbene liegen.

du kannst deinen halbkreis auch in die untere halbene konstruieren, dann nimmst du halt die residuen dort unten, musst aber dann bzgl vorzeichen aufpassen.

edit: vorsicht, wenn du singularitäten auf der reellen achse hast!

09.02.2006, 16:35

Milchbub

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nochmal ne frage.

$\begin{eqnarray*} \int_{C}^{}~\frac{coshz dz}{(z+1)^3 (z-1)} ~dx \end{eqnarray*}$

davon will ich das cauchyintegral berechnen. ist noch zu sagen, dass C die kurve um 1 und -1 ist. wie berechne ich das am schnellesten? kann ja nicht einfach den cauchyschen integralsatz anwenden, da ja beiden pole innerhalb der kurve liegen. muss ich in dem fall den langen weg über die partialbruchzerlegung nehmen?

09.02.2006, 19:09

Milchbub

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ok habs jetzt mit partailbruchzerlegung gemacht:
$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{sin(z)z} \end{eqnarray*}$
davon sind ja die singularitäten 0 (1 Ordnung) und 2pik (k Ordnung? oder?

wie gehe ich nun vor, wenn ich davon sämtlich residuen berechnen will?

23.02.2006, 23:02

havenborn

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schwieriges Integral mit Verzweigungschnitten ?
Ich möchte das Integral
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\Pi}~e^{iA\phi + B\sqrt{2+2cos(\phi/2)}}~d\phi \end{eqnarray*}$
lösen - wobei A und B reel sind und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ entlang der reellen Achse läuft.

Nach Transformation $\begin{eqnarray*} z=e^{i\phi} \end{eqnarray*}$ ist es proportional zu diesem Integral
$\begin{eqnarray*} \int_{|z|=1}~z^A e^{(z^{1/4}+z^{-1/4})B}~dx \end{eqnarray*}$
, wobei z komplex ist und der Integrationsweg der Einheitskreis um z=0.

Ich denke es sollte mit Residuen Satz gehen , mich irritieren aber diese Verzweigungschnitte für die vorkommenden vierten Wurzeln mächtig.
Kann es jemand lösen ?

23.02.2006, 23:40

AD

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Ich habe Zweifel, dass deine Transformation des Integranden für alle $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ des Integrationsbereiches $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ richtig ist: So gilt z.B.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2+2\cos\frac{\phi}{2}} = \sqrt{4\cos^2\frac{\phi}{4}} = \left| 2\cos\frac{\phi}{4} \right| \end{eqnarray*}$ ,

wobei die Betragsstriche für $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} < \phi < \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$ äußerst wichtig sind...

24.02.2006, 12:16

havenborn

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ich finde noch keinen Fehler in der Transformation, aber das Problem mit
den Betragstrichen sollte nicht auftreten, da doch sie doch in

$\begin{eqnarray*} \pi/2<\frac{\phi}{4}<3\pi/2 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} 2\pi<\phi<6\pi \end{eqnarray*}$

wirken, und dies nicht im Integralbereich ist.

24.02.2006, 20:34

havenborn

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Lösung - jedoch jetzt Doppelreihe ...
Ich hab die Antwort - leider nur in Form einer Doppelreihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k,l}\frac{B^{k+l}(e^{(k-l)\pi i/2}-1)}{k!l!(1+N+(k-l)/4)} \end{eqnarray*}$
wobei k,l über alle natürlichen Zahlen (inkl. 0 ) laufen.
Kann jemand diese Reihe vereinfachen ?
Oder weiss jemand, wie sie sich für große A,B verhält ?
P.S. ich habe dabei gelernt, dass es immer nur eines Verzweigungschnittes bedarf - auch für
die vierte Wurzel.

24.02.2006, 20:35

havenborn

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kleine Korrektur zur Doppelreihe
Korrektur: was ich N nenne ist im Integral A genannt.

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