Eigenvektor bestimmen

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Olympus10000 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor bestimmen
Moin!

Habe eine Verständnisfrage bezüglich Eigenvektoren!

Ich möchte den eigenvektor für diese Determinate bestimmen!



Vektor
Hier bekomme ich als Eiegnvektor
heraus!

1)Stimmt das?
2) Gibt es immer nur unendlich viele Eigenvktoren, wenn ich eine oder mehrere Nullzeile/n habe, oder den Nullvektor, (so wie hier) als Eigenvektor?War bisher immer so, wenn ich das richtig verstanden habe!
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor bestimmen
Zitat:
Original von Olympus10000
Ich möchte den eigenvektor für diese Determinate bestimmen!

Mir scheint, bei dir geht etwas durcheinander. Du kannst die Determinante einer Matrix bestimmen oder die Eigenvektoren der Matrix. Aber Eigenvektor einer Determinante gibt es nicht. Also, was ist ein Eigenvektor bzw. ein Eigenwert?

Eine Zahl lambda heißt Eigenwert, wenn es einen Vektor x (man nennt ihn auch Eigenvektor) ungleich 0 gibt, so daß gilt:

Dabei ist - allgemein gesprochen - A eine (n x n)-Matrix und x ein n-Vektor.

Jetzt brauchen wir noch die Einheitsmatrix I, also die Matrix mit 1-sen auf der Diagonale, Beispiel:

Dann kann man die Gleichung 1) auch so schreiben:

oder auch:

oder auch:


Anmerkung: 0 ist hier nicht einfach die Zahl Null, sondern der Null-Vektor.

Wenn die letzte Gleichung eine nicht triviale Lösung haben soll, muß die
Determinante von = Null sein.
Man nennt diese Determinante auch das charakteristische Polynom.

Wie lautet denn deine ursprüngliche Matrix und welche Eigenwerte hast du raus?
Olympus10000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor bestimmen
Alles klar,danke. Habe es verändert! Was du mir sagts ist klar!


Meine ursprüngliche Matrix lautet



ich vertausche 1 und dritte zeile und erhalte durch Gauß

A=

die Eigenwerte sind -1,1,-5

Für EW=1 erhalte ich

Stimmt meine Lösung denn dann? Wie ist die Antwort bezüglivh Frage 2?
Smeago1 Auf diesen Beitrag antworten »

Also.. ich versuch dir mal zu helfen.. alle Angaben sind aber ohne Gewähr.. smile

Es gibt immer nur endlich viele Eigenwerte/Eigenvektoren.. Undzwar genau soviele wie das charakteristische Polynom Lösungen hat..


Der Nullvektor ist niemals Eigenvektor..



Und zu deinem Eigenwert 1 wäre eine Lösung des LGS ja also nicht der Nullvektor.


Hoffe ich konnte dir ein bischen helfen.. gruß Smea
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es gibt immer nur endlich viele Eigenwerte/Eigenvektoren..


Die Aussage ist so falsch. Es gibt endlich viele Eigenwerte. Aber im Normalfall gibt es zu jedem Eigenwert unendlich viele Eigenvektoren. Diese Bilden einen Vektorraum, den sogenanten Eigenraum.

So und jetzt zu den Eigenwerten. Das Characteristische Polynom der Matrix ist



Damit sind die Eigenwerte (1,1,-5). Um die Eigenvektoren zu bekommen musst Du das LGS



für Lambda = ein Eigenwert lösen.
Smeago1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm aber diese unendlichvielen Eigenvektoren sind doch nur Vielfache von einander oder lieg ich da falsch?
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hmm aber diese unendlichvielen Eigenvektoren sind doch nur Vielfache von einander oder lieg ich da falsch?


Sobald die Dimension des Eigenraums zu einem Eigenwert größergleich 2 ist, ist jede linearkombination der Eigenvektoren eine Lösung. Man kann basis etc. wie sonst auch angeben. Für dim ER = 1 ist es jeweils immer reelles (komplexes) vielfaches des Vektors.
Olympus10000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Zitat:
Es gibt immer nur endlich viele Eigenwerte/Eigenvektoren..


Die Aussage ist so falsch. Es gibt endlich viele Eigenwerte. Aber im Normalfall gibt es zu jedem Eigenwert unendlich viele Eigenvektoren. Diese Bilden einen Vektorraum, den sogenanten Eigenraum.

So und jetzt zu den Eigenwerten. Das Characteristische Polynom der Matrix ist



Damit sind die Eigenwerte (1,1,-5). Um die Eigenvektoren zu bekommen musst Du das LGS



für Lambda = ein Eigenwert lösen.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Olympus, kleiner Hinweis zu Deinem Fehler.

Vertauschen von Zeilen ändert das Vorzeichen der Determinante. Wenn Du also das gleiche Aussagen willst musst Du nochmal mit -1 multiplizieren und bekommst dann die EW(1,1,-5).
Olympus10000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie heißt hier denn mein Eigenvektor und warum?





Wieso soll hier der Eigenvektor sein?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Thread ist sehr viel Fehlinformation und sehr viel rumhantiererei mit Umformungen die weder zulässig noch richtig sind. Erstmal

1. ähnliche Matrizen haben die gleichen Eigenwerte
2. ähnliche Matrizen haben NICHT die gleichen Eigenvektoren

Aber darum gehts erstmal nicht. Man kann bedingt mit Gauß die Eigenwerte einer Matrix bestimmen. Dazu muss die Matrix aber ähnlich zu einer Matrix in Dreiecksform sein. (Der Satz von Schur liefert diese im komplexen). Im reellen geht das nicht unbedingt. Ich würde Dir von vornherein also abraten Gauß zu benutzen um die Eigenwerte zu errechnen da Du 2 transformationen brauchst. Beispiel:

Wir haben folgende Matrix



Wir wollen die Eigenwerte ausrechnen also die Determinante von



Das char Polynom ist dann
Die Eigenwerte sind

So und jetzt Gauß



Wir ziehen von der zweiten Zeile die erste ab



Die Eigenwerte wären 1 und 3 was falsch ist. Das sind die Eigenwerte der Umgeformten Matrix nicht mehr die Eigenwerte der Ursprungsmatrix. Wenn Du die Eigenwerte einer Matrix A ausrechnen willst solltest Du es immer über die Determinante der Matrix machen.
Olympus10000 Auf diesen Beitrag antworten »

Uihh.Das habe ich vergessen! Muss ich das Vorzeichen hier auch ändern, obwohl ich die zeilen ja in einer Matrix und nicht in einer Determinante vertauscht habe?


Danke, das hat mir schon einmal sehr geholfen! Bleibt die Frage nach dem Eigenvektor in meinem Beispiel! Ich komme auf den Nullvektor!Allerdings komme ich bei Matrizen dieser Art immer die triviale Lösung! Das erscheint mir falsch!Oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Uihh.Das habe ich vergessen! Muss ich das Vorzeichen hier auch ändern, obwohl ich die zeilen ja in einer Matrix und nicht in einer Determinante vertauscht habe?


Lies meinen editierten Beitrag der sollte alles klarstellen.

Ich bestimme jetzt die Eigenvektoren der Matrix



Wir wissen die Eigenwerte sind . Wir lösen also das System



Sei lambda = 3 + wurzel(6)



<=> Zeile 2 plus das fache von Zeile 1



Zeile zwei sagt uns das wir bel. wählen können. Da wir nur einen Eigenvektor wollen setz ich . Daraus folgt dann



Damit ist ein Eigenvektor zum Eigenwert also

Olympus10000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das habe ich verstanden! Wenn ich eine Nullzeiole habe, kann ich das Element für die zeile frei wählen! Bei mir stet in der dritten Zeile aber -6x = 0 Somit ist x3=0,x2=0,x1=0! Damit wäre mien Eigenvektor der nullvektor! Dies ist aber die triviale Lösung! Das bekomme ich aber imme für solche Matrizen heraus, wo ich keine Nullzeiel habe,oder nicht?
(Unabhängig davon, ob ich hier jetzt die Zeilenvertauschung nicht berücksichtigt habe= traurig
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ok, das habe ich verstanden! Wenn ich eine Nullzeiole habe, kann ich das Element für die zeile frei wählen! Bei mir stet in der dritten Zeile aber -6x = 0 Somit ist x3=0,x2=0,x1=0! Damit wäre mien Eigenvektor der nullvektor! Dies ist aber die triviale Lösung! Das bekomme ich aber imme für solche Matrizen heraus, wo ich keine Nullzeiel habe,oder nicht?


Wie ich Dir weiter oben gesagt habe ist diese Matrix falsch. Ich würde Dir mal vorschlagen das Du die Rechnung nochmal ganz von vorne machst so wie ich es und Klarsoweit es Dir gesagt haben.

Aber zu der Matrix

x3 = 0 das ist richtig. Es steht aber in Zeile 1

-2x1 + 2x2 + 0x3 = 0

dann ist x1 = x2

Dann wäre eine Lösung. Ich sage bewusst Lösung und nicht Eigenvektor weil die Matrix mit der ausgangsmatrix nicht viel zu tun hat. Wie gesagt, versuch es mal von vorne mit Hilfe der Determinante, wie ichs erklärt habe.
Olympus10000 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles kalr! Vieln Dank! hast mir sehr geholfen! Tanzen
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schlag Dir vor das Du Deine Rechnung dann hier präsentierst (wegen fehler etc.)
dEUs Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bedeutet dass, dass ich, wenn ich als Eigenvektor den Nullvektor herausbekomme GARANITERT was falsch gemacht habe? Habe das gleiche Problem wie Olympus unglücklich
Ich versuche gerade die Eigenvektoren der Beispielmatrix von http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenvektor...r_Eigenvektoren zu loesen. Die Eigenwerte sind kein Problem und die bekomm ich auch richtig hin, aber bei der Umformung kamm ich immer auf den Nullvektor unglücklich
Kann mir das mal jemand beispielhaft hinschreiben?

Vielen vielen Dank,
Daniel
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

sei A matrix, e Eigenwert davon, I Einheitsmatrix

dann sind die Lösungen des homogenen LGS (A-eI)*x=0 Eigenvektoren dazu (alle!).
0 (Nullvektor) löst dieses LGS ja IMMER, aber da e Eigenwert heißt es, dass es MINDESTENS ein eindim. Lösungsraum sein muss, es also noch WEITERE Lösungen außer 0 geben muss.

Nix vorrechnen, Gauß, wie gehabt.

Eigene Rechnung präsentieren.
dEUs Auf diesen Beitrag antworten »

lol, hab mich gerade nochmal dran gemacht, dann hats geklappt. Beim Gauß mach ich immer so viele Schludderfehler unglücklich

Habe ich das richtig verstanden:
Die Matrix A-lambda*I hat darf keinen vollen Rang haben?

Grüße
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nö, dann wäre das LGS ja eindeutig lösbar, also nur durch den Nullvektor.
Aber es heißt ja gerade e Eigenwert, wenn ein von 0 VERSCHIEDENER vektor x mit Ax=ex existiert.
Das kann man zu (A-eI)x=0 umstellen, also muss das lösbar sein für einx <>0, also insb. NICHT eindeutig.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Matrix A-lambda*I hat darf keinen vollen Rang haben?


Wenn lambda ein Eigenwert ist dann hat die Matrix A - lambda I keinen vollen Rang. Da kannste dich aufn Kopf stellen Augenzwinkern , liegt ganz einfach daran das

det(A - lambda I) = 0 für lambda ein Eigenwert

ist, damit ist die Matrix nicht invertierbar und damit hat die Matrix (A - lambdaI) keinen vollen Rang.
dEUs Auf diesen Beitrag antworten »

ok, sehr schoen, dann hab ich das also doch noch kapiert. D.h. ich kann einfach absolut nicht rechnen. Oder nicht mehr, weil ich schon den ganzen Tag Mathe mach... Hammer
dEUs Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, oder doch nciht. Rechne gerade ein Beispiel mit komplexen Zahlen:

Die Eigenwerte sind und
Daraus ergibt sich für den ersten Eigenwert folgende Matrix:

Irgendwie schaff ich's aber nciht eine Zeile zu eliminieren. Ich habe es damit versucht die 2. Zeile mit mal zu nehmen und dann von der ersten abzuziehen. Also entweder kann ich keine komplexen Zahlen mehr oder... ich weiss auch cniht... Jedenfalls kommt bei mir raus... unglücklich
Please help!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

(1-2i)*(-1-2i)=-(1-2i)(1+2i)

und nun Binom!

=-[1^2-(2i)^2]=.....=-3

mfg Jochen (lernt nun weiter)
dEUs Auf diesen Beitrag antworten »

Argl... ich glaub ich geb's fuer heute auf, auch wenn ich morgen die Klausur schreib... Die Eigenwerte sind -1 und 5, nicht umgekehrt...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Viel Glück bei der Klausur, schlaf dich aus, dann reduzieren sich auch Rechenfehler auf ein Minimum.

GlHf.
Jochen
dEUs Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schoen! Aber es sind nciht nur die Rechenfehler... Mir fehlt auch die Uebung, ich komm in den seltensten Faellen auf die Idee, wie ich was zu beweisen habe. Naja, wird schon schief gehen :/

Ich schreib uebrigens an der BA in Karlsruhe, an welcher Hochschule bist du in KA?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wird Offtopic, kriegst natürlich trotzdem ne Antwort
=> TU, also Uni

wegen Übung: mehr üben smile
einfach wild rechnen..... alte Klausuren etc.
dEUs Auf diesen Beitrag antworten »

OT, hast recht, will aber trotzdem kurz Feedback geben:
Klausur ist vorbei, war nciht so schwer wie befürchtet, bin aber trotzdem nciht fertig geworden (fehlende Übung -> zu langsam). Eigenvektoren hab ich übrigens nicht rausbekommen ^^

Bzgl. Übung: Bin Erst-Semester und hab's wie in der Schule gehandhabt: Vor der Klausur kurz was machen. Weil's BA ist, hab ich etwas mehr gemacht. Aber hätte das ganze Semester über was machen müssen. Naja, man wird immer klüger Augenzwinkern

Grüße!
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