Zyklische Gruppe

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Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »
Zyklische Gruppe
Guten Tag,

folgendes Problem.

Ich habe eine Gruppe G der Ordnung 667 gegeben und habe schon die p-Sylow-Untergrupppen der Ordnung p=23 und p=29 bestimmt und gezeigt, dass diese normal in der Gruppe G sind. Jetzt solle ich noch zeigen, dass G zyklisch ist, dazu folgende Überlegung:

nach einer bekannten Aussage, ist jede Gruppe mit Primzahlordnung zyklisch, das heißt also insbesonder sind meine beiden Sylow-p-Untergruppen zyklisch. Mein Problem ist jetzt allerdings daraus zu schließen, dass die Gruppe G auch zyklisch ist. Kann ich da einfach argumentieren, dass S_1 x S_2 isomorph zu und damit ist G auch isomorph dazu?!

Vielen Dank
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Idee ist richtig. Das musst du jetzt nur noch sauber aufschreiben (z.B. chinesischer Restsatz für die letzte Isomorphiebeziehung).

Gruß, therisen
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Der chin. Restsatz hier sagt folgendes aus:

Seien ggT(m,n)=1. Dann gibt es zu jedem a mod m und b mod n eine Zahl mit k mod m = a mod m und k mod n= b mod n.

Ich sehe hierbei nicht die Beziehung zu der obigen Isomorphiebeziehung die ich zeigen soll. Bei mir sind m=29 und n=23, aber wie geht es da weiter?

Danke therisen
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte an die algebraische Version. Diese besagt hier, dass .
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Die kenne ich leider nicht, wo finde ich die denn?

Aber ich muss doch zeigen, dass G isomorph zu ist, oder=
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Die kenne ich leider nicht, wo finde ich die denn?


In jedem guten Buch über Algebra oder Wikipedia.

Zitat:
Original von Fletcher
Aber ich muss doch zeigen, dass G isomorph zu ist, oder=


Ja. Wenn du gezeigst hast/weißt, dass , bist du im Prinzip fertig.
 
 
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ich weiß, dass diese beiden Sylow-p-Untergruppen beide Normalteiler sind und beide zyklisch sind. Untergruppen zyklischer Gruppe sind wieder zyklisch, aber die Umkehrrichtung gilt meiner Meinung nach nicht, deshalb stehe ich etwas auf dem Schlauch...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das brauchst du: http://de.wikipedia.org/wiki/Normalteile...irektes_Produkt
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Danke therisen,

eine kleine Verständnisfrage bleibt noch: Sind meine beiden Normalteiler hier wirklich komplementär? Ansonsten passt alles Augenzwinkern
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Je zwei Sylow-Gruppen zu verschiedenen Primpotenzen haben nur einen trivialen Schnitt. Beweis?
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ich würde sagen, die Primzahlen sind teilerfremd, das heißt ggT(m,n)=1.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum folgt daraus, dass ihr Schnitt trivial ist?
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Sie beinhalten keine weiteren gemeinsamen Elemente außer das neutrale Element, also ein element aus der einen kann nicht in der anderen Sylow-p-Untergruppe liegen, eben weil die beiden Primzahlen teilerfremd sind!
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast du schon geschrieben. Sei x ein Element, das in beiden Gruppen liegt. Wie kannst du beweisen, dass gelten muss?
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Versuch:

Wenn x in beiden S-p-U liegt, dann müsste es ein Vielfaches der einen als auch der anderen Primzahl sein. Dieser Gedanke ist falsch, denn die 35 ist ja sowohl durch 5 als auch durch 7 teilbar!
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
dann müsste es ein Vielfaches der einen als auch der anderen Primzahl sein


Vielfaches? verwirrt Vielleicht meinst du das Richtige. Schau dir nochmal den Beweis an, dass Gruppen von Primzahlordnung zyklisch sind. In deinem ersten Beitrag klang das so, als ob das eine tiefliegende Aussage wäre - dabei ist es doch fast trivial.
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