punkt im kartesischen koordinatensystem drehen/rotieren

27.05.2008, 17:32

Kooli

punkt im kartesischen koordinatensystem drehen/rotieren

Hallo ich habe eine frage zum drehen bzw rotieren eines Punktes im 3 dimensionalen koordinaten system um eine achse.

Wenn ich einen punkt p1 (0|1|1) um 90° um die y-achse (bzw x3-achse) drehen will, bekomme ich dann den Punkt P2 (-1|0|1) oder P3 (1|0|1)?

ich hoffe ihr könnt mir helfen.

mfg
thomas

27.05.2008, 19:56

Leopold

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Deine Angaben sind nicht eindeutig. "Drehung um 90°" ist zu wenig. Du mußt die Orientierung des Winkels festlegen.

Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{e}_1 , \vec{e}_2 , \vec{e}_3 \end{eqnarray*}$ die kanonischen Einheitsvektoren sind, dann gibt es ein Drehung $\begin{eqnarray*} \delta_1 \end{eqnarray*}$ um die $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ -Achse mit 90°, bei der gilt:

$\begin{eqnarray*} \delta_1: \ \ \vec{e_1} \mapsto \vec{e}_2 \, , \ \ \vec{e}_2 \mapsto - \vec{e}_1 \, , \ \ \vec{e}_3 \mapsto \vec{e}_3 \end{eqnarray*}$

Sie hat die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} D_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , und es gilt: $\begin{eqnarray*} D_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man kann aber auch anders herum drehen. Für diese Drehung $\begin{eqnarray*} \delta_2 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \delta_2: \ \ \vec{e_1} \mapsto - \vec{e}_2 \, , \ \ \vec{e}_2 \mapsto \vec{e}_1 \, , \ \ \vec{e}_3 \mapsto \vec{e}_3 \end{eqnarray*}$

Hier ist $\begin{eqnarray*} D_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Abbildungsmatrix, und es gilt: $\begin{eqnarray*} D_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.05.2008, 20:42

Kooli

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Müsste ich vielleicht erwähnen, dass es sich um ein rechtshändiges kartesisches Koordinatensystem handelt?

Ich habe irgendwie im Hinterkopf, dass man bei einem positiven Winkel gegen den Uhrzeigersinn dreht. Ich weiß jetzt aber nicht, ob das nur im zweidimensionalen Raum der Fall ist.

28.05.2008, 11:14

Kooli

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Ich denke ich bin nun selbst fündig geworden:

Zitat:

Diese Matrizen gelten sowohl für Rechts- als auch für Linkssysteme. Drehungen mit positiven Drehwinkeln sind im Rechtssystem Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn. Im Linkssystem wird bei positiven Winkeln mit dem Uhrzeigersinn gedreht. Der Drehsinn ergibt sich, wenn man entgegen der positiven Drehachse auf den Ursprung sieht. In Rechtssystemen kann auch eine rechte-Hand-Regel angewandt werden: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung der Drehachse, so geben die gebeugten restlichen Finger die Richtung des Drehwinkels an.

Das würde dann bedeuten, dass aus P1 der Punkt P2 wird, oder?

Vielen Dank Leopold!

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