Galois, abelsche Galoisgruppe

05.02.2006, 22:22

JochenX

Galois, abelsche Galoisgruppe

Hallo, ehrlich gesagt ist mir kein passenderer Name eingefallen.
Ich sitz jetzt seid einiger Zeit an meinen Aufgäbelchen und irgendwie ist mir die "Lösung", die mir jetzt gerade eingefallen ist, zu einfach und ich denke falsch.

Erstmal die Aufgabe:

Zitat:

Aufgabe
Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray*} f \in K[X] \end{eqnarray*}$ irreduzibel und separabel. Sei L der Zerfällungskörper von f.
Zeigen Sie: Ist Gal(L|K) abelsch, so ist $\begin{eqnarray*} |Gal(L|K)|=deg(f) \end{eqnarray*}$ .
Schließen Sie, dass in diesem Fall L=K(a), wobei a eine beliebige Nullstelle von f sei.

Soweit so gut, der letzte Teil ist klar, wenn ich den vorderen habe, so mein erster Gedanke.

Aber irgendwie habe ich das Gefühl, man könne das ganze andersherum angehen.
Dazu: sei a1 eine beliebige Nullstelle in f (ist natürlich OE normiert, deg(f)=:n)
$\begin{eqnarray*} f(X)=(X-a_1) \prod_{i=2}^{n}~(X-a_i), \ \ a_i \in L \ \ \forall i \in \{1,....,n\}\ \end{eqnarray*}$
Annahme: $\begin{eqnarray*} L \not= K(a_1) => \OE \ a_2, a_3 \notin K(a_1) \end{eqnarray*}$
(eine einzige Nullstelle nicht in K(a1) geht natürlich nicht, da dann das Produkt aller Nullstellen, dass den konstanten Koeffizienten in f liefert, nicht in K(a1), also insb. nicht in K liegen kann)
$\begin{eqnarray*} f(X)=(X-a_1)(X-a_2)(X-a_3) \prod_{i=4}^{n}~(X-a_i) \end{eqnarray*}$

Nun bastle ich mir einfach einen Widerspruch zu der Kommutativität der Galoisgruppe:
Es gilt ja, dass der Grad der Körpererweiterung L|K ([L:K]) gleich der Kardinalität der Galoisgruppe Gal(L|K) ist; insbesondere sehe ich dass so, dass ich die Identität auf K zunächst durch Angabe eines Bildes von a1 auf K(a1) fortsetze, dabei bekomme ich zunächst für jede Nullstelle von f in L einen Homomorphismus.
Wären dann z.b. tatsächlich nur $\begin{eqnarray*} a_2, a_3 \notin K(a_1) \end{eqnarray*}$ , dann könnte ich jeden dieser Homomorphismen dann auf L weiter fortsetzen, wobei dann eben a2 gerade noch 2 mögliche Bilder hätte (die vermutlich von der Wahl vom Bild von a1 abhängen?), so dass insgesamt 2n mögliche K-Automorphismen entstehen würden (passend zu $\begin{eqnarray*} [K(a_1):K]=n, [K(a_1)(a_2):K(a_1)]=2 \end{eqnarray*}$ ).

Dann definiere ich mir folgende Automorphismen(fragmente):
$\begin{eqnarray*} \sigma_1(a_1)=a_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma_2(a_1)=a_1 \end{eqnarray*}$ , also die Identität auf K(a1), ergo kann ich diese Abbildung doch auffassen als eine Fortsetzung der Identität von K(a1) nach L, insbesondere habe ich also für a2 genau die Nullstellen des MinimalPolynoms von a2 in K(a1) als mögliche Bilder, also z.b. $\begin{eqnarray*} \sigma_2(a_2)=a_3 \end{eqnarray*}$

dann gilt aber: $\begin{eqnarray*} \sigma_1(\sigma_2(a_1))=\sigma_1(a_1)=a_2 \not= a_3=\sigma_2(a_2)=\sigma_2(\sigma_1(a_1)) \end{eqnarray*}$

Widerspruch zur Kommutativität der Galoisgruppe.

Daraus folgt dann widerum $\begin{eqnarray*} L=K(a_1) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} [L:K]=n=|Gal(L|K)| \end{eqnarray*}$

Einwände? Wo liegt des Pudels Kern begraben?
Vielleicht mag auch jemand was zu der kursiven Klammer oben sagen smile

Danke und Gruß
Jochen

06.02.2006, 14:43

JochenX

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Zitat:

kursive klammer:
wobei dann eben a2 gerade noch 2 mögliche Bilder hätte (die vermutlich von der Wahl vom Bild von a1 abhängen?)

Ich glaube, ich habe mich da immer verdacht, vielleicht kann mich wer zumindest in dieser Frage mal korrigieren, bzw. bestätigen.

Die möglichen Bilder von a2 ergeben sich i.A. ja NICHT zu Nullstellen meines Ausgangspolynoms f.
Ich bestimme sie doch prinzipiell so:

$\begin{eqnarray*} f(X)=\prod_{i=1}^{n}~(X-a_i) \end{eqnarray*}$ sei wieder Min.Pol. von a1 über K.
Jetzt wähle ich einen Homomorphimus $\begin{eqnarray*} \tau: K -> L \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tau|_K=id_K, \tau(a_1)=a_i \end{eqnarray*}$ (ai beliebige NST von f), also ich erweitere die Identität von K auf K(a1).
Jetzt verbleibe eine Nullstelle a2, die nicht in K(a1) liegt, dann gilt doch:
$\begin{eqnarray*} g(X)=\prod_{i=1, a_i \notin K(a_1)}^{n}~(X-a_i) \end{eqnarray*}$ ist neues Minimalpolynom von a2 über K(a1) !? [ich nehme alle Linearfaktoren mit Nullstellen in K(a1) raus]
Stimmt das soweit?

Und als mögliche Bilder von a2 hätte ich dann alle NST von $\begin{eqnarray*} g^{\tau} \end{eqnarray*}$ , also dem koeffizientenweise über $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ abgebildeten Bild von g in L[X].....
Da i.A. $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ aber auf K(a1) nicht die Identität ist, haben die Nullstellen von diesem Bild des Min.Pol. i.A. nix mit den NSt von f zu tun!?

mfg Jochen

07.02.2006, 22:53

Abakus

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RE: Galois, abelsche Galoisgruppe
Ich steige bei der Einführung von $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ bereits aus dem Beweis aus. $\begin{eqnarray*} x^2 + 1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist ja bereits ein irreduzibles Polynom mit nur 2 Wurzeln.

Ich schreib dir mal meine Beweisidee auf:

Seien $\begin{eqnarray*} a_1, ..., a_n \end{eqnarray*}$ die paarweise verschiedenen Wurzeln von f (da f separabel ist, gibt es nur einfache Wurzeln). Da die Galoisgruppe mindestens 1-fach-transitiv auf den Wurzeln von f (irreduzibel) operiert, gibt es Automorphismen $\begin{eqnarray*} \sigma_1, ..., \sigma_n \in G(L:K)~mit~ \sigma_i(a_1) = a_i~ (i=1...n) \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} \sigma \in G(L:K) \end{eqnarray*}$ . Da Wurzeln von f durch die Elemente von $\begin{eqnarray*} G(L:K) \end{eqnarray*}$ wieder auf Wurzeln von f abgebildet werden, existiert ein j mit $\begin{eqnarray*} \sigma(a_1) = a_j \end{eqnarray*}$ .

Wegen der Kommutativität gilt nun insbesondere:
$\begin{eqnarray*} a_1 = \sigma_j^{-1}(a_j) = \sigma_j^{-1}(\sigma(a_1)) = \sigma(\sigma_j^{-1}(a_1)) \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt für eine beliebige Wurzel $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sigma(\sigma_j^{-1}(a_i)) = \sigma(\sigma_j^{-1}(\sigma_i(a_1))) = \sigma_i(\sigma(\sigma_j^{-1}(a_1))) = \sigma_i(a_1) = a_i \end{eqnarray*}$ .

Demnach $\begin{eqnarray*} \sigma = \sigma_j \end{eqnarray*}$ , d.h. außer den n=deg(f) obigen Automorphismen von $\begin{eqnarray*} G(L:K) \end{eqnarray*}$ gibt es keine weiteren. Das war zu zeigen.

Da f bis auf Normierung das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ist, folgt noch $\begin{eqnarray*} L = K(a_1) \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

07.02.2006, 23:54

JochenX

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RE: Galois, abelsche Galoisgruppe

Zitat:

Original von Abakus
Ich steige bei der Einführung von $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ bereits aus dem Beweis aus. $\begin{eqnarray*} x^2 + 1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist ja bereits ein irreduzibles Polynom mit nur 2 Wurzeln.

Ja, da habe ich geschludert, in meiner Lösung fürs Blatt habe ich noch den Teil "OE Grad(f)>2" hinzugefügt, für grad(f)=2, bzw. im Extremfall sogar 1, ist der Beweis nämlich ein Einzeiler.....
aber du hast vollkommen recht...

Zitat:

Ich schreib dir mal meine Beweisidee auf:

Und ich lese und denke sie durch.....

Wenn ich ganz ehrlich bin, bin ich nicht mal auf diese Idee gekommen, einfach einen beliebigen K-Automorphismus zu nehmen und zu zeigen, dass er dann einer der n Automorphismen sein muss..... direkt und raffiniert.
Dein Beweis ist gut nachvollziehbar, gefällt mir.....

letzte Frage:

Zitat:

Da f bis auf Normierung das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ist, folgt noch $\begin{eqnarray*} L = K(a_1) \end{eqnarray*}$ .

Wieso folgt das jetzt direkt!?
Ich meine es ist klar, dass, würde f nicht sofort über K(a1) zerfallen, dass es dann zu den obigen n stück, jeweils mindestens zwei Fortsetzungen in den Zerfällungskörper geben müsste (analog meiner weiteren Ausführung oben), oder siehst du das hier noch aus einem anderen Grund sofort?

Danke und Gruß, smile

Jochen

PS: achja, nächsten Montag kann ich dir noch sagen, wie die Bewertung meines (im Gegensatz zu deinem direkt mit der Kommutativität als Beweis mit Widerspruch geführten) Beweises ausgefallen ist, von dem ich inzwischen aber (eigentlich verwirrt

) auch relativ überzeugt bin......
PS2: Und schön, dass sich doch jemand hier im Board für Algebra interessiert, die meisten, die ich kenne, schreckt das eher ab Wink

Ich hab schon weiche Knie im gedanken an AlgebraII, aber das wird OT *hehe*

08.02.2006, 01:29

Abakus

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RE: Galois, abelsche Galoisgruppe

Zitat:

Da f bis auf Normierung das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ist, folgt noch $\begin{eqnarray*} L = K(a_1) \end{eqnarray*}$ .

Wieso folgt das jetzt direkt!?

Ich meine es ist klar, dass, würde f nicht sofort über K(a1) zerfallen, dass es dann zu den obigen n stück, jeweils mindestens zwei Fortsetzungen in den Zerfällungskörper geben müsste (analog meiner weiteren Ausführung oben), oder siehst du das hier noch aus einem anderen Grund sofort?

Das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ teilt f, denn f hat die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(a_1) = 0 \end{eqnarray*}$ und das Minimalpolynom teilt jedes solche Polynom. Da f irreduzibel ist, (und hier o.E. normiert sei), muss f das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ sein.

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} deg(f) = [K(a_1):K] \end{eqnarray*}$ (das ist ein Satz). Es folgt $\begin{eqnarray*} L = K(a_1),~denn~ [L:K] = deg(f) \end{eqnarray*}$ haben wir ja bereits gezeigt.

Grüße Abakus smile

PS: Ja, Algebra hat was. Wink

08.02.2006, 01:36

JochenX

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RE: Galois, abelsche Galoisgruppe

Zitat:

Original von Abakus
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} deg(f) = [K(a_1):K] \end{eqnarray*}$ (das ist ein Satz). Es folgt $\begin{eqnarray*} L = K(a_1),~denn~ [L:K] = deg(f) \end{eqnarray*}$ haben wir ja bereits gezeigt.

Achsoja, das folgt ja z.B. genau aus $\begin{eqnarray*} [L:K]=|Gal(L:K)| \end{eqnarray*}$ , also doch eigentlich wie oben bei mir.

Dann sage ich jetzt ganz höflich "Dankeschön", *Knicksmach*, und vielleicht kann ich dir ja auch irgendwann mal helfen, um mich zu revanchieren.....

Achja, ein allgemeines Danke für deine Hilfe im Board kann ich dir hier aus Orga-Sicht auch mal zukommen lassen.
Weiter so! Freude

mfg, gute Nacht, vielen Dank, hasta la vista, usf
Jochen

03.03.2006, 19:26

JochenX

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Achja, wenns dich noch interessiert, Abakus:

Ich habe gerade mein Übungsblatt abgeholt und es wurde wie ich es im ersten Post geschrieben habe auch abgenickt ("Schöne Idee").

Gruß, Jochen

03.03.2006, 20:32

Abakus

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OK; ja, ist interessant das zu erfahren noch.

Grüße Abakus smile

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