Gerade/Ebene Lot fällen!?

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Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade/Ebene Lot fällen!?
Hi,

hab grad eine Aufgabe gerechnet und glaub, die ist falsch.

Hier mal die Aufgabenstellung:

g ist die Gerade durch P (9,5,4) und Q(2,1,0) sowie e die Ebene zu
2x - 2y +z=6

a) Ermitteln Sie Länge und Lotfußpunkt des vom Ursprung auf die Ebene e gefällten Lotes

Ich hab dann die Gerade g: = + s

Dann hab ich g in e eingesetzt und hatte für s= 0,6 raus. Danach hab ich dann s in g eingesetzt und hatte den Fußpunkt F(4,8; 2,6; 1,6).
Die Länge von e nach F hab ich mit der Abstandsformel ausgerechnet und raus kam d=2!

Aber ich hab ja jetzt nicht das Lot vom Ursprung auf die Ebene gefällt, sondern von der Gerade auf die Ebene! Wie mach ich das denn nun von der Gerade auf die Ebene?

Die Aufgabe b) lautet nämlich: Ermitteln Sie Schnittpunkt und Größe des Schnittwinkels zwischen g und e! da ist mir dann aufgefallen, dass der Schnittpunkt von g und e ja der Fußpunkt ist, den ich bei a) ausgerechnet hab, also muss a) falsch sein...

Wär super, wenn mir da jemand helfen könnte!

Danke schonmal!
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

was hat denn die gerade in aufgabe a) zu suchen?
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

"des vom Ursprung auf die Ebene e gefällten Lotes"
-->du hast den normalenvektor und aus den angaben kannst du dir den stützvektor herausnehmen...

stelle eine gerade auf...wie lautet da der richtungsvektor?
schneide die gerade dann mit der ebene...usw.
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Was für einen Stützvektor?

Das ist für mich irgendwie jetzt nicht verständlich, da mir der Ablauf überhaupt nicht klar ist...

Was für eine Gerade soll ich aufstellen? Das hab ich doch bereits getan und g in e hab ich auch schon eingesetzt, womit ich den Schnittpunkt von g und e schon hab! Versteh ich net, tut mir leid^^
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

die gegebene gerade g brauchst du für aufg a) NICHT! die wird erst in aufg b) verwendet!

Du sollst ein lot von der ebene in den nullpunkt fällen, also eine gerade finden, die senkrecht auf E steht und durch 0 geht. senkrecht zu E ist hier relativ einfach, da du aus der gegebenen koordinatenform von E ganz leicht einen NORMALENVEKTOR erkennst! Nämlich: ...
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Der Normalenvektor ist (2,-2,1)

Dass ich die Gerade erst für Aufgabe b) brauche, habe ich bei meiner Rechnung der Aufgabe a) schon gemerkt, da sie falsch war.

Und was ich bei b) machen soll, ist mir auch klar, ich weiß nur nicht wie...

Hat das irgendwas mit dem Normalenvektor zu tun?

Welche Gerade steht denn senkrecht zu e, also woher weiß man das? Steht der Normalenvektor immer senkrecht zu e?
 
 
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch s=0.6 herausbekommen. was kannst du denn damit jetzt anfangen (stichwort: einsetzen!)
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nein. Du meintest doch, ich darf bei a) nicht die Gerade benutzen!

Und das hab ich getan, um s=0,6 zu bekommen. Also darf ich s doch garnicht nehmen, um das in irgendwas einzusetzen!
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

ja du darfst bei a) nicht die gearde nehmen, aber um den schnittpunkt zu berechnen musst du E=g setzen
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

also, du hast

E: 2x - 2y + z = 6

gegeben, das ist eine Koordinatendarstellung, aus der du aber ganz leicht die normalenform erkennst.

und du hast eine gerade gegebene durch zwei punkte, aus denen du mit zweipunkteformel deine gerade g erhältst (als eine mögliche darstellung!)

a) gerade war nicht zu gebrauchen

b) hier ist das zu machen, was du zunächst für a) hattest verwenden wollen!!

@ marci: gleichsetzen wird schwer aufgrund der gegebenen darstellung von E, einsetzen triffts eher...
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

@zeta du hast recht=)
ja, umso einfacher ist es jetzt
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass ich g und e gleichsetzen muss, um debn Schnittpunkt rauszubekommen, das weiß ich. Ich könnte aber genausogut g in e einsetzen und hab dann auch den Schnittpunkt. Aber die Aufgabe b) hab ich auch schon fertig, hatte ja nur eine Frage zu der a).

Die Nornalenform kann ich auch ganz einfach rauskriegen und die Gerade hab ich in meinem ersten Beitrag auch schon aufgestellt: : = + s

Ich will doch nur wissen, wie man das Lot vom Ursprung aus fällt traurig

Ansonsten versteh ich das ja aber ich weiß einfach nicht wie ich das Lot vom Ursprung fälle!

Jetzt bin ich verwirrt.

Ähmm...moment mal...


wegen der Normalenform...

Die lautet ja x * n = x1 *n, wobei *=Skalar

n ist (2, -2, 1) aber was ist x1? Hab ja die Parameterform der Ebene nicht gegeben und normalerweise würde ich da ja nun den Ortsvektor einsetzen.
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

also irgendwie überblicke ich nicht mehr so ganz, was du als welche aufgabe bezeichnest und was du wovon schon gelöst hast?

Klär mich auf (über die Aufgabe Augenzwinkern )

a) ? b)? was hast du schon, was willst du noch?
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

*grins* Tut mir leid.

Also, b) kannst du erstmal ganz schnell vergessen. die wollte ich eigentlich nie haben, da hab ich nämlich nur mit festgestellt, dass a) falsch ist :-))

Soo, jetzt zu dem, was ich wissen möchte.

Ich schreib einfach nochmal die Aufgabe auf Augenzwinkern

g ist die Gerade durch P(9,5,4) und Q(2,1,0) sowie e die Ebene zu 2x-2y+z=6

a) Ermitteln Sie Länge und Lotfußpunkt des vom Ursprung auf die Ebene e gefällten Lotes

Von einer Gerade kann ich ein Lot auf die Ebene fällen aber nicht vom Ursprung aus!
der Normalenvektor der Ebene ist (2, -2, 1)

Die Gerade hab ich auch schon aufgestellt aber die brauch ich für a) ja nicht Augenzwinkern

Die Länge kann ich ja ganz einfach ausrechnen, wenn ich den Lotfußpunkt hab...aber wie krieg ich den?
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

also, du hast einen ortsvektor (Nullpunkt) und einen Richtungsvektor (Normalenvektor der EWbene), da hast du doch schon eine prima gerade, die senkrecht zur Ebene steht und durch 0 geht. und wo schneidet die die ebene E? das verfahren hast du ja schon gezeigt, nur mit der falschen geraden! Augenzwinkern
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Ahaaa.

Ist das immer so, dass der Normalenvektor senkrecht zur Ebene steht?

Dann lautet die Gerade:
g: = + k *

Eigentlich recht einfach, wusste nur nicht, dass der Normalenvektor senkrecht zur Ebene steht Big Laugh

Jetzt setz ich die Gerade in e ein:

2(2k) - 2(-2k) +k =6

<=> 9k=6
<=> k=2/3

Dann setz ich k in g ein und erhalte den Punkt:

F(4/3, -4/3, 2/3)

Die Länge des Lotes ist dann der Abstand von F nach e.

Also ist der Abstand 2 LE.

Mhm...ist irgendwie lustig...als ich den Abstand mit der falschen Gerade (der aus Aufgabe b) berechnet hab, kam auch 2 raus.

Ist das so richtig?
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das immer so, dass der Normalenvektor senkrecht zur Ebene steht?

JAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA!!!!
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

OHHHH...ich glaub, ich muss mich jetzt schämen Hammer

Ist doch schon so lange her *ähm*

Stimmt der Rest denn auch?
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rechnung ist falsch...der Abstand kann nicht d=2 sein.

Hab die falsche Abstandsformel genommen unglücklich

Man muss ja für den Abstand Punkt-Ebene folgende Formel nehmen:

d= ° ( -

Aber was bedeutet ° ? Hab das Zeichen noch nie gesehen. Heißt das etwas Normalenvektor geteilt durch Länge des Normalenvektors?
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

das ist der normaleneinheitsvektor

und die form für die ebene heiß Hessesche Normalenform=)
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab gelesen, dass man den Normaleneinheitsvektor durch das Kreuzprodukt herausfindet aber das hatten wir noch nicht. Geht das auch anders?
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