DGL, Einfache Kopplung, aber bei mir hängts

30.05.2008, 20:52

praunss

Auf diesen Beitrag antworten »

DGL, Einfache Kopplung, aber bei mir hängts

Hi,
ich hoff ich stell keine zu triviale Frage, aber irgendwie fehlt mir da die zündende idee:

Die Aufgabe ist:
Man hat 2 Massen die über ein Seil verbunden sind; das Seil ist über eine bewegliche scheibe reibungsfrei gelagert, d.h. auf beiden Seiten hängt jeweils eine Masse nach unten -> ist eine Masse schwere als die andere so zieht sie nach unten und die andere gleichzeitig nach oben (hoffe das ist anschaulich genug)
Die x-Achse zeigt nach unten, also fällt eine masse dann ist die bvewegung positiv.

So jetzt zur Mathematik:

Ich habe für jede masse separat die Bewegungsgleichung aufgestellt, die 2 einfache DGLs sind:

$\begin{eqnarray*} m_1*x_1'' = m_1*g-m_2*g \\<br /> m_2*x_2'' = m_2*g - m_1*g \end{eqnarray*}$
Außerdem gilt jetzt dass die Beschleunigungen gleich groß sind nur in die andere Richtung zeigen ( $\begin{eqnarray*} x_1''=-x_2'' \end{eqnarray*}$ )
Mein Problem ist jetzt:
Ersetze ich in der zweiten gleichung $\begin{eqnarray*} x_2'' \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} -x_1'' \end{eqnarray*}$ habe ich 2 Gleichungen für $\begin{eqnarray*} x_1'' \end{eqnarray*}$
Die sind:
$\begin{eqnarray*} x_1'' = g - \frac{m_2*h}{m_1} \\<br /> x_1'' = \frac{m_1*g}{m_2} - g \end{eqnarray*}$

Wie erreiche ich es, dass $\begin{eqnarray*} x_1'' \end{eqnarray*}$ beide Gleichungen erfüllt?
LAnger Beitrag, wenig dahinter,
pls help smile

smile

30.05.2008, 21:10

Tomtomtomtom

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, wie du auf deine Bewegungsgleichungen kommst.

Angenommen, das ganze läuft reibungsfrei ab, müßte sich dann nicht die schwerere Masse wie im freien Fall nach unten bewegen? Und ihre Position damit einzig und allein von der Zeit abhängig sein, und nicht noch von den Massen? Oder ist meine Anschauung falsch?

31.05.2008, 00:22

praunss

Auf diesen Beitrag antworten »

Stell dir einfach vor eine Masse ist sehr viel größer als die andere, dann ist die reslutierende Kraft sehr viel größer und damit auch die beschleunigung, somit hängt es nicht nur sondern auch von den massen ab (lässt man die massen variabel natürlich)

31.05.2008, 00:34

Tomtomtomtom

Auf diesen Beitrag antworten »

Da muß trotzdem ein Fehler im Modell sein, und nicht in der Rechnung.

Du kannst ja nach Vorgabe von Anfangswerten die Lösungen ausrechnen. Du hast gar keinen Freiheitsgrad mehr, der dir erlaubt, noch eine Nebenbedingung zu fordern.

Edit Nr. 6200: Ich glaube der Ansatz über F=ma führt dazu, daß man irgendwelche Kräfte übersieht bzw. einen Denkfehler begeht. Ich probiere mal einen anderen Ansatz über energien, und poste den dann, falls er funktioiniert.

31.05.2008, 01:04

praunss

Auf diesen Beitrag antworten »

danke

smile

ich kenn eine lösung mit seilspannung... aber die gefällt mir anz und gar nicht, außerdem ist dieses prinzip doch gültig undmir ist auch nicht klar wie ich da eine kraft übersehen soll, da gibts die 2 sonst nichts, eigentlich sollte das doch so zu lösen sein

31.05.2008, 01:36

Tomtomtomtom

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Einfachheit starten wir in Ruhelage mit beiden Gewichten auf gleicher Höhe. Geht natürlich auch allgemein, aber das erspart so fürs erste einiges an Schreibarbeit mit den Energiedifferenzen, wir setzen potentielle und kinetische Energie am Anfang gleich 0. Zum Zeitpunkt t gilt für die potentielle und kinetische Energie:

$\begin{eqnarray*} E_{pot}(t)=x_1(t)gm_1+x_2(t)gm_2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} E_{kin}(t)=\dot x_1(t)^2 \cdot \frac{m_1}{2} + \dot x_2(t)^2 \cdot \frac{m_2}{2} \end{eqnarray*}$

Wegen Energieerhaltung muß gelten:

$\begin{eqnarray*} E_{pot}(t)+E_{kin}(t)=0 \end{eqnarray*}$ .

Außerdem die durch die Mechanik des Systems vorgegebene Kopplungsbedingung $\begin{eqnarray*} x_1(t)=-x_2(t) \end{eqnarray*}$ woraus natürlich dasselbe für alle Ableitungen folgt. die aus der Energieerhaltung folgende Differentialgleichung hat nach einsetzen der Kopplungsbedingung die Lösung

$\begin{eqnarray*} x_1(t)=\frac{g}{2}\cdot \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\cdot t^2 \end{eqnarray*}$ .

Deine Gleicung dagegen hat (mit denselben Anfangswerten) die Lösung

$\begin{eqnarray*} \tilde x_1(t)=\frac{g}{2} ( 1-\frac{m_2}{m_1} ) t^2 \end{eqnarray*}$ .

Wo jetzt der Denkfehler liegt kann ich nicht mit Sicherheit sagen, aber ich glaube wie gesagt eher in deinem Ansatz irgendwo. Leider bin ich in Physik nicht sattelfest genug, um dir die konkrete Stelle zu zeigen.

An meiner Lösung gibts auch einen kleinen Haken, es ist nämlich x(t)=0 auch immer eine Lösung, das sollte aber eigentlich für m_1 ungleich m_2 nicht mehr vorkommen. Vielleicht ist da ja auch irgendwo ein dicker Schnitzer drin. Dafür hab ich keine Widersprüche durch die Hinzunahme iener Nebenbedingung.

Anzeige

31.05.2008, 16:32

nubber

Auf diesen Beitrag antworten »

sollte es nicht einfach $\begin{eqnarray*} (m_{1}-m_{2})x''=const \end{eqnarray*}$ sein?, da die scheibe nichts weiter als eine umlenkung is, wenn ich mir des richtig vorstell?

31.05.2008, 16:39

Tomtomtomtom

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Aber die Frage ist halt welche Konstante. Das kommt auch bei beiden Lösungen raus, aber halt mit unterschiedlichen Konstanten.

31.05.2008, 16:51

nubber

Auf diesen Beitrag antworten »

setz ich mein korrdinatensystem in $\begin{eqnarray*} m_{1} \end{eqnarray*}$ und mit positiver x-richtung nach unten, dann müsste $\begin{eqnarray*} const=m_{1}g \end{eqnarray*}$ sein, oder täusche ich mich weil F=-grad(u) ?

31.05.2008, 17:08

nubber

Auf diesen Beitrag antworten »

stelle fest: denken is nich mein ding...

richtiger ansatz:

$\begin{eqnarray*} m_{1}g-m_{2}g=g(m_{1}-m_{2})=F=m_{1}x'' \end{eqnarray*}$ und es kommt sogar was physikalisch sinvolles raus

31.05.2008, 17:33

Tomtomtomtom

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist genau der Ansatz des Threaderstellers über die wirkenden Kräfte und die Newtonsche Gleichung F=ma. Da eine analoge Gleichung dann auch für den zweiten Körper gelten sollte, kannst du ihm auch sicher seine Frage beantworten, an welcher Stelle da etwas schiefgeht.

31.05.2008, 18:04

nubnub

Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt keine zweite gleichung, da die bewegung eindimensional abläuft.

31.05.2008, 18:29

Tomtomtomtom

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Langsam verwirrt mich diese Aufgabe auch total -.-

31.05.2008, 20:23

praunss

Auf diesen Beitrag antworten »

@nubnub:

genau das war ja mein problem:
Betrachte ich nur eine masse, so ist die bewegungsgleichung die die ich oben aufgestellt hab und die auch du hast;
ABER: die zwangsbedinung dass auhc die andere masse die selbe beschleunigung hat, darf man auf keinen fall vernachlässigen.
Wll ich also beides berücksichtigen so habe ich zwei gleichungen für x'' die auch beide erfüllt sein müssen, anders ergibts das doch keinen sinn.

31.05.2008, 21:26

nubler

Auf diesen Beitrag antworten »

die kraft wirkt ja nur längs des seils (rolle lenkt ja nur um).

nun lass an beiden massen wieder die gleichen kräfte angreifen , aber stell dir diesmal vor, des seil is gerade (kraft geht immer noch nur in seilrichtung). (wär nur ne transformation) etz stell dir die bewegung der beiden massenpunkte vor, wobei nicht zu vergessen ist, dass diese immer den gleichen abstand haben. nun stell dir die bewegung eines einzelnen punktes im schwerpunkt der beiden massen vor. dieser verhält sich exakt gleich. => problem lässt sich auf die eindimensionale bewegung dieses einen punktes beschränken

31.05.2008, 22:27

praunss

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja,da hast du recht, das hab ich auch schon so gelöst, da kommt auch das richtige raus
ABER:
das muss doch so auch gehen verdammt smile

smile

ich versteh bloß nicht wieso..

31.05.2008, 23:46

Tomtomtomtom

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich nicht verstehe: Wenn ich eure Gleichungen nehme, und die Summe der potentiellen und kinetischen Energien in einem Zeitpunkt ausrechne, so ist das Ergebnis nicht konstant.

Genauer gesagt steigt diese Summe.

Anders gesagt: Die schwere Masse geht nach unten, die leichte nach oben, und zwar um denselben Weg. Dadurch sinkt in Summe die potentielle Energie, und dieser Betrag kann in kinetische Energie, Bewegung, umgesetzt werden. Die Massen sind aber nach euren Gleichungen schneller, als sie nach dem Energieerhaltungssatz sein dürften.

Dafür gibt es eigentlich nur zwei Möglichkeiten:

1.) Es spielt noch eine andere Energieform eine Rolle, denn an irgendeiner Art von Energieerhaltung führt nun mal kein Weg vorbei.

2.) Eure Lösung ist falsch.

01.06.2008, 10:51

Nubler

Auf diesen Beitrag antworten »

die energie von eigenschaften des zu betrachtenden und dem verwendeten system zusammen => du kannst nicht davon ausgehen, dass H (=gesamtenergie) immer konstant ist.

01.06.2008, 11:06

praunss

Auf diesen Beitrag antworten »

kurzer einwurf:

Dein Energie Ansatz ist in der Tat richtig!
Wenn ich nämlich aus deinem x(t) die beschleunigung berechne dann stimmt das ergebnis mit dem ansatz überein wenn man das ganze eindimensional betrachtet und zwar ist die lösung:
$\begin{eqnarray*} a=g*\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \end{eqnarray*}$

damit wär das geklärt;
für mich ist bloß immernoch ein rästel wieso mein ansatz nicht funzt

01.06.2008, 13:50

Tomtomtomtom

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit meinen rudimentären Physikkenntnissen habe ich mir folgende Erklärung überlegt. Ich gehe davon aus, daß wir diskrete Zeitschritte betrachten, und sich die Kräfte nur in diskreten Zeitpunkten ändern, und nicht kontinuierlich. Natürlich nur als Gedankenexperiment.

Im ersten Augenblick wirken wirklich die von dir angegebenen Kräfte. Wenn wir uns nun einen sehr kleinen Zeitschritt vorgeben, dann bewegt sich durch diese Kräfte die schwere Masse nach unten und die leichte nach oben. Allerdings derart, daß danach die Kopplungsbedingung verletzt wird! Die leichte Masse würde durch die Kräfte (egal wie groß das Verhältnis der Massen ist!) weiter nach oben getrieben werden, als die schwere Masse nach unten. Das heißt im nächsten Augenblick ist das Seil nicht mehr straff gespannt, auf beide Massen wirkt nur noch ihre eigene Gewichtskraft nach unten, und deine Bewegungsgleichungen stimmen nicht mehr. Und zwar solange, bis sie wieder soweit gefallen sind, daß das Seil gespannt ist, dann geht das Spiel von vorne los.

Irgendwie muß man das nun mit den wirkenden Kräften entweder ausmitteln (aber ich weiß nicht wie), oder man nimmt den Ansatz über die Energien.

01.06.2008, 14:38

praunss

Auf diesen Beitrag antworten »

ahh... gefällt mir sehr gut die überlegung.

In meinem Lehrbuch wird die Seilspannung als Zwangsbedingung angenommen und dann funktioniert das alles...
sehr schön, das schlißet die lücke
danke smile

smile

05.06.2008, 17:21

praunss

Auf diesen Beitrag antworten »

Falls jemand das hier mal liest und sich dafür interssiert:
Es gibt einen weitern Lösungsansatz um das system zu lösen:

Durch die Lagrange Methode 2. Art:
(nachzulesen bei wikipedia) ist der Ansatz $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\frac{\delta L}{\delta x_1'}-\frac{\delta L}{\delta x_1} = 0 \end{eqnarray*}$ . Die $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ sollen die partials sein.

L ist hierbei die Lagrange-Funktion T - V (t: kinetische, V:potentielle Energie)
T ist die gesamet kinetische Energie des Systems, also:
$\begin{eqnarray*} T_{ges} = \frac{1}{2}m_1*x_1'^{2} + \frac{1}{2}m_2*x_2'^{2} \end{eqnarray*}$
V die gesamte pottenitelle Energie:
$\begin{eqnarray*} V_{ges} = m_1*g*x_1 + m_2*g*x_2 \end{eqnarray*}$
L ist also:
$\begin{eqnarray*} L = T_{ges}-V{ges}= \frac{1}{2}m_1*x_1'^{2} + \frac{1}{2}m_2*x_2'^{2} - m_1*g*x_1 - m_2*g*x_2 \end{eqnarray*}$
Nutze ich aus dass x_1 = -x_2, habe ich:
$\begin{eqnarray*} L = \frac{1}{2}m_1*x_1'^{2} + \frac{1}{2}m_2*x_1'^{2} - m_1*g*x_1 + m_2*g*x_1 \end{eqnarray*}$
Das setze ich in die Euler-Lagrange Gleichung ein (das ist die ganz oben genannte), dann lautet das ergebis:
$\begin{eqnarray*} x_1'' = g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \end{eqnarray*}$

05.06.2008, 17:38

Tomtomtomtom

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch genau daß, was ich geschrieben hab?

05.06.2008, 19:53

praunss

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig ist, dass dus über Energieerhaltung gemacht hast und dass mein Ansatz auch was mit Energien zu tun hat.
Allerdings basiert mein Ansatz nicht auf Energieerhaltung sondern auf der Methode der kleinsten Wirkung;
für Physikinteressierte bestimmt ein Unterschied Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.06.2008, 21:50

Nubler

Auf diesen Beitrag antworten »

der lagrangeformalismus...
wechselt man zu hamiltonischen, müsste man sogar zu kanonischen aufgaben übergehen können und die aufgabe is wesentlich einfacher (wobei der hamiltonoperator der energieoperator ist)

dei lagrange wird angesetzt, dass die wirkung extremal, und nicht zwingend minimal ist.
btw: die gleichung, die du so abgeschrieben hast ist keinesfalls so einfach herzuleiten , wenns man nicht weiss

partiell ( $\begin{eqnarray*} \partial \end{eqnarray*}$ ) is:

code:
1:	\partial

btw: hab auch gefunden, warum in meinen ansatz die energie nicht erhalten ist:
es werden im seilsystem beide massen entlang des seil beschleunigt und nicht nur eine.

so ist dann (wie oben bereits angeschrieben) bei: $\begin{eqnarray*} g(m_1-m_2)=(m_1+m_2 ) \ddot x \end{eqnarray*}$

06.06.2008, 10:48

praunss

Auf diesen Beitrag antworten »

da hast du wohl recht, allerdings was ist schon leicht herzuleiten wenn mans nicht weiß... ( F = m*a ...ohne es zu wissen wär ich bestimmt nciht drauf gekommen)
Auch im Bezug auf den Extremalwert hast du Recht, in dem Falls ists trotzdem die kleinste Wirkung :P

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »