Optimierungsaufgabe (Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung) |
11.02.2006, 14:41 | ka | Auf diesen Beitrag antworten » |
Optimierungsaufgabe (Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung) Aufgabe: Gegeben sei eine Produktionsfunktion vom Cobb-Douglas-Typ P(K,A) = 10K^0.25 * A^0.75 a) Die Preise pro Einheit Kapital und Arbeit sind pk=2 und pA= 6. Für welche Produktionsfaktorkombination (K,A) werden die Kosten C(K,A) minimal, fallss 80 Einheiten produziert werden sollen? Ich habe so begonnen: Zielfunktion: C(K,A)= rK+WA , wobei r=PK= 2 und w=pA=6 also C(K,A)=2K +6A Nebenbedingung: f(K,A)= 10K^0.25 *A^0.75=80 =10K^0.25*A^0.75 - 80=0 L=Lamda (schreibt man das so?) Lagrange Fkt: F(K,A,L)= 2K + 6A 1 L(10K^0.25*A^-0.75 -80) Fk= 2 + L(2.5K^-0.75*A^0.75)=0 FA= 6+L(10K^0.25*0.75A^-0 .25)=0 FL= 10K^0.25* A^0.75 - 80=0 stimmt das bisher gemachte? könnt ihr mir weiter helfen wie ich die erste und 2Gleichung auflösen kann um diese in die dritte einsetzen zu können? |
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11.02.2006, 18:34 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Optimierungsaufgabe (Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung Was hälst du davon alternativ zu einem Lagrange-Ansatz die Grenzrate der Substitution (GRS) und das Faktorpreisverhältnis gleichzusetzen? Deine Budgetgerade hat eine Steigung, die gleich dem (negativem) Faktorpreisverhältnis ist. Im Minimum muss diese die Isoquante der CD-Funktion berühren, d.h. das Faktorpreisverhältnis muss gleich der GRS sein. Grüße Abakus siehe auch hier: Implizite Funktion EDIT: es heißt Lambda, und wenn du den Latex-Editor benutzen könntest, ließen sich die Rechnungen besser erkennen. |
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13.02.2006, 12:50 | ka | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Optimierungsaufgabe (Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung Sorry, komme aber immer noch nicht weiter. Ich kenne nur den Lagrange Ansatz. Vielleicht kannst du mir trotzdem weiterhelfen.? |
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13.02.2006, 18:09 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Optimierungsaufgabe (Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung Zunächst die Aufgabe mit Latex hingeschrieben: Gegeben sei eine Produktionsfunktion vom Cobb-Douglas-Typ: Die Preise pro Einheit Kapital und Arbeit sind und . Für welche Produktionsfaktorkombination werden die Kosten minimal, falls Einheiten produziert werden sollen? Damit ergibt sich folgendes Optimierungsproblem: Nun diskutieren wir 2 Lösungsansätze: I. Ansatz mit GRS = Steigung der Budgetgeraden Für die Grenzrate der Substitution (GRS) ergibt sich: . (Die GRS ist als positiv definiert; wir wissen natürlich, dass die Steigung der Isoquante hier negativ ist.) Andererseits hat die Budgetgerade eine Steigung von . Beides gleichgesetzt ergibt nun: . Mit Einsetzen in die Nebenbedingung folgt sofort . II. Ansatz mit Lagrange-Methode Zunächst wird die Lagrange Funktion ermittelt: Die partiellen Ableitungen ergeben sich zu: (1) (2) (3) Nullsetzen der part. Ableitungen und geeignete Division von (1) mit (2) ergibt: . Das ist dassselbe wie in Ansatz I auch (besonders viel gibt es hier nicht mehr zu tun). Es folgt analog . Grüße Abakus |
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19.05.2015, 18:30 | Tresa | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, darf man diese Methode mit dem Teilen der Funktionen eigentlich immer bei Lagrange anwenden? Oder geht das nur bei Cobb Douglas? Vielen Dank für die Antwort |
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26.02.2017, 13:12 | supahotfeier | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für den ausführtlichen und gut strukturierten Post, hilft mir gerade sehr weiter. Allerdings glaube ich es befindet sich bei den partiellen Ableitungen ein Vorzeichenfehler (+ statt - Lambda). Ansonsten wüsste ich nicht, wodurch sich das Vorzeichen ändern sollte. Liebe Grüße |
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27.02.2017, 01:04 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da hast du (formal) Recht. Allerdings ändert es nichts am Resultat, denn der Lagrange-Ansatz könnte ebenso gut mit hergestellt worden sein. mY+ |
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