Optimierungsaufgabe (Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung)

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ka Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsaufgabe (Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung)
Ich habe noch eine zweite Aufgabe die ich nicht lösen kann.

Aufgabe: Gegeben sei eine Produktionsfunktion vom Cobb-Douglas-Typ

P(K,A) = 10K^0.25 * A^0.75

a) Die Preise pro Einheit Kapital und Arbeit sind pk=2 und pA= 6. Für welche Produktionsfaktorkombination (K,A) werden die Kosten C(K,A) minimal, fallss 80 Einheiten produziert werden sollen?


Ich habe so begonnen: Zielfunktion: C(K,A)= rK+WA , wobei r=PK= 2 und w=pA=6 also C(K,A)=2K +6A

Nebenbedingung: f(K,A)= 10K^0.25 *A^0.75=80
=10K^0.25*A^0.75 - 80=0


L=Lamda (schreibt man das so?) verwirrt

Lagrange Fkt: F(K,A,L)= 2K + 6A 1 L(10K^0.25*A^-0.75 -80)

Fk= 2 + L(2.5K^-0.75*A^0.75)=0
FA= 6+L(10K^0.25*0.75A^-0 .25)=0
FL= 10K^0.25* A^0.75 - 80=0

stimmt das bisher gemachte?
könnt ihr mir weiter helfen wie ich die erste und 2Gleichung auflösen kann um diese in die dritte einsetzen zu können?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Optimierungsaufgabe (Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung
Was hälst du davon alternativ zu einem Lagrange-Ansatz die Grenzrate der Substitution (GRS) und das Faktorpreisverhältnis gleichzusetzen?

Deine Budgetgerade hat eine Steigung, die gleich dem (negativem) Faktorpreisverhältnis ist. Im Minimum muss diese die Isoquante der CD-Funktion berühren, d.h. das Faktorpreisverhältnis muss gleich der GRS sein.

Grüße Abakus smile

siehe auch hier: Implizite Funktion

EDIT: es heißt Lambda, und wenn du den Latex-Editor benutzen könntest, ließen sich die Rechnungen besser erkennen.
ka Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Optimierungsaufgabe (Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung
Sorry, komme aber immer noch nicht weiter. Ich kenne nur den Lagrange Ansatz. Vielleicht kannst du mir trotzdem weiterhelfen.?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Optimierungsaufgabe (Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung
Zunächst die Aufgabe mit Latex hingeschrieben:

Gegeben sei eine Produktionsfunktion vom Cobb-Douglas-Typ:



Die Preise pro Einheit Kapital und Arbeit sind und . Für welche Produktionsfaktorkombination werden die Kosten minimal, falls Einheiten produziert werden sollen?

Damit ergibt sich folgendes Optimierungsproblem:





Nun diskutieren wir 2 Lösungsansätze:

I. Ansatz mit GRS = Steigung der Budgetgeraden

Für die Grenzrate der Substitution (GRS) ergibt sich:



.

(Die GRS ist als positiv definiert; wir wissen natürlich, dass die Steigung der Isoquante hier negativ ist.)

Andererseits hat die Budgetgerade eine Steigung von . Beides gleichgesetzt ergibt nun: . Mit Einsetzen in die Nebenbedingung folgt sofort .


II. Ansatz mit Lagrange-Methode

Zunächst wird die Lagrange Funktion ermittelt:



Die partiellen Ableitungen ergeben sich zu:

(1)
(2)
(3)

Nullsetzen der part. Ableitungen und geeignete Division von (1) mit (2) ergibt:

.

Das ist dassselbe wie in Ansatz I auch (besonders viel gibt es hier nicht mehr zu tun). Es folgt analog .

Grüße Abakus smile
Tresa Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

darf man diese Methode mit dem Teilen der Funktionen eigentlich immer bei Lagrange anwenden? Oder geht das nur bei Cobb Douglas?

Vielen Dank für die Antwort
supahotfeier Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den ausführtlichen und gut strukturierten Post, hilft mir gerade sehr weiter. Allerdings glaube ich es befindet sich bei den partiellen Ableitungen ein Vorzeichenfehler (+ statt - Lambda). Ansonsten wüsste ich nicht, wodurch sich das Vorzeichen ändern sollte.

Liebe Grüße
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du (formal) Recht.
Allerdings ändert es nichts am Resultat, denn der Lagrange-Ansatz könnte ebenso gut mit hergestellt worden sein.

mY+
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