auf Kreis

09.02.2006, 11:56

MrPSI

Wahrscheinlichkeit-Punkt in/ausserhalb/auf Kreis

Hi.

Ich hab mich mal mit der Stochastik auseinandergesetzt und schon ne Frage.

Aufgabe: In einem Quadrat von 1m Seitenlänge ist ein Zielkreis eingeschrieben. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei zufälligem Markieren eines Punktes im Quadrat einen Punkt zu wählen, der a) innerhalb b) ausserhalb des Kreises liegt.

Da man die Anzahl aller Punkte bzw. der Punkte ausserhalb/innerhalb des Kreises nicht berechnen kann, nimmt man halt die Fläche als Stellvertreter und dabei kommt mir bei a) 0,785 und b) 0,215 raus, was nach Lösungsbuch stimmt.

Probleme bereitet mir die Zusatzaufgabe: die Wahrscheinlichkeit für einen markierten Punkt auf der Kreislinie soll errechnet werden.

Ich bin nach dem gleichen Schema vorgegangen wie bei der vorigen Aufgabe: ich hab als Stellvertreter für die Anzahl der Punkte auf der Kreislinie den Kreisumfang genommen.
Also: $\begin{eqnarray*} P(P_{Kreis})=\frac{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \pi}{1}=\pi \end{eqnarray*}$
Und eine Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ kann ja nicht sein, da eine Wahrscheinlichkeit nicht grösser als 1 sein kann.

Wo hab ich Fehler gemacht?
Danke an alle Helfer.

09.02.2006, 13:56

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeit-Punkt in/ausserhalb/auf Kreis
Ohne mir da jetzt vollkommen sicher zu sein, müsste die Wahrscheinlichkeit die Kreislinie zu treffen 0 sein. Denn eine Linie ist doch nix weiter als ein "Strich mit der Stärke 0", also bilden die Punktmenge der Kreislinie nach meinem Verständniss eine Nullmenge bzgl. der des Rechtecks.

09.02.2006, 15:11

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist schon richtig

mrpsi denkfehler liegt hier daran, dass du ja ein verhältnis "fläche, die die punktmenge einnimmt/gesamtfläche" bestimmen musst....
und fläche der punkte auf dem kreisumfang =0

das ist übrigens eine gute methode, pi mit dem rechner zu approximieren; punkte zählen Augenzwinkern

09.02.2006, 17:38

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

@DualSpace:
heisst das, der Kreisumfang enthält gar keine Punkte? Aber dann müsste man sich die Kreisdefinition nochmal überdenken.

Was das Thema Fläche angeht, man könnte eine Linie ja auch als eindimensionale Fläche darstellen, oder eine Fläche als 2-dimensionale Linie.
(oh man, jetzt bin ich ja schonn in der Masstheorie Big Laugh

).

Mir fällt die Vorstellung schwer, dass es unmöglich ist, die Kreislinie zu treffen(Wahrscheinlichkeit ist ja 0, also per Definition unmöglich), weil eine Kreislinie ja doch Punkte enthält.

Man könnte sich aber auch mit dem Kompromiss zufrieden geben, dass es extrem unwahrscheinlich ist, also $\begin{eqnarray*} \lim_{P(P_{Kreis}) \to 0} P(P_{Kreis})=0 \end{eqnarray*}$ , aufgrund der geringen Punktmenge, aber nicht unmöglich.
Könnte man das so gelten lassen?

09.02.2006, 18:00

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, das ist ein problem, da sollte arthur vielleicht noch was zu sagen. Wink

die wahrscheinlichkeit einen einzigen punkt zu treffen ist anschaulich gesehen doch eigentlich auch nicht 0 - in wirklichkeit ist sie es aber.
und der kreisradius hat nun mal keinerlei fläche, die man treffen könnte.
das könnte man hier erst mal so deuten, dass du den abstand deines getroffenen punktes zum ursprung in ein Intervall [0,...] einträgt, die Wahrscheinlichkeit hier GENAU die zahl 1 zu treffen, ist einfach 0 (um das ganze zu übertragen)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{P(P_{Kreis}) \to 0} P(P_{Kreis})=0 \end{eqnarray*}$

was du damit sagen willst, kann ich nicht nachvollziehen

natürlich ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a}~x=a \end{eqnarray*}$ , und mehr sagst du da nicht aus

09.02.2006, 18:25

Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu brauchst du nicht mich, Jochen. "Unmöglich" und "unwahrscheinlich" sind eben zwei verschiedene Dinge. Oder mathematischer formuliert:

$\begin{eqnarray*} A=\emptyset \quad\Longrightarrow\quad P(A)=0 \end{eqnarray*}$

ist richtig, die Umkehrung nicht - ein Beispiel dafür haben wir gerade gesehen.

09.02.2006, 18:28

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur besseren Vorstellung hilft vielleicht auch das Bild. Für den roten Kreisring $\begin{eqnarray*} R_{\delta} \end{eqnarray*}$ der Dicke $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<\delta<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} P(R_{\delta}) = \pi \delta (1-\delta) \end{eqnarray*}$

Und hierin jetzt den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} \delta \to 0 \end{eqnarray*}$ vornehmen.

09.02.2006, 18:32

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

mit dem Limes wollte ich eigentlich nur ausdrücken, dass die Wahrscheinlichkeit sehr gering ist.

Zitat:

die Wahrscheinlichkeit hier GENAU die zahl 1 zu treffen, ist einfach 0

das lässt sich aber auch auf alle Zahlen verallgemeinern, denn 1 ist genauso eine Zahl wie jede andere auch.
Die Wahrscheinlichkeit jede Zahl GENAU zu treffen ist 0, demnach unmöglich, und wir wissen, dass das nicht stimmt. Es muss eine Zahl GENAU getroffen werden, wieso nicht gerade die 1?

//edit: so wie ich sehe, haben andere schon vor mir geantwortet.

09.02.2006, 18:34

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

siehe hier

EDIT

Ein anderes schönes Beispiel:

Bei Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} I = [0,1] \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit, eine rationale Zahl aus dem Intervall zu ziehen, gleich 0:

$\begin{eqnarray*} P_{\mbox{Maßtheorie}}(\text{rational}) = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn man dagegen einen x-beliebigen Menschen auf der Straße anspricht, er möge einem eine beliebige Zahl zwischen 0 und 1 nennen, bekommt man am häufigsten zur Antwort: Wie bitte? Zwischen 0 und 1 gibt es keine weiteren Zahlen (50 % der Befragten). Die mathematisch etwas gebildeteren nennen einem dann so etwas wie $\begin{eqnarray*} 0{,}5 \end{eqnarray*}$ (30 % der Befragten), die besonders gewitzten sagen vielleicht auch $\begin{eqnarray*} 0{,}3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 0{,}72 \end{eqnarray*}$ (10 % der Befragten). Und nur Wahnsinnige wie Herr A.D. oder Herr L. nennen dann vielleicht so etwas wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{0{,}5} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{-1} \end{eqnarray*}$ (0,1 % der Befragten). Von den restlichen Befragten (9,9 %) bekommt man so Antworten wie "2" oder "5" oder "Sind Sie von der Versteckten Kamera?".

Wie du siehst, gilt:

$\begin{eqnarray*} P_{\mbox{Realität}}(\text{rational}) \approx 0{,}4 \end{eqnarray*}$

Das ist halt der Unterschied zwischen der schönen Scheinwelt der Mathematik und der realen Welt.

09.02.2006, 19:09

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, anschaulich gesehen, steht P(A)=0 manchmal für unmöglich und manchmal, wie z.B. hier, für extrem unwahrscheinlich, aber aus mathematischen/masstheoretischen Gründen nur für unmöglich.
Stimmt das so?

//edit: ich glaube, man kann aus Arthurs Beitrag herauslesen, dass
P(A)=0 auch im mathematischen Sinne für "unwahrscheinlich" stehen kann. Bitte korrigiert mich, fallls ich wieder falsch liege.

10.02.2006, 15:17

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MrPSI
Bitte korrigiert mich, fallls ich wieder falsch liege.

Hallo MrPSI,

eigentlich hast du ja schon genügend Erklärungen bekommen, aber ich will nochmal genau in deinem Vokabular auf deine Frage eingehen.

Wenn "P(A)=0" gilt, heisst das ohne weitere Informationen nicht, dass A "unmöglich" ist. Du denkst zu sehr an den diskreten Fall, in dem "P(A)=0" und "unmöglich" dasselbe sind. Hier hast du aber die Zusatzinformation "diskret".

Ich vereinfache das Beispiel von Leopold (übrigens Big Laugh

dafür) noch einmal:
Betrachte die Gleichverteilung auf [0,1]. Nun willst du eine beliebige Zahl aus diesem Intervall "ziehen". Die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Zahl ist 0. Nichstdestotrotz ist es möglich, jede Zahl zu ziehen. (Zieh einfach die $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ , dann siehst du, dass es möglich ist Augenzwinkern

).

Nun alles klar?

Gruß vom Ben

10.02.2006, 16:04

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, alles klar. smile

Mich hat nur verwirrt, dass P(A)=0 in meinem Mathebuch als "unmöglich" definiert ist.

Danke für die Hilfe.

Neue Frage »

Antworten »

Wahrscheinlichkeit-Punkt in/ausserhalb/auf Kreis

Verwandte Themen