Integralrechnung

12.02.2006, 20:46

spukoline

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Integralrechnung

Hallo, ich brauch dringend Hilfe in der Integralrechnung!!!!!!

Meine Freundin schreibt morgen eine Matheklausur in der FH und versteht nicht, wie sie folgendes Integral lösen kann. Ich wollte ihr helfen, schaffe es aber nicht.
Kann uns jemand helfen ?? BITTE Bitte. ist sehr wichtig.

Ich habe es mittels Substitution versucht, aber nicht geschafft.

Das Integral lautet:
Integralvon 1 / ( x^2 * sqr(a^2 - x^2) )

Muss man nicht als z dann a^2 - x^2 setzen?? Aber es geht irgendwie nicht.
Die Lösung ist angeblich: - (sqr (a^2 - x^2) / (a^2 * x))
Falls das stimmt.

Kann mir jemand den rechenweg zeigen??

Wäre super
Vielen, vielen dank imVorraus schon mal

die Spukoline

12.02.2006, 21:15

spukoline

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RE: Integralrechnung
Huhuuuu,

hab nochmal nachgedacht.

muss ich
z = (2 - 3x) setzen??
und dann ableiten??

also d(x) = d(z) / -3 ???
Kann das sein??

aber was dann???

12.02.2006, 21:16

Lazarus

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Ich verpacks mal ein bisschen in Latex damit mans anschauen kann:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x^2\cdot \sqrt{a^2-x^2}} \end{eqnarray*}$
und die Lösung soll sein:
$\begin{eqnarray*} F(x)=-\frac{ \sqrt{ a^2 - x^2} }{ a^2 \cdot x} \end{eqnarray*}$

Zum Lösungsweg sei soviel gesagt: deine Substitution ist nicht alzu Hilfreich.

Ich empfehle eher $\begin{eqnarray*} x=a\cdot\sin{z} \end{eqnarray*}$

Servus

12.02.2006, 21:16

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von spukoline
Muss man nicht als z dann a^2 - x^2 setzen??

Probiere das doch einfach mal und zeige, wie weit du kommst!

Gruß MSS

12.02.2006, 21:24

spukoline

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hallo Lazarus, danke erst mal für die antwort
verstehe allerdings nicht wie ich auch das mit dem sinus kommen soll??

also, ichhabdas mal mitz = a^2 - x^2 probiert
da kam raus : d(x) = d(z) / -2x

dann hab ich gemacht:

integral von [1 / (x^2 * sqr(z)) ] * d(z)/-2x

dann hab ich das 1/2 vorgezogen:

-1/2 integral 1/(x^2*sqrz) d(z)

dann die ableitung oder??

ah ich hab grad ein blackout

12.02.2006, 21:28

Lazarus

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Das Problem ist das du vergessen hast den Faktor x^2 vor der Wurzel auch zu ersetzen.
Und dadurch bekommste dann einen ziemlich "doofen" Term, mit dem sich auch nicht viel mehr anfangen lässt...

Wie man drauf kommt...nun, von der Struktur her (Quadrat unter der Wurzel und ein Bruch) liegts halt nahe. Mit genügend viel Übung kennt man dann solche Aufgaben die ähnliches Vorgehen erfordern.

Servus

\\Edit: Keine Angst vor Trigometrischen Funktionen .. die beissen nur selten und helfen als Substitution (oft bis meist) weiter.

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12.02.2006, 21:33

spukoline

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????
Was?? ich habe das letzte mal vor vier jahren integrale gerechnet??
Hab keine ahnung mehr :
stimmt den -1/2 integral 1/ (x^2 *sqr(z)) * (-1/ 2x) d(z) ???

und dann muss ich doch die die stammfunktion machen, oder??

aber wie und wovon genau???

12.02.2006, 21:40

spukoline

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ach neee

hab ja das - 1/2 vorgezogen
also heißt es

-1/2 Integral 1/(x^2 * sqr z) * 1/x d(z)

oder??

und dann die Stammfunktion von 1/(x^2 + sqr z) bilden oder??

12.02.2006, 21:53

spukoline

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ich glaub ich gebs auf

komm nicht weiter und vor lauter hin und her bin ich so durcheinander das ich nicht mal mehr ne ableitung von

1/sqr(z) bilden kann

bin ich ja schon ein wenig depri
20mal gerechnet und 20 unterschiedliche ergebnisse

suuuuper

traurig

traurig

traurig

traurig

traurig

13.02.2006, 00:46

Lazarus

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jetzt verzweifel doch nicht gleich!

die ableitung von g(x)=1/sqrt(z) zu berechen sollte sich wirklich nicht als alzu schwer rausstellen:

1/sqrt(z) = z^-(1/2);
daraus dann einfach die Potenzregeln anwenden:

[z^-(1/2)]'=-1/2*z^(-3/2)

Zum Integral:

Dein Fehler ist das du nur ein x durch z substituierst.
Du musst jedoch ALLE x die vorkommen durch x-freie (und damit z-haltige) Terme ersetzten.

Servus

13.02.2006, 14:59

spukoline

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Hallo, da bin ich wieder.
Danke noch ma für die Antwort, bin jetzt wieder etwas munterer und probiers nochmal.

Ach soooo, das wußte ich nicht mehr das man alle x nehmen muss. Eigentlich klar.
Hoffe habdas jetzt richtig verstanden.

Muss ich dann x^2 und sqr(a^2 - x^2) getrennt behandeln oder kann ich alles als z setzen??

Ich probier es grad mal aus.
Bis gleich

Tanzen

Tanzen

13.02.2006, 15:17

spukoline

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oh, oh, oh, oh verwirrt

verwirrt

irgendetwas stimmt hier ganz gewaltig nicht:

also ich hab einmal z = x^2 gesetzt und einmal z= a^2 - x^2
die ableitungen waren dann

z' = 2x und z'= -2x

daraus ergab sich d(z) = 1/2x d(x) und d(z) = 1/-2x d(x)

dann ins integral eingesetzt:

Integral (1/(z*sqr(z)) * 1/2x * 1/(-2x) d(x) !?!?!?!

dann wollte ich ds integral auflösen also die Stammfunktion und dann kamMist raus, nämlich :

-3/2 z^-6/2 * 1/2x * 1/-2x d(x)

sooo, da hab ich den mist ??? jetzt müsste ich ja z wieder einsetzen, aber ich hab ja zwei z oben und eins unten ????

was den nun???? Hilfe

Hilfe

Hilfe

Hilfe

Hilfe

verwirrt

ich bräuchte einen tip Lehrer

Lehrer

13.02.2006, 15:36

spukoline

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also wenn ich aber für z nehme

z = x^2 * sqr(a^2-x^2) dann brauch ich doch ne bestimmt ableitungsregel, oder???

muss ich da diese anwenden?? :

u' * v + v' *u

13.02.2006, 15:58

spukoline

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stimmt das?? :

z' = 2x * sqr(a^2 - x^2) + x^2 *-x

hab ich das richtig abgeleitet

13.02.2006, 17:10

Calvin

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Mit dieser Substitution wirst du vermutlich nicht sehr weit kommen. Warum probierst du nicht mal den Vorschlag von Lazarus? Du brauchst dafür lediglich noch $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Lazarus
Ich empfehle eher $\begin{eqnarray*} x=a\cdot\sin{z} \end{eqnarray*}$

13.02.2006, 22:19

spukoline

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Calvin

ich würde gerne deinen und den Vorschlag von lazarus verwenden, weiß aber nicht wie ihr darauf kommt.

sinus, woher stammt das??

ich dachte ich müßte einfach alles unter dem bruchstrich gleich z setzen?ß Scheint aber falsch zu sein.

bitte geb mir nochmal einer einen tip was ihr damit meint.

smile

smile

13.02.2006, 22:45

Calvin

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Zitat:

Original von spukoline
ich würde gerne deinen und den Vorschlag von lazarus verwenden, weiß aber nicht wie ihr darauf kommt.

sinus, woher stammt das??

Mit ein bißchen Erfahrung kommt man darauf. Sinn dieser Substitution ist es, aus dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2(z)} \end{eqnarray*}$ zu machen. Mit Ausklammern und dem Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \sin^2(z)+\cos^2(z)=1 \end{eqnarray*}$ löst sich die Wurzel auf. Probiere es doch einfach mal aus.

Ich glaube dir, dass für dich die Substitution völlig skuril erscheint. Aber vielleicht erscheint es dir sinnvoller, wenn du es mal durchgerechnet hast und du im Nachhinein versuchst, alles nachzuvollziehen.

13.02.2006, 22:59

spukoline

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Hmmmm......

also ich glaube ich versteh immer noch nix

oh nee, bin ich so depp

soll ich jetzt sin^2(z) = 1- cos^2(z) einsetzen in

sqr( â^2 - a^2sin^2(z) )

das wäre dann

sqr( a^2 - a^2*(1-cos^2(z))

und dann??? a^2 raus??

a^2 * sqr (1-(-cos^2(z))

neee, ich mach bestimmt nur mist

hmm....

calvin, ich würde es immer noch gerne ausprobierne, aber wie??????

13.02.2006, 23:15

Abakus

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Der Vorschlag war die Substitution $\begin{eqnarray*} x := a * sin(z), also~ dx = a * cos(z) * dz \end{eqnarray*}$ .

Um das anzuwenden, brauchst du die Substitutionsregel.

Grüße Abakus smile

smile

14.02.2006, 17:50

Calvin

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Zitat:

Original von spukoline
soll ich jetzt sin^2(z) = 1- cos^2(z) einsetzen in

sqr( â^2 - a^2sin^2(z) )

[...]

a^2 * sqr (1-(-cos^2(z))

Du hast hier keinen Fehler gemacht. Es würde dich sogar zum Ziel bringen. Aber ich habe einen anderen Vorschlag Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hast richtigerweise $\begin{eqnarray*} x=a\sin(z) \end{eqnarray*}$ ersetzt und hast dadurch $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2-a^2\sin^2(z)} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt a^2 ausklammern und dann $\begin{eqnarray*} \sin^2(z)+\cos^2(z)=1 \Leftrightarrow \cos^2(z)=1-\sin^2(z) \end{eqnarray*}$ ersetzen.

ABER: danach nicht vergessen, die restlichen x und dx zu substituieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.02.2006, 19:18

Lazarus

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wenn du a ausgeklammert hast, kannst du daraus die wurzel ziehen, genauso wie aus cos^2(x) das du erhältst wenn du die formel cos^2(x)=1-sin^2(x) "rückwärts" anwendest.

danach ist es ein spaziergang Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2006, 20:05

spukoline

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aha, ok danke ihr beiden.

Werde nachher wieder mal mein Glück probieren.
Ma schauen was dabei rauskommt, bzw. ob überhaupt was rauskommt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tanzen

aber ob es ein spaziergang wird, hmmmmm, das glaub ich ja noch nicht so ganz

15.02.2006, 23:52

Lazarus

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Evtl. Ergänzend noch ein paar Worte wie man auf die "Eingebung" kommt, das eine Substitution mit Sinus zum Erfolg führen könnte.

Grundlegend ist mal, das man sich erstmal die Struktur des Integrals anschaut und klarmacht. Man erkennt, jenseits des Bruches und des Faktors davor eine Wurzel, in der eine Differenz zweier Quadrate steht.
da klingeln natürlich sofort die Alarmglocken, denn sowas schreit immer nach Pythagoras. Und daher lassen wir es nicht lange schreien sondern tun dem Verlangen genüge.

Natürlich kann man jetzt noch lange nicht sicher sein, das es auch funktioniert, allerdings erkennt man bald, spätestens nach ersetzten von dx, dass es ziemlich glatt aufgeht.
Im Endeffekt kann man diesen letzten Schritt nur durch das ausprobieren rausfinden und wenn man genügend Erfahrung (=Übung) hat, dann liegt die Fehlerqoute auch relativ niedrig.

damit will ich dir eine guten Abend wünschen und eine geruhsame Nacht.

17.02.2006, 22:16

spukoline

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also ich habs probiert aber da geht nix

ich weiß net mehr weiter. außerdem hab ich total den überblick verloren was ich schon gemacht hab und warum und was ich noch tun soll
neeeeee

also ich hatte ja
sqr(a^2 - a^2(1-cos^2 (z)))

und dann muss ich jetzt ableiten also von
x^2 ist es ja 2x aber wie
leite ich den mist da oben ab. Das geht einfach nicht
ich dreh noch durch mit dem mist. jetzt brauch ich schon fünf tage dafür und es wird immer schlimmer

wenn ich die ableitung hab muss ich doch dann wieder in das integral am anfang einsetzen, aber ich kanns einfach net ableiten
HILFE

und ihr gebt euch so viel mühe aber es<klappt einfach net weil ichs net raff

18.02.2006, 13:36

Lazarus

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also wir haben.

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x^2\cdot \sqrt{a^2-x^2}}\rm d x \end{eqnarray*}$
Subtitution: $\begin{eqnarray*} x:=a\cdot\sin{z} \end{eqnarray*}$
gewühlt wurde diese Subtitution mit der zielsetzung
damit ist $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz}=x'=a\cdot \cos{z} \end{eqnarray*}$

hier dann mal einsetzten und umformen so ausführlich wie möglich:
$\begin{eqnarray*} & &\int~\frac{a\cdot \cos{z}}{\left(a\cdot\sin{z}\right)^2\cdot \sqrt{a^2-\left(a\cdot\sin{z}\right)^2}} \rm dz \\=& &\int~\frac{a\cdot \cos{z}}{a^2\cdot\sin^2{z}\cdot \sqrt{a^2-a^2\cdot\sin^2{z}}} \rm dz\\=& &\int~\frac{\cos{z}}{a\cdot\sin^2{z}\cdot \sqrt{a^2\cdot\left(1-\sin^2{z}\right)}} \rm dz\\=& &\int~\frac{\cos{z}}{a^2\cdot\sin^2{z}\cdot \sqrt{\cos^2{z}}} \rm dz\\=& & \dots \end{eqnarray*}$

28.02.2006, 15:42

spukoline

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Hallo nochmal,

wollte euch nur noch mal berichten, dass ich tatsächlich irgendwann zu nem ERgebnis kam. Hab das alles mal meiner Freundin gezeigt und irgendwie und irgendwann kam was bei raus.

Nochma vielen Dank Mit Zunge

Mit Zunge

an euch

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