Geometrische Vorstellung des Erwartungswerts

10.02.2006, 17:39

papahuhn

Geometrische Vorstellung des Erwartungswerts

Hallo zusammen.
Kann man sich den Erwartungswert einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung bildlich/geometrisch verdeutlichen? Bis eben habe ich gedacht, es müsste der Schwerpunkt der Dichtefunktion sein. Das habe ich aber verwerfen müssen, da der Erwartungswert auch unendlich sein kann. Und so wie ich einen Schwerpunkt verstehe, hat dieser immer eine endliche Position (Wert).

10.02.2006, 18:57

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Geometrische Vorstellung des Erwartungswerts

Zitat:

Original von papahuhn
Das habe ich aber verwerfen müssen, da der Erwartungswert auch unendlich sein kann.

hmmm, also bei abzählbarer grundmenge muss der erwartungswert definitiv endlich sein, damit man von seiner existenz spricht
bist du sicher, dass das bei steitger verteilung anders ist!?

auch wenn es offtopic scheinen mag, kann mir mal wer ein Beispiel dafür geben?

10.02.2006, 20:10

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

also so wie ich es in erinnerung hab gibt es schon stetige verteilungen die keinen erwartungswert bzw. der erwartungswert unendlich ist. bsp kann ich dir leider nicht geben, weiss auch nicht mehr wie die verteilung heisst. aber bin mir eigentlich sicher das es in meiner stochastik vorlesung dran kam.. verwirrt

gruss bil

10.02.2006, 20:23

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich kann mir ja eine Dichtefunktion ausdenken:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{\begin{array}{cr}{(x+1)}^{-2} & ,x \geq 0 \\ 0 & ,x < 0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$ .

10.02.2006, 23:09

zeta

Auf diesen Beitrag antworten »

zum erwartungswert sei doch mal das stichwort "skalarprodukt" in den raum geworfen...

11.02.2006, 10:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von papahuhn
Kann man sich den Erwartungswert einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung bildlich/geometrisch verdeutlichen? Bis eben habe ich gedacht, es müsste der Schwerpunkt der Dichtefunktion sein.

Das ist auch vollkommen richtig.

Zitat:

Original von papahuhn
Und so wie ich einen Schwerpunkt verstehe, hat dieser immer eine endliche Position (Wert).

Weil du den Begriff von endlichen Flächen/Volumina her kennst! Wenn du als Analogon eine beschränkte Zufallsgröße hast, dann ist deren Erwartungswert auch endlich. Augenzwinkern

Die Umkehrung gilt natürlich nicht, d.h., aus der Endlichkeit des Erwartungswertes kann nicht auf die Beschränktheit der Zufallsgröße geschlossen werden.

11.02.2006, 11:51

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss ich den Begriff "Schwerpunkt" bis jetzt falsch aufgefasst haben. Für mich ist es der Punkt $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ für den gilt: $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^t~f(x)dx = \int\limits_{t}^\infty~f(x)dx \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Dichtefunktion ist. Der Schwerpunkt ist also salopp gesagt die Stelle, an der links davon genausoviel Fläche ist, wie rechts davon.

Und hier muss der Fehler liegen. Denn falls der Schwerpunkt im Unendlichen liegt, dann kann das Integral der Dichte über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach obiger Überlegung höchstens 1/2 betragen. Das geht aber nicht, weil das bekanntlich 1 sein muss.

11.02.2006, 20:07

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dieses $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist der Median der Verteilung, eine andere Kenngröße der Verteilung. Der existiert allerdings immer, d.h. ist immer endlich.

11.02.2006, 21:27

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe, mir ist die zündende Idee vorhin im Zug gekommen. Beim Schwerpunkt kommt es nicht bloß auf die "Gewichte" an, sondern auch auf den Abstand vom Angelpunkt. Je weiter weg, desto mehr fällt es ist Gewicht. Wenn ich nun einfach mal annehme, dass der Abstand exakt linear in die Gewichtung eingeht, komme ich auf folgende Gleichung für den Schwerpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^t~(t-x)f(x)dx = \int\limits_t^{\infty}~(x-t)f(x)dx \end{eqnarray*}$ , was nach kurzer Rechnung äquivalent ist zu $\begin{eqnarray*} t = \int\limits_{-\infty}^\infty~xf(x)dx \end{eqnarray*}$ .

Warum der Abstand ausgerechnet linear eingeht, weiß ich zwar immer noch nicht, aber meine Welt ist fast wieder in Ordnung. smile

Und mit dem Median hab ich auch wieder was neues gelernt. Dankööh.

13.02.2006, 22:36

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von papahuhn
Warum der Abstand ausgerechnet linear eingeht, weiß ich zwar immer noch nicht,

Nennt man Hebelgesetz in der Physik. Augenzwinkern

13.02.2006, 23:09

papahuhn

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von papahuhn
Warum der Abstand ausgerechnet linear eingeht, weiß ich zwar immer noch nicht,

Nennt man Hebelgesetz in der Physik. Augenzwinkern

Ok, leuchtet wohl ein. Aber warum schert sich ein mathematischer Begriff um physikalische Gesetze? Ist der Begriff "Erwartungswert" irgendwie physikalisch motiviert?

13.02.2006, 23:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, m.E. fällt das mit dem Schwerpunkt eher als Nebenprodukt ab. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Geometrische Vorstellung des Erwartungswerts

Verwandte Themen