Aufgabe zu Eigenwerten - Ein seltsamer Tipp

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Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu Eigenwerten - Ein seltsamer Tipp
Ich soll hier jemandem ne Aufgabe erklären, aber bekomm es selber nicht ganz raus.
Es geht um die Matrix



Es sollen die Eigenwerte berechnet werden.

Das heißt, so ganz stimmt das nicht, ich bekomme schon was raus. Meine Methode wäre gewesen, für das charakteristische Polynom eine Rekursionsgleichung zu erraten, diese mit vollständiger Induktion etwa über Entwicklung nach Laplace zu beweisen, und dann daraus eine explizite Darstellung zu gewinnen. Scheint alles zu gehen, obwohl ich an einer Stelle noch hänge, glaube ich, daß das bloß Rechenarbeit ist.

Jetzt gibt es aber hier den seltsamen Tipp:

"Beachte: mit ."

Und mit dem kann ich einfach mal überhaupt nichts anfangen. Kann ich die Eigenwerte irgendwie einfacher ausrechnen, wenn ich die Matrix so als Produkt von Vektoren darstellen kann? Das es dann nur einen Eigenwert ungleich 0 gibt, ist mir klar, es sind ja alle Zeilen linear abhängig. Aber wie komm ich an den einen ran?

Bin für jeden Tipp dankbar smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu Eigenwerten - Ein seltsamer Tipp
Wenn man so gar keine weitere Idee hat, kann man ja mal die Fälle n=2, n=3, n=4, ... anschauen und so zu einer Vermutung bzgl. des einen von Null verschiedenen Eigenwerts kommen. Augenzwinkern

Oder man multipliziert gleich rechts an



dran...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ kann man sich auch überlegen, welchen Exponenten der Linearfaktor im Minimalpolynom hat und dieses dann einfach mit dem weiteren (noch nicht bekannten) Eigenwert hinschreiben:

.

Naja und dann denkt man noch daran, was das Minimalpolynom eigentlich war.

Aber Arthurs Tipp ist natürlich doch wesentlich einfacher.
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Aja, also ist a ein Eigenvektor zum Eigenwert ||a||². Das ist natürlich wirklcih schön schnell.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So clever ist die Idee gar nicht, sondern eher zwangsläufig: ist nur eindimensional, und enthält genau die Vielfachen von . Da müssen die Eigenvektoren natürlich auch dort zu finden sein. Augenzwinkern
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