Ableiten und Aufleiten von Beträgen

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Neodon Auf diesen Beitrag antworten »
Ableiten und Aufleiten von Beträgen
Weiß jemand von euch wie man in Ab- und Aufleitungen Beträge handhabt

So ganz allgemein mal
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist eine "Aufleitung"?

also f(x) = |x|
dann ist f'(x) = sgn(x) ... also das hier ist die 1. Ableitung! f''(x) wär dann 0.
Neodon Auf diesen Beitrag antworten »

Aufleitung ist eine Integration...logisch, oder?! Augenzwinkern

und wie funktioniert das bei einer Zahl bzw. was ist denn sgn()
z.B. sgn(5)=
sgn(20)=
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, aber das haben wir noch nicht gemacht Augenzwinkern

Also sgn(x) = 1 für x > 0, 0 für x = 0; -1 für x < 0;

also einfach die steigung der betragsfunktion überall smile
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

die integration an sich müsste gnaz normal gehen (bin mir aber auch nicht zu 100% sicher), du darfst dann natürlich die betragsstriche nicht vergessen.
und nachher beim einsetzen der grenzen musst du auch an den betrag denken.

S(|x|)dx = [|x^2|/2] (S=integralzeichen)

ok ist ein mieses beispiel, da |x^2|=x^2.
Neodon Auf diesen Beitrag antworten »

und wie sieht das dann z.B. hiermit aus?

S(|(x+2)|/4)dx ... also wenn das x nicht alleine steht?
 
 
jama Auf diesen Beitrag antworten »

integration war das erste was ich verdrängt habe Augenzwinkern
Neodon Auf diesen Beitrag antworten »

ob das wohl einen Grund hat...??
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jama
integration war das erste was ich verdrängt habe Augenzwinkern

ich finde integration doch schon ziemlich wichtig, zum einen, weil man es ziemlich oftz.b. in der physik gebraucht (ich hab Physik LK), und zum anderen weil es eigentlich ziemlich easy ist und auch wohl spass macht.

edit:
mir fällt grade ein dass man betragsfunktionen weder integrieren noch ableiten kann, weil sie ja nicht "stetig" sind. glaub ich zumindest. naja jedenfalls geht es nciht weil die ja nicht so schön geschwungen sind sondern einen knick haben.

ist ja auch ganz leicht nachzuvollziehen:
welche steigung herrscht denn bitte an dieser knickstelle? das kriegt man doch nie im leben raus, weil man da überhaupt nicht eindeutig eine tangente anlegen kann.
jama Auf diesen Beitrag antworten »

die funktion |(x+2)|/4 kannst du nur da integrieren, wo es stetig ist. an der stelle x = -2 kann man, wie blackjack schon gesagt hat, keine tangente bestimmen (es gibt 2). trotzdem lässt sich die funktion an allen anderen stellen integrieren. die stelle x=-2 darf halt nur nicht im intervall sein.....
Neodon Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, danke mal
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Die Betragsfunktion ist im Nullpunkt zwar stetig (stetig="keine Löcher") aber nicht differenzierbar(differenzierbar="keine Knicke").

Gruß vom Ben
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

genau das - sie ist nicht differenzierbar, weil die 1. ableitung f' in 0 unstetig ist.
das sieht man auch ganz leicht an einem bild Augenzwinkern

formeln/betrag.jpg

bei 0 "springt" die signum funktion -> unstetig
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist falsch. Erstmal existiert im Nullpunkt gar keine Ableitung, weil die Betragsfunktion da eben nicht differenzierbar ist.
Und es gibt Beispiele, wo eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist, aber die Ableitung trotzdem nicht stetig. "Stetige Differenzierbarkeit" ist eine stärkere Eigenschaft als "Differenzierbarkeit".

Gruß vom Ben
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

hm ups geschockt

hm... ich wollte ja irgendwie zeigen, warum da keine ableitung existiert.
zeig mal bitte so ein beispiel...
trotzdem glaub ich weiter, dass sie nicht differenzierbar ist, weil die ableitung an x=0 unstetig ist Augenzwinkern
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Im Moment leider keine Zeit, aber werd mich drum kümmern.

Gruß vom Ben
jama Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thomas
hm ups geschockt

hm... ich wollte ja irgendwie zeigen, warum da keine ableitung existiert.
zeig mal bitte so ein beispiel...
trotzdem glaub ich weiter, dass sie nicht differenzierbar ist, weil die ableitung an x=0 unstetig ist Augenzwinkern


die ableitung ist in x=0 einfach nicht existent. insofern ist deine grafik auch falsch, weil bei dir 2 y-werte für x=0 sind. eigentlich müsste da eine definitionslücke sein.


Zitat:
trotzdem glaub ich weiter, dass sie nicht differenzierbar ist, weil die ableitung an x=0 unstetig ist


die aussage ist nur nicht korrekt formuliert. unstetig gibt es nicht. die ableitung ist an der stelle 0 einfach nur nicht existent.

- stetig ist eine funktion in IR dann, wenn man sie zeichnen kann ohne abzusetzen und wieder woanders aufzusetzen.
- differenzierbar ist eine funktion in einem punkt, wenn man an den punkt eine tangente anlegen kann.
- wenn eine funktion differenzierbar ist, ist sie somit zwangsläufig auch stetig. andersherum ist sie aber nicht zwangsläufig differenzierbar, wenn sie stetig ist, wie in diesem fall.

definition einer stetigen differenzierbarkeit:

Zitat:
Die Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert die Differenzierbarkeit, d.h. die Existenz der totalen Ableitung


(Autoren: Höllig/Streit)


der beweis: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...rlaeuterung256/

@ben sisko: studierste zufällig mathe? "stetige differenzierbarkeit" scheint mir jedenfalls kein schulstoff zu sein Augenzwinkern
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Die Grafik war nur ein Beispiel wie es ungefähr aussieht, aber sie ist nicht richtig, da hast du recht.

Ich hab mir von einem Programm einfach die Betrags- und die Signum-Funktion zeichnen lassen - normalerweise müsste bei +- 1 ein leerer Kreis sein und dafür bei 0 ein ausgefüllter.

Ich weiß dass hier keine Ableitung existent ist - und zwar weil sie hier nicht stetig ist, sondern springt. Das ist zumindest meine begründung, ich glaube das haben wir in Mathe auch mal gemacht, ich kann nochmal im Heft nachsehen.

Warum gibt es kein unstetig? verwirrt
jama Auf diesen Beitrag antworten »

wie kann ein "punkt" irgendwas sein, wenn er da nicht existiert. der graph ist an der stelle unstetig. aber nicht der punkt.... würd ich sagen Big Laugh

ok, also gäbe es das wort doch .. :P
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

ich sage ja nicht dass es da die ableitung war. sondern einfach nur die signumfunktion...

ja genau! jetzt verstehst du mich Augenzwinkern
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


@ben sisko: studierste zufällig mathe? "stetige differenzierbarkeit" scheint mir jedenfalls kein schulstoff zu sein Augenzwinkern


Jup, deswegen hatte ich die letzten Tage auch keine Zeit. Hab meine letzte Vordiplomsprüfung gemacht - erfolgreich... smile
Hab mitten in der Nacht allerdings immer noch keine Funktion auf Lager, die diffbar ist, aber deren Ableitung nicht stetig unglücklich

Gruß vom Ben
jama Auf diesen Beitrag antworten »

wooohooo. dann mal ein herzliches glückwunsch ! Gott Gott Gott Prost Prost

jetzt müssen wir noch nur die funktion finden Augenzwinkern

aber .. mitten in der nacht? zu der zeit war ich schon auffer arbeit Big Laugh
Neodon Auf diesen Beitrag antworten »

ist es nicht so, dass es das gar nicht geben kann? (zumindest nicht im reellen bereich)

Es müsste ja dann, wenn ich das richtig verstehe, die erste Ableitung gleich Null sein...was meiner Ansicht nach nur bei einer Zahl möglich ist!!
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal eine Arbeit zu Funktionen, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar sind:

http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/i..._ws_02/sndf.pdf

f(x)=x²cos(1/x) für x ungleich 0 und f(0)=0 (siehe http://www-ifm.math.uni-hannover.de/~rit...ungen/ueb11.pdf Aufgabe 2, f2) ist eine Funktion, die differenzierbar auf ganz R ist, deren Ableitung im Nullpunkt aber nicht stetig (Beweis siehe http://www-ifm.math.uni-hannover.de/~rit...ungen/lsg11.pdf )

Gruß vom Ben
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jama
aber .. mitten in der nacht? zu der zeit war ich schon auffer arbeit Big Laugh


Also erstmal geht eure Uhr hier falsch Augenzwinkern Es war erst 5.33 Uhr. Ich bin aber tatsächlich dann erst schlafen gegangen. Ein Hoch auf Semesterferien 8)

Gruß vom Ben
jama Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß. und um 5:33 uhr war ich auf der arbeit Augenzwinkern
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann mein Beileid! geschockt
Aber vor 6.00 Uhr morgens "darf" man meiner Meinung nach noch Nacht sagen. Das "mitten" nehm ich zurück... smile

Gruß vom Ben
jama Auf diesen Beitrag antworten »

na ok, das gildet smile

huch, ich hab wohl die links übersehen, die du vorher gepostet hast. *sich anschau*
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

hi leute, ich bin wieder daaaaaaaaaaaa smile
so ich werde mir das mal anschauen was ihr so gepostet habt und mich dann wieder melden Augenzwinkern
Urmion Auf diesen Beitrag antworten »
Integral vom Betrag
Bei eurer Diskussion habt ihr irgendwie das Wesentliche vergessen noch zu klären, genau das, was mich irgendwie gerade beschäftigt: as ist den nun die Stammfunktion von |x|, also von Wurzel (x^2) ?
|x| ist zwar nicht differenzierbar, aber doch für zwei Intervalle differenzierbar und somit hat man die Funktion sgn(x) definiert. Genauso müsste man doch auch intervallweise eine Stammfunktion bilden könne, oder?
Per Substitution haben wir gerade 1/3*x^2 raus, andererseits gibt es in einem Buch die Lösung 1/2*x*Wurzel(x)... verwirrt

Hoffe, ihr kommt noch mal auf dieses Thema zurück.
Yoshee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral vom Betrag
Zitat:
Original von Urmion
Bei eurer Diskussion habt ihr irgendwie das Wesentliche vergessen noch zu klären, genau das, was mich irgendwie gerade beschäftigt: as ist den nun die Stammfunktion von |x|, also von Wurzel (x^2) ?
|x| ist zwar nicht differenzierbar, aber doch für zwei Intervalle differenzierbar und somit hat man die Funktion sgn(x) definiert. Genauso müsste man doch auch intervallweise eine Stammfunktion bilden könne, oder?
Per Substitution haben wir gerade 1/3*x^2 raus, andererseits gibt es in einem Buch die Lösung 1/2*x*Wurzel(x)... verwirrt

Hoffe, ihr kommt noch mal auf dieses Thema zurück.

Du kannst das doch auch als abschnittsweise definierte funktion schreiben: http://upload.wikimedia.org/math/8/8/a/88a1e35f8d752b2f04e563a3beff6d54.png
Dann kannst du einzeln integrieren und erhälst für postive x und für negative x.

zu stetig differenzierbar:
Ist ln(x) nicht eine funktion, die nicht stetig differenzierbar ist?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann es sogar in einem schreiben:



Achja:


air
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