Ableitung der Fkt (komplizierter)

03.02.2006, 22:05

@ndy

Ableitung der Fkt (komplizierter)

Hallo ich soll folgende Funktion ableiten $\begin{eqnarray*} f(x) = a^{\sqrt{x^{2}+1}} \end{eqnarray*}$

Bisher bin ich zu folgendem Ergebnis gekommen $\begin{eqnarray*} f'(x) = a^{\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac {ln a}{2 \cdot \sqrt{2x+1}} \end{eqnarray*}$

Kann das jemand bestätigen?

Mach mich dann noch an $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{(x^{x})} \end{eqnarray*}$

falls da noch jemand Tips hat bin ich dankbar verwirrt

03.02.2006, 22:14

Calvin

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RE: Ableitung der Fkt (komplizierter)
Die erste Ableitung stimmt nicht. Es sieht so aus, als hättest wärst du bei der Kettenregel durcheinander geraten. Hast du die Funktion vorher nach der Art $\begin{eqnarray*} a^x=e^{x\ln(a)} \end{eqnarray*}$ umgeformt? Diese Umformung musst du übrigens auch bei der zweiten Aufgabe anwenden.

03.02.2006, 22:18

@ndy

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RE: Ableitung der Fkt (komplizierter)
hast du ein programm mit dem du das ergebnis so schnell prüfen konntest?

ja ich habe umgeformt $\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x^2+1}\cdot lna} \end{eqnarray*}$

dann habe ich den oberen teil y gesetzt y:=

03.02.2006, 22:21

Calvin

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RE: Ableitung der Fkt (komplizierter)

Zitat:

Original von @ndy
hast du ein programm mit dem du das ergebnis so schnell prüfen konntest?

Nö

Aber wie ist denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ ?

03.02.2006, 22:29

@ndy

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RE: Ableitung der Fkt (komplizierter)
die sollte wohl $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$ sein?

03.02.2006, 22:30

Calvin

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RE: Ableitung der Fkt (komplizierter)
Genau. Jetzt nur noch an die richtige Stelle einsetzen. Dann stimmt auch die Ableitung deiner ersten Funktion.

03.02.2006, 22:32

@ndy

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RE: Ableitung der Fkt (komplizierter)
kann ich das nicht mit *ln a an den ersten teil anhängen oder läßt sich das noch weiter zusammenfassen

03.02.2006, 22:40

Calvin

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Das ist genau das, was du noch tun kannst. Mehr geht nicht.

03.02.2006, 22:46

@ndy

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dann fasse ich nochmal zusammen f'(x) = $\begin{eqnarray*} a^{\sqrt{x^2+1}} \cdot (\frac{x}{\sqrt{x^{2+1}}} \cdot lna) \end{eqnarray*}$

03.02.2006, 22:47

Calvin

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Exakt das

Und wie schon gesagt: die zweite Funktion zunächst nach dem gleichen Schema umformen.

03.02.2006, 22:58

@ndy

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okay dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} e^{x^{x} \cdot lnx} \end{eqnarray*}$

und ergebnis $\begin{eqnarray*} x^{(x^{x})} \cdot (x\cdot x^{x-1}\cdot \frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

falls nicht muß ich das bier wegstellen. ups eh gleich alle und nochmal die zwischenschritte hervorholen Big Laugh

03.02.2006, 23:04

Calvin

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Zwei Fehler: Zum einen musst du das x^x im Exponent nochmal umwandeln. Und dann hast du bei der Ableitung des Exponenten vergessen, die Produktregel anzuwenden.

03.02.2006, 23:15

@ndy

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das es $\begin{eqnarray*} e^{(e^{x \cdot lnx} \cdot lnx)} \end{eqnarray*}$ lautet?

03.02.2006, 23:47

Calvin

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Fast

Ein x fehlt noch an der richtigen Stelle. Forme mal x^x um und setze es erst danach ein.

Beim Ableiten am besten auch die entsprechenden Teile einzeln ableiten und am Ende wieder einsetzen. Dann behält man einfacher den Überblick.

03.02.2006, 23:59

@ndy

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so das x ist dabei. ich glaub so sollte es sein. ich geh erstmal schlafen und morgen früh wird weiter abgeleitet ;-)

04.02.2006, 00:00

Calvin

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Ja, jetzt passt es. Gute Nacht.

04.02.2006, 13:16

@ndy

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so hätte jetzt als ergebnis f' = $\begin{eqnarray*} x^{(x^{x})} \cdot \frac{e}{x} \end{eqnarray*}$

04.02.2006, 14:09

Mathespezialschüler

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Und wie kommst du darauf?

Gruß MSS

04.02.2006, 14:29

@ndy

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$\begin{eqnarray*} e^{x \cdot lnx} \end{eqnarray*}$ abgeleitet zu $\begin{eqnarray*} x \cdot lnx \cdot e^{x \cdot lnx -1} \end{eqnarray*}$ da bleibt bei mir dann nur e übrig. und $\begin{eqnarray*} e \cdot lnx = \frac{e}{x} \end{eqnarray*}$

04.02.2006, 14:34

speedyschmidt

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Zitat:

Original von @ndy
$\begin{eqnarray*} e \cdot lnx = \frac{e}{x} \end{eqnarray*}$

Seit wann gilt denn sowas???

04.02.2006, 14:35

Mathespezialschüler

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Nein, nein, nein!!! Das ist eine Exponentialfunktion, da kannst du nicht die Ableitungsregel für eine Potenzfunktion benutzen! Guck noch einmal nach, wie die Ableitung einer Exponentialfunktion ist und vergesse für diese Aufgabe die Ableitung für die Potenzfunktion einfach mal komplett!

Gruß MSS

04.02.2006, 14:36

@ndy

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wenn du lnx ableitest bekommst du 1/x und 1/x mal e ist e/x

04.02.2006, 14:37

@ndy

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die ausgangsfunkion ist x^x^x also eigentlich keine e-funktion!?

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Nein, nein, nein!!! Das ist eine Exponentialfunktion, da kannst du nicht die Ableitungsregel für eine Potenzfunktion benutzen! Guck noch einmal nach, wie die Ableitung einer Exponentialfunktion ist und vergesse für diese Aufgabe die Ableitung für die Potenzfunktion einfach mal komplett!

Gruß MSS

04.02.2006, 14:41

Mathespezialschüler

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Aber die Ausgangsfunktion ist auch keine Potenzfunktion. Zum Ableiten ist es nützlich, die Ausgangsfunktion in eine Exponentialfunktion umzuschreiben und dann musst du natürlich nach den entsprechenden Regeln ableiten, d.h. du musst vor allem die Ableitungsregel für die Exponentialfunktion benutzen.

Gruß MSS

04.02.2006, 15:06

@ndy

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welcher regel sollte ich denn am ehesten folgen? steh ein wenig auf dem schlauch.

04.02.2006, 15:52

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\operatorname e^x\Rightarrow f'(x)=\operatorname e^x \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

04.02.2006, 16:46

@ndy

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ja leider hab ich ja nicht nur e^x!

04.02.2006, 17:13

Mathespezialschüler

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Ich weiß! Deswegen brauchst du ja auch die Kettenregel!

$\begin{eqnarray*} f(x)=\operatorname e^{g(x)}\Rightarrow f'(x)=\operatorname e^{g(x)}\cdot g'(x) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

04.02.2006, 18:31

@ndy

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also den teil $\begin{eqnarray*} e^{x \cdot lnx} \cdot lnx \end{eqnarray*}$ abzuleiten bereitet mir schon probleme!

der zweite teil abgeleitet ergibt ja 1/x aber der erste???

04.02.2006, 19:07

riwe

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probiere es mal logarithmisch:
$\begin{eqnarray*} y = a^{\sqrt{x^{2}+1}} \Rightarrow lny = \sqrt{x^{2}+1} \cdot lna \end{eqnarray*}$
und jetzt implizit differenzieren
$\begin{eqnarray*} \frac{y^\prime}{y}=\frac{x \cdot lna}{\sqrt{x^{2}+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=x^{x^{2}}\Rightarrow lny=x^{2} \cdot lnx\Rightarrow\frac{y^\prime}{y}=2x\cdot lnx+\frac{x^{2}}{x} \end{eqnarray*}$
mit y multiplizieren und einsetzen.
ist oft/ manchmal übersichtlicher
werner

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