Jordanform Potenz

09.02.2006, 20:42

Mazze

Jordanform Potenz

Ich hab grad total verplant wie ich die Potenz einer Matrix in Jordanform berechne. Wir ham recht viel mit LDGL rumgespielt und da hatten wir immer $\begin{eqnarray*} e^J \end{eqnarray*}$ was simpel war.

Aber $\begin{eqnarray*} J^n \end{eqnarray*}$ ?

Helft mir mal kurz auf die Sprünge.

09.02.2006, 22:46

quarague

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wenn die Matrix in Jordannormalform ist, kannst du die ersten paar Potenzen von Hand berechnen, da erkennt man relativ schnell das System dabei.
Ich frage mich nur wir ihr das Exponential berechnet habt ohne die Potenzen zu kennen?

09.02.2006, 23:30

Mazze

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$\begin{eqnarray*} e^J = e^{D + N} = e^D \cdot e^N \end{eqnarray*}$

da ND = DN (Vorrausetzung damit das Potenzgesetz auf Matrizen gilt) geht das und D ist diagonal und N nilpotent und da ists dann einfach Augenzwinkern

10.02.2006, 10:41

quarague

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stimmt, hübsch smile

diesen Trick kannst du bei höheren Potenzen von J ja auch benutzen

10.02.2006, 11:01

Mazze

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Zitat:

diesen Trick kannst du bei höheren Potenzen von J ja auch benutzen

Das problem is das ich grad nich weiß wie, weil

$\begin{eqnarray*} J^n = (D + N)^n \end{eqnarray*}$

und irgendwie stinkt das. verwirrt

11.02.2006, 20:18

quarague

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dsa kannst du jetzt mit der binomischen Formel auseinandernehmen, also
$\begin{eqnarray*} (D+N)^n = \sum_k \frac{n!}{k!(n-k)!} D^k N^{n-k} \end{eqnarray*}$
da D und N kommutieren, ist das kein Problem
D^k berechnet sich gut für alle n und N^k wird Null für k hinreichend groß

12.02.2006, 14:38

Mazze

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Man müsste sich halt noch den nilpotenzindex von N anschauen aber ansonsten sieht das gut aus. Freude

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