Volumen der pyramide

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Echsel Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen der pyramide
Hi, bräucht mal dringend Hilfe bei dieser Aufgabe:

Die Ebene E enthält die Punkte P (6/6/0), Q(2/2/6), und R(4/5/2). Die Punkte P , A(2/8/0) und 0(0/0/0) sind die Eckpunkte einer dreiseitigen pyramide mit der Spitze S (4/6/10).

a) Stelle eine Koordinatengleichung von E auf.
b) Ermittle eine Gleichung der Schnittgeraden von E mit der x1, x2 -Ebene.

Also:
Für die Koordinatengleichung hab ich folgendes raus:
x1+2x2+2x3=18

Nur ich hab jetzt keine Ahnung wie ich b) lösen könnte, kann mir mal bitte jemand sagen welchen Ansatz ich da machen müsste?

Danke für die Mühe !
Echsel Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner hier der mir helfen kann?!
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für alle Punkte der x1x2-Ebene ist x3=0. Setzt du das in deine Ebenengleichung ein, so erhältst du eine Beziehung zwischen x1 und x2.
Wenn du diese Gleichung als Gleichung im zweidimensionalen x1x2-Koordinatensystem auffaßt, hast du schon deine Geradengleichung und du bist fertig!
Falls jedoch eine Parameterdarstellung verlangt wird, bekommst du diese, indem du für x1 oder x2 einen Parameter, z.B. t, einführst, alles schön untereinander schreibst:

x1 = ... + t·...
x2 = ... + t·...
x3 = 0 + t·0

und zu Vektoren zusammenfaßt.
Echsel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, aber wie meinst du das mit dem parameter, das versteh ich net, kannste mal bitte konkret an dem beispiel erklären.

Also die Koordinatengleichung war:

x1+2*x2+2*x3=18

dann hab ich ja wenn ich für x3=0 folgendes Verhältnis:

x1=18 - 2*x2

x2= ?

x3= 0+0*t

Erklär mal bitte wie ich jetzt weitermachen muss.

Dieses Verhältnis x1=18 - 2*x2 kann ich doch jetzt in meine Koordinatengleichung von oben einsetzten, dann bekomm ich für x1=6, x2=6, und x3=0 raus. Aber das bringt mir ja nicht viel oder?

Ich muss irgendwie auf die Parametergleichung kommen und den Punkt den ich eben rausbekommen hab, hab ich doch ganz oben schon gegeben gehabt...*verzweifeltbin*
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! Du hast zwar t verwendet, aber noch nicht erklärt, was t ist.
Eigentlich ist t nur eine Umbennenung von x2 (man hätte auch x1 nehmen können):

x1 = 18 - 2·t
x2 = 0 + 1·t
x3 = 0 + 0·t
Echsel Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre dann die Parametergleichung:

(18 )+t*(-2)
(0)+t*(1)
(0)+t*(0)

Zu der Aufgabe hier haben wir von unserer Lehrerin nur die Lösungen bekommen und da steht das der Stützverktor

(6)
(6)
(0)

ist und die vorzeichen beim Richtungsverktor umgekehrt sind, ist das trotzdem richtig? Ich kann ja ne Punktprobe machen um zu überprüfen ob der drauf liegt.


Ok der Punkt liegt drauf Big Laugh

Danke für die Hilfe, hast mir wirklich sehr geholfen, DANKE!!!
Echsel Auf diesen Beitrag antworten »

So das war der erste Teil der Aufgabe, nun muss ich noch folgendes machen:

Die Ebene E schneidet die Pyramide in einem Dreieck.
a)Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks.
b)Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig ist und berechne seinen Flächeninhalt.

Gegeben ist nun:

x1+2x2+2x3=18 <-Koordinatengleichung der Ebene

(18 )+t*(-2)
(0) +t*(1) <-- Geradengleichung
(0) +t*(0)

A(2/8/0) , und P (6/6/0) liegen auf der Schnittgeraden

Wie muss ich nun weitermachen?
Ich weiß das A und P auf der Schnittgeraden liegen, nur wie bekomm ich den 3.Punkt raus?!
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo
ich habe die Aufgabe bisher nicht verfolgt, sage aber mal ganz spontan zu deinem Vorschlag zur neuen Teilaufgabe.:
Du erhältst die Eckpunkte, indem du die Ebene mit jeder der Pyramidenkanten zum Schnitt bringst. P ist sicher einer davon, aber doch nicht A!?
Die gleichen Schenkel ergeben sich aus den gleichen Beträgen für die Strecken zwischen den Eckpunkten. Für den Flächeninhalt gibt es dann mehrere Möglichkeiten - klassisch oder vektoriell.

gruss Johko
Echsel Auf diesen Beitrag antworten »

"Du erhältst die Eckpunkte, indem du die Ebene mit jeder der Pyramidenkanten zum Schnitt bringst. P ist sicher einer davon, aber doch nicht A!?"

Heißt das, dass ich die Ebene jeder Pyramidenflächen mit der ersten Ebene die ich vom Anfang habe, gleichsetzten muss um den Schnittpunkt jedes Eckpunktes des Dreiecks heraus zu bekommen?

P.S.:
Ich hab doch vorhin die Schnittgerade ausgerechnet und bewiesen das A und P auf dieser liegen, also müssten die doch dann auch die Eckpunkte sein, oder nich?!
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Schnittgerade mit der entsprechenden KOORDINATENEBENE ausgerechnet. KE sind sowas wie die Wände in dem Zimmer, in dem deine Pyramide steht. Lehrer

Ausserdem habe ich von PyramidenKANTEN geredet, die du mit der gegebenen Ebene schneiden musst Augenzwinkern
johko
Echsel Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Pyramidenkanten sind doch jetzt die Eckpunkte der pyramide, oder irre ich mich?!

Ich steh im moment total aufm schlauch, kannst du mir mal bitte nen kleinen Ansatz für die aufgabe geben?`

Dies ist ja die Koordinatengleichung der Ebene
x1+2x2+2x3=18
und die muss ich jetzt mit den Eckpunkten gleichsetzen, ja oder nein?
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Also: Mach mal nen Punkt und gib dir die Kante! das lockert ungemein - und dann siehst du, dass ein Punkt keine Kante sein kann, gelle?
Folglich heisst es, aus den Punkten erst einmal Kanten zaubern.

joh :rolleyes: ko
Echsel Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt hab ich den Schnittpunkt von der Ebene E mit der Geraden OS herausbekommen T(2/3/5)

jetzt hab ich ja noch P(6/6/0) als Schnittpunkt, nun den letzten auch noch irgendwie rausbkommen, welche Gerade müsste ich da denn nehmen um den herauszubekommen? Die gerade AS?,


YEAH habs raus, es war doch A und P gewesen und schließlich T.

Ok danke!

Der Flächeninhalt kann man ja dann mit dem pythagoras ausrechnen: A=15.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------


So die letzte Aufgabe:

Berechne das Volumen der Pyramide, die das Schnittdreieck als Grundfläche und S als Spitze hat. Wie hoch ist diese Pyramide?Liegt der Fußpunkt der Höhe außerhalb der Grundfläche?Deute das Ergebnis geometrisch.

Die Formel für das Volumen ist doch V=1/3 Ag*höhe

für den Flächeninhalt der Grundfläche nehme ich dann das was ich vorhin ausgerechnet hab, also 15

V=1/3 *15*h

ich hab jetzt für h= die wurzel aus 58,25 raus,aber das stimmt bestimmt nich, denn in der lösung die wir noch bekommen haben kommt h=6 raus, was hab ich also falsch gemacht?

//EDIT by sommer87: Doppelposts bitte vermeiden. EDIT nutzen!
johko Auf diesen Beitrag antworten »

1) Das mit A hätte ich ja durch Einsetzen sehen können. :P
Naja, zu faul ...
2) Was die Höhe betrifft, ist das der Abstand vom Punkt S zu der neuen Ebene, in der das Schnittdreieck liegt.
Der Fußpunkt liegt genau dann im Dreieck, wenn in der Parameterdarstellung der neuen Ebene mit z.B.



gilt:

0<=u,v <=1 und u=1-v

johko
Echsel Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke, hab jetzt das Volumen=30 und die Höhe=6 rausbekommen, das einzigste was ich jetzt noch nich so richtig versteh ist das mit dem Fußpunkt...ist der fußpunkt der Punkt der senkrecht auf der grundfläche steht, und wenn ja wie rechne ich den am einfachsten aus?
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Punkt hat keine Ausdehnung, kann also nicht senkrecht auf irgendwas stehen.
Der gesuchte Fußpunkt F ist der Schnittpunkt der Senkrechten von S aus auf die Ebene. Diese Senkrechte ist andersrum die Normale zur Ebene durch den Punkt S. Damit rechnest du F aus.

johko
Echsel Auf diesen Beitrag antworten »

juhu jetzt hab ich den Fußpunkt F (2/2/6) rausbekommen Big Laugh
und sehe ja jetzt das er außerhalb der Grundfläche liegt und auch rechtwinklig zur Grundfläche ist. Das müsste es auch schon gewesen sein,

ich danke nochmal allen für ihre Hilfe und Mühe!!!DANKE!!!


Meinetwegen kann der Thread jetzt geschlossen werden Big Laugh
johko Auf diesen Beitrag antworten »

DanichfüüüüaaaahhhHHHH! Augenzwinkern
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