Extremalproblem?

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dekeks Auf diesen Beitrag antworten »
Extremalproblem?
Tja wir schreiben morgen mal wieder eine Matheklausur über Extrema, Wendepunkte und daraus resultierende Funktionsgleichungen und leider auch über Extremalprobleme Leider haben wir eine etwas seltsame Mathelehrerin böse , die anscheinend der Meinung war, dass wir alles alleine können, wenn wir eine Stunde vor der Klausur noch damit anfangen...
Habe nicht einmal verstanden wie man an die Sache rangehen soll!
Kann mir jemand noch mal allgemein erklären, wie man Zusammenhänge zwischen den gegeben Größen in diesen Aufgaben herstellen kann? Nehme als Beispiel mal eine Aufgabe aus dem Unterricht, die ich nicht hinbekommen habe:

Ein Erfrischungsgetränk soll in zylindrischen Dosen aus Weißblech angeboten werden. Das Volumen einer Dose soll 330 ml betragen (0,33 l). Aus Kostengründen und der Unwelt zuliebe soll der Materialbedarf pro Dose durch eine günstige Formgebung möglichst niedrig gehalten werden. Berechnen Sie Radius und Höhe einer solchen "optimalen" Dose.

unglücklich unglücklich unglücklich

Erklärungen für Dumme bitte! Hammer
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du widersprichst dich:

Morgen schreibt ihr die Arbeit, und eine Stunde vorher fangt ihr damit an, Extremwertaufgaben zu besprechen...

Wieso kannst du dann jetzt ein Beispiel aus dem Unterricht anbringen, wo das doch angeblich erst morgen drankommt? smile

Jaja, die Lehrer sind an allem Schuld. Big Laugh

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Zur Sache:

Suche dir erstmal die Formeln von Volumen und Oberflächeninhalt eines Zylinders raus - der Oberflächeninhalt ist nämlich direkt proportional zum Weißblech-Materialverbrauch. Beide Größen hängen vom Grundkreisradius und Höhe der Dose ab.

Der Oberflächeninhalt ist nun deine Zielgröße für die Minimierung. Allerdings kannst du die Nebenbedingung "Volumen = ..." dazu nutzen, die eine der beiden Einflußgrößen (zweckmäßigerweise die Höhe ) zu eliminieren, so dass die Zielfunktion nur noch von der einen Variable Radius abhängt. Und dann die übliche Extremwertprozedur durchziehen, so wie du sie wohl doch schon kennengelernt hast. Augenzwinkern
dekeks Auf diesen Beitrag antworten »

Du widersprichst dich:

Morgen schreibt ihr die Arbeit, und eine Stunde vorher fangt ihr damit an, Extremwertaufgaben zu besprechen...

Wieso kannst du dann jetzt ein Beispiel aus dem Unterricht anbringen, wo das doch angeblich erst morgen drankommt?

Jaja, die Lehrer sind an allem Schuld.
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Wir haben eine Stunde VOR der Klausur also in der letzten Mathestunde vor der Klausur mit Extremalproblemen angefangen ^^ die war am Mittwoch letzte Woche xD Anscheinend ein bisschen unglücklich formuliert!

Ok habe die Erklärung soweit verstanden... Die Aufgabe scheint mir jetzt auch nicht sooo schwer zu sein, da ja Volumen gegeben ist... Wie ist das bei folgender Aufgabe:

Welche zylindrische Dose mit dem Oberflächeninhalt 1dm² hat das größte Volumen?

Man hat ja die Oberfläche gegeben also:


Man möchte jetzt also das größtmögliche Volumen berechnen:


und jetzt einfach nach auflösen und in die erste gleichung einsetzen und auflösen bis man zur zielgleichung kommt? und wie dann weiter???
das verwirrt mich alles etwas...
danke für deine Hilfe Arthur Dent!
Done Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich komme jetzt nicht ganz mit deiner Schreibweise bzw. Formel des Oberflächeninhalts zurecht.
Aber generell meinte Arthur sofern ich das richtig verstanden habe folgendes:

Du nimmst die beiden Formeln für den Oberflächeninhalt und das Volumen.
Löst das Volumen nach einer Variable auf, die du dann in den Oberflächeninhalt einsetzt (=eleminieren)

Dann hast du eine Formel mit nur noch einer Variable.
Und diese Formel leistest du dann nach der Variable ab und setzt sie gleich 0. Und dann musst du dir nur noch überlegen ob du das Maximum oder Minimum braust!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wir sind ja jetzt bei einer Aufgabe, wo die Rollen von Volumen und Oberflächeninhalte im Vergleich zur ersten Aufgabe genau vertauscht sind:

Zitat:
Original von dekeks
Welche zylindrische Dose mit dem Oberflächeninhalt 1dm² hat das größte Volumen?

Man hat ja die Oberfläche gegeben also:


Man möchte jetzt also das größtmögliche Volumen berechnen:


und jetzt einfach nach auflösen und in die erste gleichung einsetzen und auflösen bis man zur zielgleichung kommt?

Nein: Diesmal die Gleichung für den gegebenen Oberflächeninhalt



nach auflösen und in die Formel des zu maximierenden Volumens einsetzen!

Gleicher geometrischer Sachverhalt wie in der ersten Aufgabe, aber eben vertauschte Rollen Zielgröße/Nebenbedingungsgröße!
dekeks Auf diesen Beitrag antworten »

ah verstehe vielen danke jetzt bin ich schon weiter! jetzt bleibt nur noch ein problem... wir haben zwar gelernt wie man ableitungen bildet z.b dass zu wird solche sachen aber wenn ich dann eine zielfunktion habe, die ja in der Regel ziemlich kompliziert aussieht je nachdem welche Größe man ausrechnen will, weiß ich nicht wie man von dieser komplizierten Zielfunktion dann die Ableitung bildet! solche schwierigen Ableitungen mit Bruchstrichen und anderen variablen als hatten wir noch nicht! kann jemand das kurz erklären? z.b. wenn man die vorherige aufgabe weiterechnet wie arthur es jetzt erklärt hat, dann komme ich auf

könnt ihr mal nachguggen ob das soweit stimmt? wie kann ich davon die ableitung bilden? sry wenn ich soviel fragen muss aber ich schieb das in dem fall wirklich nicht auf die lehrerin, die ist wirklich nicht gerade toll und erklärt nie sowas =(
ich geb dann ruhe Big Laugh
 
 
Vieta Auf diesen Beitrag antworten »

gehört zwar nicht zum topic, ist aber trotzdem ganz interessant für dich ...
Beispielsammlung Extremwertaufgaben
dekeks Auf diesen Beitrag antworten »

danke vieta ist ganz nützlich aber noch viel zu hoch für mich wir hatten ja grade mal das mit der dose und nicht mal das wurde uns erklärt... unsere mathelehrerin schreibt immer nur das ergebnis raus und sagt dann: rechnets mal aus xD so 95% der klasse haben dann keine ahnung wie aber wenn wir fragen ob wir das nochmal besprechen können sagt sie fast immer: nee das möchte ich jetzt eigentlich nicht -.- naja... muss jetzt langsam ins bett werde wohl morgen bei der extremalaufgabe versagen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dekeks


In Latex gibt es auch statt pi das Zeichen .
Dann stellt sich die Frage, wie du nach h umgestellt hattest.
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