Winkelhalbierende-Ebene(e)

10.02.2006, 20:10

LyriaEL

Winkelhalbierende-Ebene(e)

'ullo zusammen...
Mein Problem liegt da, dass ich nicht weiss woher man eine Winkelhalbierende Ebene bekommt.
Das ist der letzte Teil einer langen Aufgabe und ich bin am Ende meines Lateins.

Gegeben ist die Ebene E(x+4y-8z-6=0) und die Punkte A(2-/5/9) und B(0/-1/5).
Daraus konte man die Ebene F(x-2y+2z-12=0) ausrechnen, weil B auf F enthalten ist und Senkrecht zur Geraden durch A und B ist.
->zwei schneidene Ebenen.
Aus dem konnte man dann die Parametergleichung der Schnittgeraden ausrechnen. In Vektoren: r=(2 -5 9) +t(4 5 3)
[Den spitzen WInkel musste man auch noch errechnen, aber ich denke, den braucht es bestimmt nicht, dennoch: 31.6°]

Die gestellte Frage lautet nun:
Welche Punkte der Geraden durch A und B haben von der Ebene E und F gleiceh Abstände?

Ich habe mir nun folgendes überlegt: Diese Punkte können nur auf den beiden Winkelhalbierenden Ebenen liegen, weil sie nur da von den beiden Ebenen gleichweit entfernt sind, der Schnittpunkter der beiden neuen Ebenen und der Geraden AB sollte dann zwei Punkte geben.

Bitte sagt mir wie ich Winkelhalbierende Ebenen machen kann... verwirrt

10.02.2006, 20:27

marci_

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RE: Winkelhalbierende-Ebene(e)

Zitat:

Original von LyriaEL

Gegeben ist die Ebene E(x+4y-8z-6=0) und die Punkte A(2-/5/9) und B(0/-1/5).
Daraus konte man die Ebene F(x-2y+2z-12=0) ausrechnen, weil B auf F enthalten ist und Senkrecht zur Geraden durch A und B ist.
->zwei schneidene Ebenen. verwirrt

also das verstehe ich irgendwie gar nicht o_O?
wie meinst du das denn genau?

10.02.2006, 20:28

mYthos

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Hallo,

es gibt zwei winkelhalbierende Ebenen (Winkel und Aussenwinkel), diese stehen aufeinander senkrecht (Analogie in $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ : Winkelhalbierende von Geraden)

Der Normalvektor dieser gesuchten Ebenen ist die Summe bzw. Differenz der beiden normierten Normalvektoren (diese haben je die Länge 1) der gegebenen Ebenen. Hilft das weiter?

Weiterer Denkanstoß: Gleichsetzen der beiden Hesses'schen Normalformen ist gleichbedeutend mit Gleichsetzen der Abstände eines Punktes von diesen Ebenen.

Gr
mYthos

10.02.2006, 21:53

Lyri

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hallo mytos!
ja, irgendwie hast du mir schon weiter geholfen... aber irgendwie auch nicht, was aber nicht an dir liegt X_X.
Der Schritt mit dem Addieren und Subtrahieren war genau das gewesen, was ich nicht wusste und auch in meinen unterlagen nicht fand.
Das Problem ist in momen noch, dass ich es nicht verstehen -nachvollziehen kann.Dummerweise war ich nicht anwesend als das thema im unterricht war.
und das gleiche gilt für das Hesses'schen Gesetz, dies ist zwar in meiner theorie vorhanden aber ich hab nur verstanden, dass es etwas mit "alles 1" zutun hat.

Def. Man sagt, eine Gleichung der Ebene E sei in Hessescher Normalform oder kurz eine HNF-Gleichng, wenn der Normalvektor die Länge 1 hat, die Gleichung also von folgender Form ist:
ax+by+cz+d=0, wobei a^2+b^2+c^3=1

Um erhlich zu sein kann ich mir gar keinen nvektor vorstellen dessen betrag dann 1 sein sollte, also weiss ich auch nicht was ich damit anfangen soll. Zudem finde ich nirgends eine genau erklärung für was genau das eigentlich ist.

10.02.2006, 22:15

marci_

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das ist der vektor durch seine länge zb: (1/2/2): n0= 1/5 *(1/2/2)

10.02.2006, 22:29

LyriaEL

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hallo marci_
du meinst den normvekotr durch den vekotorbetrag?. Das verwirrt mich nun ein bisschen, in den lösungen (die leider seehr sprunghaft sind) welche ich habe wird die ganze Ebene durch die normvektorlänge geteilt. Dafür werden beide Ebenen/länge gleichgestellt.

Warum denn bloss? *nixpeil* ... gibt es für solche dinge keine erkräung oder muss man das einfach auswenig lernen?

argh.. ich hoffe ich krieg das irgendwann noch in mein kopf rein... LOL Hammer

10.02.2006, 22:43

mYthos

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Stichwort: Hesse'sche Normalform!
Dazu dividiert man die Ebenengleichung durch die Länge des Normalvektors.

Mit ihr erhält man den Abstand eines Punktes von der Ebene (als "Maßaufgabe"), deswegen muss der Vektor auf die Länge 1 gebracht werden, mit ihm "misst" man den Abstand.

Jetzt verständlich?

Gr
mYthos

10.02.2006, 23:09

LyriaEL

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$\begin{eqnarray*} \frac{x +4y -8z}{9} = \frac{x -2y +2z}{3} \end{eqnarray*}$

Links Ebene E und rechts Ebene F, wenn die Hesses'sche Normformel etwas über den Abstand aussagt/resp ist, dann sollte man die beiden ja gleichsetzen können.
Ehrlich gesagt mach ich das mehr aus notwehr weil ich nicht weiss wie ich diese Brüche auf 1 kriegen soll.

E: $\begin{eqnarray*} 1^2 + 4^2 - 8^2 = 1 \end{eqnarray*}$
F: $\begin{eqnarray*} 1^2 - 2^2 + 2^2 = 1 \end{eqnarray*}$
naja, das = is eine mathematische sünde... es stimmt da ja einfach nicht, aber das würde ja heissen, dass ich das vor dem = durch 9 dividieren müsste und so bin ich wieder so weit wie oben.
Aber selbst wenn das oben stimmt, was mache ich denn damit? Einfach ausrechen in Welchem Punkt die Gerade diese beiden Ebenen durchschneidet? Aber für was hab ich dann den Hesse gebraucht?

???

Irgendwie komm ich mir schlauer und zugleich dümmer zuvor vor. Aber ich bin echt dankbar für die Hilfe smile

) ... muss ja auch mal gesagt sein

10.02.2006, 23:19

mYthos

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Zum normierten Vektor:

Nehmen wir mal die Ebene E:

x + 4y - 8z - 6 = 0

Deren Normalvektor ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dessen Länge ist 9. Wenn man ihn nun durch 9 dividiert (d.h. auf 1/9 verkürzt), hat der die Länge 1:

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{9} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix}| = \frac{1}{9} \cdot |\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix}| = \frac{1}{9} \cdot 9 = 1 \end{eqnarray*}$

Zmm Gleichsetzen der beiden Hesse'schen Normalformen:

Dein Beginn war (fast) OK!

$\begin{eqnarray*} \frac{x + 4y - 8z - 6}{9} = \pm \frac{x - 2y + 2z - 12}{3} \end{eqnarray*}$

Alle gesuchten Punkte, die die Bedingung: Abstand zu E = Abstand zu F erfüllen, lauten X(x;y;z) - es sind ja viele. Deswegen können bei den Abständen jetzt die laufenden Koordinaten x, y, z drinnen stehen bleiben, obgleich sie bereits durch die Punkte der (gesuchten) Symmetralebenen ersetzt wurden.

nun mit 9 multiplizieren

$\begin{eqnarray*} x + 4y - 8z - 6 = \pm (3x - 6y + 6z - 36) \end{eqnarray*}$

Nun einmal mit dem postiven, dann mit dem negativen Vorzeichen weiterrechnen, -> Winkel-Symmetralebenen $\begin{eqnarray*} S1, S2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_1: 2x - 10y + 14z = 30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_2: 4x - 2y - 2z = 42 \end{eqnarray*}$

Beide Ebenen mit der Geraden schneiden und du bist fertig!

Gr.
mYthos

11.02.2006, 12:50

LyriaEL

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Juhui! *soebenfertiggelösthatundrichtigeresultatebekommenhat*

Prost

Vielendank Mythos!

die Hesses'sche Normalform leuchtet mir zwar immer noch nicht ganz ein, aber zumindest kann ich sie einigermassen anwenden...

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