Rang und lin. Abhängigkeit |
| 03.02.2006, 20:06 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Rang und lin. Abhängigkeit eines matrix? danke |
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| 03.02.2006, 20:19 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmm, prinzipiell ja, wenn du spaltenvektoren aus dem K^n hast musst du aber richtig deuten deine ergebnisse und eigentlich ist das vom rechnen her eh alles das gleiche: onkel gauß! mfg jochen |
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| 03.02.2006, 20:34 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja den onkel gauß verfahren kenn ich ja aber wie kann ich damit die lin. abhängigkeit bestimmen? |
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| 03.02.2006, 20:59 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gib doch mal ein konkretes Beispiel! Gruß MSS |
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| 03.02.2006, 21:03 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
seien (x1,...,xn) vektoren aus dem K^n dann musst du doch schauen, ob die gleichung a1*x1+...+an*xn=0 nur von a1=...=an=0 gelöst wird (ai aus dem grundkörper) das ist ein homogenes LGS! das löst du mit gauß, bzw. zeigst nur, ob es eindeutig oder mehrdeutig lösbar ist |
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| 03.02.2006, 21:14 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok ich habe vestanden was du meinst. hast du eventuell ein kleines bsp? zb die vektoren: x1=(1,2,3)^T x2=(3,4,5)^T x3=(0,2,4)^T jetzt möchte ich berechnen ob diese vektoren lin. unabhängig oder abhängig sind... als erstes,denke ich, fasse ich alle vektoren als eine matrix zusammen: { 1 3 0 } A={ 2 4 2 } { 3 5 4 } wie gehe ich jetzt vor? |
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| 03.02.2006, 21:21 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn du schon determinanten kennen würdest, ginge es schneller es geht jetzt um die lösbarkeit von A*a=0 (a ist dabei der vektor (a1,a2,a3) mit den ai von oben) es gilt: eindeutig lösbar (ai=0) => lineare unabh. eine nichttriviale lösung (lösung mit ai<>0 für ein i) => lineare abhängigkeit also einfach homogenes LGS lösen; sobald du siehst, welche der beiden varianten oben zutrifft, kannst du aufhören z.b. wenn du eine nullzeile bekommst und dann ein LGS mit 2 gleichungen, 3 unbekannten überbleibt; das ist dann sicher nicht mehr eindeutig lösbar also fang mal mit dem gauß an jetzt! und nutze für matrizen den formeleditor. |
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| 03.02.2006, 21:23 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie Jochen sagte: Du willst die Gleichung lösen. Nun gilt: . Das soll sein: Daraus ergeben sich drei Gleichungen: . Gruß MSS edit: Kannst das ganze natürlich auch in Matrizenschreibweise lösen, wie du willst ... |
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| 03.02.2006, 21:34 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also das muss ich mir jetzt genauer angucken..ich habe immernoch ein grosses fragezeichen über den kopf! determinante, rang, gauß usw. alles kein problem aber das... ich muss es versuchen zu verstehen, wenn nicht wende ich mich wieder an euch 
danke auf jedenfall bis hierhin! |
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| 03.02.2006, 23:23 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist es richtig, dass die determinante = 0 sein muss wenn die vektoren lin. abhängig sind? |
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| 04.02.2006, 00:30 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. willst du bestimmt die andere Richtung haben und 2. ist es genau andersrum. Gruß MSS |
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| 04.02.2006, 00:40 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das kommt daher, dass dein LGS Aa=0 eindeutig ist, wenn A quadratisch und invertierbar (also det<>0). dann gilt ja a=A^-1*0=0 ist einzige lösung ergo: det(A)<>0 <=> A hat linear unabhängige spalten aber wie gesagt nur, wenn A quadratisch ist |
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| 04.02.2006, 00:41 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dh. wenn det=0 => lin. abhängig?! |
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| 04.02.2006, 00:47 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, det=0 => nicht eindeutig lösbar => nicht nur triviale lösung fertig bei quadratischen matrizen A ist das eine äquivalenz: spaltenvektoren linear abhängig <=> zeilenvektoren linear abhängig <=> det(A)=0 (<=> A hat nicht vollen Rang <=> die Treppe von A ist nicht die Einheitsmatrix <=> das LGS Ax=0 ist nicht eindeutig lösbar <=>......) |
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| 05.02.2006, 17:06 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
folgendes bsp: a=(3,-1,2) b=(2,0,1) c=(0,0,0,) {a,b,c} => verltoren prüfen ob lin. un- oder abhängig! jetzt habe ich die 3 gleichungen berechnet: 3a+2b=0 -a=0 2a+b=0 (ich hoffe es stimmt!) was sagt mir das jetzt? woran erkenne ich die abhängigkeit??? |
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| 05.02.2006, 17:42 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
schlechtes beispiel:
es gilt z.b. 0*a+0*b+1*c=(0/0/0) ist de nullvektor in der menge der vektoren ist diese automatisch l.a. |
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| 05.02.2006, 18:07 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber gut zu wissen 
und was ist damit: a=(3,-1,2)^T b=(2,0,1)^T c=(5,-3,4)^T |
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| 05.02.2006, 18:30 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
es geht um die lösbarkeit dieses LGSes determinante der koeffizientenmatrix berechnen oder gauß anwenden |
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| 05.02.2006, 18:35 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok die determinante ist = 0 dh. lin. abhängig..richtig? |
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| 05.02.2006, 18:36 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja |
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| 05.02.2006, 18:47 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok..solang ich eine quadratische matrix habe kann ich die abhängigkeit leicht durch die bestimmung der det. bestimmen, jeoch fällt es mir bei der nicht quadratischen gleichung noch etwas schwer! |
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| 05.02.2006, 18:48 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja, merke: mehr vektoren als dimension (also z.b. 4 vektoren im IR^3) sind als menge sofort linear abhängig ansonsten muss wohl onkel gauß ran! |
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| 05.02.2006, 19:03 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja so tips könnte ich morgen bei der klausur gebrauchen.. ich habe aber nicht verstanden welchen zusammenhang es zwischen onkel gauß vs. lin. abhägigkeit gibt.. ich kann mit dem gauß verfahren berechnen ob die gleichung eine, keine oder viele lösungen hat... und so weit ich mitbekommen habe muss ich die rechte seite, dh "b" von Ax=b ja = 0 setzen..da es ja ein homogenes system ist... so, wie erfahre ich jetzt nun die abhängigkeit? |
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| 05.02.2006, 19:05 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
beachte: dein lösungsvektor x in Ax=0 entspricht genau den skalaren deiner linearkombination der spaltenvektoren der matrix zur 0. def. ist doch, dass die spaltenvektoren genau dann l.a. sind, wenn es eine nichttriviale linearkombination der 0 gibt. das ist ja genau dann der fall, wenn es außer x=0 (diese lösung gibts auf jeden fall!) noch eine weitere lösung gibt. |
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| 05.02.2006, 19:25 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hast du eventuell ein beispiel für mich? daraus kann ich es vielleicht besser erkennen.. ps: ich liebe die "mathe sprache" 
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| 05.02.2006, 19:30 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nehmen wir den IR^4 und daraus 3 vektoren a=(1/2/3/4) b=(2/1/3/4) c=(1/2/4/3) teste die mal auf lineare abhängigkeit Ansatz ist eine Linearkombination der 0 (nullvektor (0/0/0/0) aus skalaren x1,x2,x3 x1*a+x*b+x3*c=0 stell mal das LGS auf |
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| 05.02.2006, 19:40 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1 2 1 |0 0 -3 0 |0 0 0 1 |0 0 0 -1/3 |0 ich hoff das es soweit stimmt... |
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| 05.02.2006, 19:59 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
habs nicht nachgerechnet aber an dieser form solltest du jetzt erkennen, dass x3 nur 0 sein kann, dann x2=0, und dann zu guter letzt x1=0 => nur (x1,x2,x3)=(0/0/0) löst das gleichungssystem, also.... |
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| 05.02.2006, 20:04 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
emmm.. unabhängig 
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| 05.02.2006, 20:11 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
richtig
denn alle lösungen (x1,x2,x3) sind mögliche skalare aus einer linkomb. der 0 es gibt nur die triviale linkomb. => deine vektoren waren linear unabhängig jetzt bastel ich dir mal eine linear abhängige und du errechnest das mal mit gauß: a,b,c wie oben, d=(-3,3,1,-1) diese 4 vektoren sind linear abhängig, beweise mit gaußalgorithmus! welches LGS setzt du an? poste das LGS, dann rechne |
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| 05.02.2006, 20:22 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was meinst du mit "welches LGS setzt du an?" |
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| 05.02.2006, 20:27 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie sieht das LGS aus, dass du dafür lösen musst, bzw. von dem du schauen musst, ob es mehr als die triviale lösung hat |
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| 05.02.2006, 20:44 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich stehe wieder aufm schlauch... |
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| 05.02.2006, 20:45 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hier hast dus doch auch hinbekommen!? gehe genauso vor |
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| 05.02.2006, 20:48 | mastermind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achsoooo.. 
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