Abschätzung zum Sekantenverfahren/Regula Falsi

28.05.2008, 17:56

Sly

Abschätzung zum Sekantenverfahren/Regula Falsi

Moin moin!
Folgende Aufgabe ist gegeben:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f: I\rightarrow\mathbb{R},\; I\subset\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ konvex und abgeschlossen, eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, $\begin{eqnarray*} f(\overline{x}) = 0 \end{eqnarray*}$ im Inneren von I. Das Sekantenverfahren (regula falsi) ist definiert durch
$\begin{eqnarray*} x_{k+1}=x_k-f(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie:
Sei $\begin{eqnarray*} m=\min |f'| > 0, M = \max |f''| \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} q=\frac{M}{2m}\rho < 1 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \rho > 0 \end{eqnarray*}$ . Seien $\begin{eqnarray*} x_0\neq x_1 \end{eqnarray*}$ im Intervall I mit Abstand kleiner als $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \overline{x} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für das Sekantenverfahren
$\begin{eqnarray*} |x_k-\overline{x}| \leq \frac{2m}{M} q^{\gamma_k} \end{eqnarray*}$
Hierbei sind $\begin{eqnarray*} \gamma_k \end{eqnarray*}$ die Fibonacci-Zahlen zu den Anfangswerten $\begin{eqnarray*} \gamma_0=\gamma_1=1 \end{eqnarray*}$ .

Zu erwähnen ist noch: In einer vorigen Teilaufgabe mussten wir zeigen:
Zu paarweise verschiedenen $\begin{eqnarray*} x,y,z\in I \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \xi\in I \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z-x}\left( \frac{f(z)-f(y)}{z-y}-\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right) = \frac{1}{2} f''(\xi) \end{eqnarray*}$

Mein bisheriger Ansatz ist recht mager, bzw. ich hab garkeinen richtigen.
Meine Idee bisher ist bloß zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} |x_{k+1}-\overline{x}| \leq \frac{M}{2m} |x_k-\overline{x}| |x_{k-1}-\overline{x}| \end{eqnarray*}$
für alle k. Daraus würde die Abschätzung folgen.

Ich vermute mal stark, der Beweis muss per Induktion geführt werden.

Induktionsanfang: n= 0 oder 1
$\begin{eqnarray*} |x_n-\overline{x}| \leq \rho = \frac{2m}{M} q = \frac{2m}{M} q^{\gamma_n} \end{eqnarray*}$
Aber beim Induktionsschritt bleib ich total stecken.
$\begin{eqnarray*} |x_{k+1}-\overline{x}| = \left| x_k - f(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})} - \overline{x}\right| \end{eqnarray*}$

Ich ahne, dass ich wegen der Definition von m und M die erste bzw. die zweite Ableitung als Faktor mit reinbringen muss. Beziehungsweise wegen dem ersten Aufgabenteil diesen recht langen Term.

Hat jemand eine Idee? Für mich erschließt sich das nämlich noch überhaupt nicht.
Ich wäre sehr dankbar...

29.05.2008, 13:30

speedy05

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Wie hast du denn den ersten Teil bewiesen? Das kann man hier evtl. benutzen.

29.05.2008, 13:40

Sly

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Ich bezweifle dass es sehr viel nützt, aber ich kopiere es mal hier rein

Zitat:

Seien o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} x<y<z \end{eqnarray*}$ . Definiere die Funktion $\begin{eqnarray*} g(s)=f(x)+\frac{f(y)-f(x)}{y-x}(s-x)+w(x,y,z)(s-y)(s-x)-f(s) \end{eqnarray*}$ . Da f zweimal stetig differenzierbar ist, ist es auch g. Es gilt

$\begin{eqnarray*} g(x)=f(x)-f(x)=0\quad,\quad g(y)=f(x)+\frac{f(y)-f(x)}{y-x}(y-x)+0-f(y) = f(x)+f(y)-f(x)-f(y)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(z)=f(x)+\frac{f(y)-f(x)}{y-x}(z-x)+(z-y)(z-x)\cdot \frac{1}{z-x}\left(\frac{f(z)-f(y)}{z-y}-\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right) - f(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = f(x)-f(z)+f(z)-f(y)-(z-y)\frac{f(y)-f(x)}{y-x}+(z-x)\frac{f(y)-f(x)}{y-x} = f(x)-f(y)+(y-x)\frac{f(y)-f(x)}{y-x} = 0 \end{eqnarray*}$

Nach dem Satz von Rolle gibt es $\begin{eqnarray*} s_1\in (x,y),s_2\in (y,z) \end{eqnarray*}$ , sodass gilt $\begin{eqnarray*} g'(s_1)=0=g'(s_2) \end{eqnarray*}$ .

Erneute Anwendung des Satzes von Rolle ergibt, dass es ein $\begin{eqnarray*} \xi\in (s_1,s_2)\subset I \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} g''(\xi)=0 \end{eqnarray*}$ . Nun gilt

$\begin{eqnarray*} g'(s)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(s)+w(x,y,z)\cdot (2s-x-y)\quad,\quad g''(s)=-f''(s)+2\cdot w(x,y,z) \end{eqnarray*}$

Also folgt mit $\begin{eqnarray*} g''(\xi)=0 \end{eqnarray*}$ schon $\begin{eqnarray*} w(x,y,z)=\frac{1}{2} f''(\xi) \end{eqnarray*}$ .

29.05.2008, 16:32

speedy05

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ok, da geb ich dir recht. Hatte mir die Aufgabe noch nicht genau angesehen. Letztes Jahr bei Ohlberger gab es die 1.2 auch. In der Musterlösung wurde dazu erst ein Lemma aufgestellt, dann bewiesen und dann musste man einiges damit rumrechnen. Waren locker 2 Seiten, wenn nicht noch mehr.
Ob es auch einfach geht, weiß ich leider nicht.
btw. werden bei euch der Latexcode gerade auch nicht richtig angezeigt?

29.05.2008, 17:16

Sly

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Ah wunderbar, ein Münsteraner Augenzwinkern

Hm ja, das hab ich irgendwie befürchtet.
Die Aufgaben zur Zeit bei Wübbeling sind leider sau schwer, weil wir offenbar zu viele in der Vorlesung sind und er aussondern möchte.
Hab ich zumindest jetzt von mehreren Seiten gehört...

Aber danke schonmal für den Tipp, ich guck mir das Ohrberger scipt dann mal genauer an

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