Abstand Punkt-Ebene |
| 30.04.2004, 11:45 | CH1302 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Abstand Punkt-Ebene ich habe die ebene e: (1/1/-1) * (x-(0/0/-9)) und den punkt (3/4/5) ich habe mit einem etwas komplizierten verfahren den abstand ausgerechnet, er beträgt ca. 4,041. ich muss den abstand doch aber auch ganz leicht bestimmen können, wenn ich das mit dem einheitsvektor mache. der einheitsvektor von (1/1/-1) müsste ja 1/wurzel 3 mal (1/1/-1) sein. wenn ich jetzt für x den punkt (3/4/5) einsetze und das ausmultipliziere, erhalte ich allerdigs -4,041. kann mir jemand erklären, warum ich ein negatives ergebnis bekommen? vom betrag her kommt es sonst ja hin, und das verfahren ist eigentlich sehr schnell. vielen danke schonmal für die hilfe |
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| 30.04.2004, 11:52 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Abstand Punkt-Ebene kennst du die hessesche Normalform??? Dann geht es wirklich ganz einfach hehe |
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| 30.04.2004, 13:28 | CH1302 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja, die kenn ích..........nur da es so bis auf das vorzeichen auch hinkommt, würde mich halt nur interessieren, WIESO das vorzeichen anders ist und ob das verfahren dann überhaupt so zulässig ist. bei manchen anderen rechnungen kommt es mit dem vorzeichen nämlich auch hin, deswegen dachte ich vielleicht es hätte es etwas mit der lage vom punkt und der ebene zu tun, ich weiß es aber nicht genau. |
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| 30.04.2004, 13:45 | nikodemus | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Abstand Punkt-Ebene ist das überhaupt eine ebene, die du da als angabe hast? sieht eher aus wie eine Gerade in Parameterform... der richtungsvektor (0/0/-9) der geraden ist gleichzeitig der normalvektor einer ebene. Bilde mit dem Vektor und dem punkt, den du gegeben hast die ebenengleichung, schneide die ebene und die gerade und berechne den abstand zwischen dem so erhaltenen schnittpunkt und dem punkt, der gegeben ist. VIEL ERFOLG mfg, Lukas |
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| 30.04.2004, 13:56 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
| NF und HNF, Bedeutung des Vorzeichens Eine Ebene E zerlegt den dreidimensionalen Raum in 3 Teile: erstens die Ebene selbst und zweitens zwei sogenannte Halbräume. Wenn du nun die Normalform(=Koordinatenform) einer Ebene hast - es braucht nicht die Hessesche Normalform zu sein: E: a·x+b·y+c·z+d = 0 , so kannst du durch Einsetzen links (ich nenne die linke Seite einmal NF(x,y,z)) herausfinden, ob ein Punkt P(x|y|z) auf E liegt: Gilt nämlich NF(x,y,z) = 0, so liegt P auf der Ebene, ansonsten nicht. Ist nun NF(x,y,z) ungleich 0, so ist klar, daß der Punkt P nicht in E liegt. Punkte im selben Halbraum haben aber dasselbe Vorzeichen. Beispiel: E: 2x-3y+4z-8 = 0 (also NF(x,y,z)=2x-3y+4z - 8 ) O(0|0|0), P(-1|2|3), Q(0|0|2), R(1|-1|1), S(1|-3|0), T(11|12|13) NF(0,0,0) = -8 NEGATIV! NF(-1,2,3) = -4 NEGATIV! NF(0,0,2) = 0 NULL! NF(1,-1,1) = 1 POSITIV! NF(1,-3,0) = 3 POSITIV! NF(11,12,13) = 30 POSITIV! Also gilt: Q liegt in E, die anderen nicht; O,P liegen im selben Halbraum, R,S,T im anderen Halbraum. Wenn du zusätzlich die Hessesche Normalform hast (HNF(x,y,z)), dann kannst du noch mehr sagen, nämlich, daß der Betrag des sich ergebenden Wertes der Abstand des Punktes von der Ebene ist: |HNF(x,y,z)| = d(P,E), wobei P die Koordinaten (x|y|z) hat. |
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| 30.04.2004, 14:23 | CH1302 | Auf diesen Beitrag antworten » |
@nikodemus: klar ist das ne ebene, ausmultipliziert kommst Du ja zu der normalenform: x1+x2-x3-9=0. das verfahren, was Du beschrieben hast, habe ich auch schon probiert, da kriegt man wie gesagt bis auf das vorzeichen das gleiche ergebnis. @leopold: danke für die ausführliche beschreibung, wie ich herausbekommen, ob ein punkt IN der ebene liegt, wusste ich aber schon. |
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| 30.04.2004, 21:09 | Sunshine | Auf diesen Beitrag antworten » |
kann man nicht einfach mit betragstrichen arbeiten... wäre mein vorschlag!!! |
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| 01.05.2004, 20:11 | CH1302 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja, habe ich auch gedacht......außerdem glaube ich, ich habe hier irgendwo im forum mal bezüglich des abstandes von zwei ebenen gelesen, dass das ergebnis eventuell in betragstriche muss.....ich hoffe mal das ist richtig....... 
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| 07.06.2004, 19:51 | Carl | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das stimmt. Die Hesse'sche Normalenform wird in Betragstriche gesetzt. Wenn du also eine negative Zahl heraus bekommst (das ist nämlich genau -7/3 = -4,04145... ist) machen die Betragsstriche die Zahl positiv. Damit stimmt dein Ergebnis. Ich habe es gerade selber nachgerechnet. Gruß Carl Mathe Leistungskurs, 12. Jhg. |
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| 23.04.2007, 17:20 | vaziri-elahni | Auf diesen Beitrag antworten » |
| abstand punkt ebene trotzdem ändert sich aber nichts daran, dass in der hesseschen normalenform mit dem punkt als ortsvektor, trotz der betragsstriche das negative vorzeichen eine bedeutung hat: um den abstand D von der ebene E zu berechnen bringt man zunächst die gleichung von E auf die hessesche normalenform. dann setzt man für den allgemeinen ortsvektor x den ortsvektor des punktes p ein und berechnet den wert von n*p-d. der betrag des wertes ist der gesuchte abstand. ist der wert positiv, so liegen P und der Ursprung auf verschiedenen Seiten der Ebene andernfalls auf der selben seite. Dies ist dadurch bedingt, dass eine ebene 2 normalenvektoren hat, die kollinear sind und sich nur durch einen negativen faktor unterscheiden, in der hesseschen normalenform der faktor -1. |
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