Grenzwerte von Funktionen

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mathe=0 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte von Funktionen
Hallo allerseits Wink

Kann mir jemand einigermassen (oder sehr ) vereinfacht erklären wie man Grenzwerte von Funktionen berechnet?
Also nehmen wir an ich hab die

Aufgabe:
lim x geht gegen 1 (x^2-7x+3)
Lösung:
-3

Ich hab dann einfach mal rumprobiert und 1 für x eingesetzt was mir prompt die Lösung geliefert hat.

Dann kam aber die Aufgabe:
lim x geht gegen 2 (x^2+4x-12)/(x^2-5x+6)
Lösung:
-8

Ich hab dann gedacht, na ja, setzt du halt einfach nochmals 2 ein wie in der ersten Aufgabe, das liefert mir dann aber 0.

Bitte eine einfache Erklärung die so gar nicht fachmännisch ausgedrückt, sondern vor allem sehr einfach gehalten sein sollte, hab bald Prüfungen.
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte von Funktionen
Zitat:
Original von mathe=0
ich hab dann gedacht, na ja, setzt du halt einfach nochmals 2 ein wie in der ersten Aufgabe, das liefert mir dann aber 0.


Das stimmt nicht, denn wenn du in



2 einsetzt, müsstest du durch 0 teilen, somit bekommst du nicht 0 raus.

Du musst durch geeignete Umformung den Term so umformen, dass du 2 einsetzen kannst.

In diesem Fall z. B. über den Satz des Vieta:



und sind Nullstellen
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Einfach die "Zielstelle" in den Funktionsterm einzusetzen, um den Grenzwert zu bestimmen, geht nur in Sonderfällen, und zwar nur dann, wenn die Funktion überhaupt an dieser Stelle definiert und außerdem stetig ist.

Ansonsten benutzt man z. B. die Folgendefinition des Grenzwertes eines Funktion:

gilt genau dann, wenn bei jeder gegen a konvergierende Folge von Stellen die Folge der zugehörigen Funktionswerte gegen konvergiert.

Man legt eine "abstrakte Folge" mit fest. Dann ermittelt man:



(also den Grenzwert der "Funktionswertefolgen")


Gilt tatsächlich , wenn ?
enmi Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

also ich hab immer gedacht, dass der grenzwert die zahl ist an die sich die funktion immer mehr annähert (falls ein grenzwert existiert). am schnellsten findet man doch den grenzwert, wenn man für x eine sehr große zahl einsetzt - oder?

mathematisch wird der grenzwert berechnet indem man die funktion durch die höchste vorkommende potenz von x dividiert wird. hier also x^2

dadurch bekommt man bei der 2. aufgabe:
x^2/x^2 - 7x/x^2 + 3/x^2 = 1 - 7/x + 3/x^2

(x^2/x^2 + 4x/x^2 - 12/x^2) / (x^2/x^2 - 5x/x^2 + 6/x^2)

nach dem kürzen erhält man:
(1 + 4/x - 12/x^2) / (1 - 5/x + 6/x^2)

wenn x also immer größer wird, dann werden die brüche mit x im nenner immer kleiner
(1 + 0 - 0) / (1 - 0 + 0) = 1
der grenzwert ist also 1

nicht eingesetzt werden dürfen die zahlen 2 und 3 da an diesen stellen der nenner der funktion 0 wird und das ist nicht erlaubt. die funktion hat an diesen stellen sogenannte definitionslücken.

bei der 1. aufgabe bin ich der ansicht, dass kein grenzwert existiert. wenn für x zahlen eingesetzt werden, dann wird auch der funktionswert immer größer. er nähert sich nicht einem bestimmten wert. deshalb gibt es bei der 1. aufgabe keinen grenzwert.

hoffe, dass ich weiterhelfen konnte. (alles aber ohne garantie)
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

@ enmi

Das gilt nur in fällen, bei denen geht.

Wenn geht natürlich nicht.

MfG
enmi Auf diesen Beitrag antworten »

@Q-fLaDeN

aber geht denn ein grenzwert nicht immer gegen +-unendlich?
ansonsten wäre es ja kein grenzwert sondern ein normaler funktionswert (wenn einfach eine bestimmte zahl für x eingesetzt werden würde)
 
 
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

@ emni:

Bei Folgen gibt es tatsächlich nur den "Grenzübergang" . Aber bei Funktionen kann man auch den Grenzwert für den Fall untersuchen, dass x gegen eine Zahl "geht".

Der Sinn besteht z. B. darin, dass man das Verhalten der Funktion um einen Punkt untersuchen kann, der gar nicht zur Funktion gehört. (also man kann in diesem Fall nicht einfach den Funktionswert berechnen)
mathe=0 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
am schnellsten findet man doch den grenzwert, wenn man für x eine sehr große zahl einsetzt - oder?

Was ist gemeint mit sehr grosse Zahl?

Sind Definitionslücken also Zahlen die für x eingesetzt 0 ergeben?


Also habe ich richtig verstanden bzw. kann ich das so übernehmen?

Zitat:
mathematisch wird der grenzwert berechnet indem man die funktion durch die höchste vorkommende potenz von x dividiert wird

Dann kürzen (bzw. einfach fertig ausrechnen?)
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Beides ist nicht richtig. Auch das Einsetzen von sehr großen Zahlen funktioniert nur bei dem "Grenzprozess" und dann auch nur bei bei sehr einfachen Funktionen.

Definitionslücken sind (z. B.) Zahlen, bei denen der Funktionsterm nicht definiert ist. (z. B. weil er ein Quotient ist und beim Einsetzen der Zahl der Nenner 0 wird).


Kennst Du die Definition des Grenzwertes einer Funktion?
mathe=0 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition des Grenzwertes einer Funktion habe ich so gelernt:
Kommen die Funktionswerte einer Funktion f(x) bei beliebieger Annäherung an eine Stelle x0 einer Zahl a immer näher, so heisst a der Grenzwert der Funktion
f(x) an der Stelle x0 und man schreibt:
lim xgegenx0 f(x) = a

PS: Kannst Du mir trotzdem noch kurz erklären was mit "grosse Zahlen" gemeint ist, respektive was kleine Zahlen sind??
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber keine exakte Definition, die man wirklich für Rechnungen oder Beweise benutzen könnte. Sondern damit ist nur grob gesagt, was man mit dem Grenzwert einer Funktion meint.

Definieren kann man den Grenzwert einer Funktion über Folgen:

Eine Zahl heißt genau dann Grenzwert der Funktion f für (x ist die Variable für die Stellen), wenn bei jeder gegen a konvergierenden Folge von Stellen die Folge der zugehörigen Funktionswerte gegen konvergiert. (siehe mein erster Beitrag)



Mit "großen Zahlen" sind wirklich "große Zahlen" gemeint. Big Laugh , z. B. oder so.
mathe=0 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Kapitel "Zahlenfolgen und Reihen" haben wir komischerweise ausgelassen und sind direkt zu Funktionen übergegangen..
Tja, besten Dank für eure Hilfe, aber viel mehr als vorher weiss ich jetzt leider nicht unglücklich
Kann mir das ev. jemand im Stil von emni, also schemenhaft erklären, einfach dass ich im Stande bin das zu berechnen, auch wenn ich halt noch nicht alle Zusammenhänge sehe?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Also wirklich berechnen kann man das nicht so einfach, man braucht dafür wirklich die Definition.

Aber man kann versuchen, den Grenzwert abzuschätzen, indem man den Funktionswert an einer Stelle berechnet, die sehr nahe an der "Zielstelle" liegt. Also bei könnte man wählen. Und zur Kontrolle , denn manche Funktionen haben "Sprünge", und an diesen Stellen gibt es keinen Grenzwert.
mathe=0 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss (oder glaube zu wissen) dass ich durch ausprobieren von Werten die sehr nahe am Grenzwert liegen diesen annähern kann.
Also wenn ich z.B. habe
(x^2 + 3x) / (x - 3)
dann probiere ich am besten 2.99, 2.99 um mich von links, und 3.1,3.01 um mich von rechts anzunähern.

Aber was genau heisst bzw. bewirkt denn "x gegen 2" eigentlich genau?
mathe=0 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmals

Also besten Dank an alle die geantwortet und sich die Zeit genommen haben, für weitere Ausführungen bin ich natürlich dankbar!!!

Falls jetzt jemand ähnliche Verständnisprobleme wie ich hat bei den Grenzwerten von Funktionen, hier werden die Grundsätze sehr anschaulich und einfach erklärt:

http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/0-inhalt-1.htm

tschüss
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Annäherung ist richtig (siehe oben). Allerdings kann die Annäherung auch "falsch" sein, wenn die Funktion um die Stelle stark schwankt und nicht den Verlauf nimmt, den die Näherungswerte vermuten lassen. Also wenn man die Werte 8,1 | 8,01 | 8,001 usw erhält, heißt das nicht unbedingt, dass 8 wirklich der Grenzwert ist. Die Funktion kann "im letzten Moment" noch auf z. B. 1 000 umschwenken.

Das x --> 2 kann man wohl so verstehen, wie Du es oben beschrieben hast: Falls 2 nicht zur Definitionsmenge gehört, dann lässt man die Funktion unendlich nahe an diese Lücke heranrücken und prüft ihr Verhalten. Strebt sie vielleicht gegen einen bestimmten Punkt? Wenn 2 doch zur Definitionsmenge gehört, dann kann man sich das evtl. so vorstellen, dass man den Punkt (2 | f(2)) minimal verschiebt und prüft, was passiert. "Springt" der Punkt? Oder ändern sich die Koordinaten nur unendlich wenig?
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Da es eine hebbare Definitionslücke ist, könnte man auch, wie ich bereits in meinem post beschrieben habe, über den Satz des Vieta eine vereinfachte Funktion draus machen, in die man dann 2 einsetzen kann.

Vergess am besten das, was emni gesagt hat, und geht nicht nur darauf ein, sondern auf die Aspekte von Jacques und mir.
enmi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte von Funktionen
@Q-fLaDeN

Zitat:
Du musst durch geeignete Umformung den Term so umformen, dass du 2 einsetzen kannst.


aber auch durch umformung des terms: x² - 5x + 6 = (x-2)*(x-3) ist es nicht möglich 2 einzusetzen (2 und 3 dürfen hier nicht eingesetzt werden)
sg
enmi
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »







So haben wirs zumindest gelernt Augenzwinkern
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auch richtig. Weil 2 sowieso aus der Grundmenge für x ausgeschlossen ist, kann man den Bruch einfach kürzen, ohne dass man noch Einschränkungen machen müsste. Aber auch nur deswegen!

z. B. gilt ja nicht



obwohl man durch Kürzen auf dieses Ergebnis kommen könnte.



Das mit dem Einsetzen ist vielleicht nicht soo sinnvoll, denn man wird ja z. B. schwer begründen können, wie man 2 für x einsetzen kann, wenn es überhaupt nicht zur Grundmenge gehört. (der Grund ist, dass man "unausgesprochen" für x das allgemeine Glied einer (abstrakten) gegen 2 konvergierenden Folge eingesetzt hat und die Anwendung der Grenzwertsätze eben in diesem Fall auf das Gleiche hinausläuft wie das Einsetzen von 2 für x)

Und bei unstetigen Funktionen führt das Einsetzen zu falschen Ergebnissen. z. B.:





Würdest Du nach dem "Einsetzen-Schema" den Grenzwert



ermitteln, bekämst Du das Ergebnis 0. Das ist aber nicht richtig, es existiert gar kein Grenzwert.
enmi Auf diesen Beitrag antworten »

wieder was dazugelernt
sg
enmi
fb13 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo euch allen, ich habe das Board duchsucht und bin auf diesen Thread gestoßen. Zu meiner Frage möchte ich nicht unnötig ein neues Thema eröffnen, da es euch möglicherweise einfach fallen sollte dieser zu antworten.

Ich habe folgende Grenzwertberechnung:

(2*x²-x) / (x+1), wobei x gegen -1 geht. Ich bekomme da mit Hilfe des h Verfahrens folgendes raus:

2h²-6h+4 + (h+1/h). Ich weiß nicht, was ich mit dem letzten Teil anfangen kann, weil h ja gegen 0 geht und der Bruch somit unbestimmt ist. Außerdem habe ich den Graphen ploten lassen. Der Grenzwert sollte für die Stelle -1, -2 sein.

Habt ihr Ideen. Gibt es kein eindeutiges Verfahren wie man sowas berechnet?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fb13
Der Grenzwert sollte für die Stelle -1, -2 sein.


Falsch, das Ding hat einen Pol an der Stelle .

fb13 Auf diesen Beitrag antworten »

oO

aha, dann habe ich beim plotten wohl nen tippfehler gemacht. aber was sagt ihr zu der aufgabe. wie kann man das denn berechnen. ich finde das mit grenzwerten an funktionen schwer...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Wie zuvor gesagt wurde, bei solchen Aufgaben sollte man immer darauf achten vollständig zu kürzen [Linearfaktoren]. Wenn sich dann im Nenner immernoch einer befindet der gegen Null geht, dann hast du es mit einem Pol zu tun.
L (Ryuzaki) Auf diesen Beitrag antworten »

Falls du deinen Lehrer beeindrucken willst, mach eine Taylor-Entwicklung Big Laugh
Das ist ein Verfahren bei dem man eine Funktion für die Annäherung an einem Punkt einer gegebenen Funktion bestimmt. Undzwar durch ihre Ableitungen. Aber das wäre glaube Ich ein wenig zu viel Aufwand ^^
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenig sinnvoll bei dieser Aufgabe...
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