JNF einer nilpotenten Matrix

29.05.2008, 20:00

chr1s1

JNF einer nilpotenten Matrix

Die Überschrift lässt ja keine schwere Aufgabe vermuten, aber mit dem Ansatz hapert es, vlt. weil ich eine genau Lösung suche, aber man unter Umständen eine Fallunterscheidung machen muss, aber erstma die Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f:K^{5}\rightarrow K^{5} \end{eqnarray*}$ eine nilpotente Abbildung mit $\begin{eqnarray*} ker(f)\subseteq Im(f) \end{eqnarray*}$ . Bestimmen sie die Jordansche Normalform von f.

Mein Problem is einfach, dass mir das zu wenige Informationen sind, dass einzige was ich halt rauslese is das $\begin{eqnarray*} dim ker(f)<dim Im(f) \end{eqnarray*}$ und somit dim Ker(f) entweder 1 oder 2 ist. Nun stellt sich mir die Frage ob, wenn die Dimension 2 ist gelten muss $\begin{eqnarray*} dim Ker(f^{2})=4 \end{eqnarray*}$ die Dimension also nochmal um 2 zunimmt.

Mein Problem ist nun halt das ich gerne eine einzige Lösung hätte, es jedoch sehr danach aussieht, als ob es mehrere gibt, halt je nach dem, welche Dimension der Kern hat.

Bin für Tipps sehr dankbar.

mfg

29.05.2008, 22:22

Mathespezialschüler

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Du vermutest ja schon, dass es mehrere Lösungen gibt. Warum probierst du nicht einfach aus, ob dies wirklich der Fall ist? Welche JNFen kommen deiner Meinung nach in Frage? Erfüllen diese die gegebenen Voraussetzungen?

30.05.2008, 16:29

chr1s1

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Na dann probiere ich es doch einfach mal.

Angenommen der Kern von f ist 1, daraus folgt, dass die Matrix von f in genau einen Jordanblock zerfällt, woraus folgt, dass es $\begin{eqnarray*} J_{5}(0) \end{eqnarray*}$ sein muss.

Angenommen der Kern von f ist 2, somit zerfällt die Matrix in 2 Jordanblöcke, in Frage kommen die beiden Kombinationen ein einer und ein vierer oder eine zweier und ein dreier. Um das herauszufinden lösen wir einfach das schöne Gleichungssystem, dass sich aus den Rängen ergibt:

$\begin{eqnarray*} rk(f^{0})=5=\rho_{1}+2\rho_{2}+3\rho_{3}+4\rho_{4} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \rho_{k} \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Jordanblöcke der Dimension k zum Eigenwert 0 ist.

$\begin{eqnarray*} rk(f)=3=\rho_{2}+2\rho_{3}+3\rho_{4} \end{eqnarray*}$

Dies reicht nun noch nicht um das Gleichungssystem eindeutig zu lösen, demnach brauchen wir noch eine Gleichung und jetzt bin ich mir nicht sicher, ob das was ich mir denke richtig ist.
Also wir wissen, dass der Kern von f ganz im Bild enthalten ist, demnach gibt es im Bild einen 2 dimensionalen UR der auch auf die 0 abgebildet wird, demnach müsste der rk von f² 1 sein, aber wie gesagt, da bin ich mir nicht sicher. Somit hätten wir dann jedoch:

$\begin{eqnarray*} rk(f^{2})=1=\rho_{3}+2\rho_{4}+\cdots \end{eqnarray*}$

Somit wird dann klar, dass gilt $\begin{eqnarray*} A=J_{3}(0)\oplus J_{2}(0) \end{eqnarray*}$

So, dass wäre es von mir, hab ich irgendwo einen Denkfehler?

mfg

31.05.2008, 11:49

Mampf

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danke

31.05.2008, 17:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von chr1s1
Angenommen der Kern von f ist 1, daraus folgt, dass die Matrix von f in genau einen Jordanblock zerfällt, woraus folgt, dass es $\begin{eqnarray*} J_{5}(0) \end{eqnarray*}$ sein muss.

Der Kern kann natürlich nicht 1 sein. Du meinst sicher dessen Dimension. Augenzwinkern

Zitat:

Original von chr1s1
Angenommen der Kern von f ist 2, somit zerfällt die Matrix in 2 Jordanblöcke, in Frage kommen die beiden Kombinationen ein einer und ein vierer oder eine zweier und ein dreier.

Richtig. Und dabei kommt die erste Variante nicht in Frage. Das kann man sich ganz einfach (auch ohne Gleichungssysteme) klarmachen. Dann sähe die JNF so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Diese ist ja die Darstellungsmatrix bzgl. einer Basis {e1,e2,e3,e4,e5}. Das Bild ist aber span{e2,e3,e4}. Also ist der Kern nicht im Bild enthalten, denn e1 ist im Kern.

01.06.2008, 13:48

chr1s1

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Vielen Danke euch beiden.

mfg

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