Taylorreihe

13.02.2006, 22:22

k_wolt

Taylorreihe

Gebe Taylorreihe am Punkt x_0 der Funktionen

1. x^3 +1 ,x_0=-1

2. x/(1+x), x_0 =0

3. exp[(x-1)²/2] ,x_0 =1

an und ermitleden Konvergenzradius!

Wenn mir jemand Tipps geben könnte, fände ich das super!!!!

13.02.2006, 22:25

zeta

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es heißt taylorreihe IM punkt ... Lehrer

was weißt du denn schon? zumindest die entwikclung sollte mit stumpfem einsetzen machbar sein?

13.02.2006, 22:48

k_wolt

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Das ist die Taylorreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(f^{(k)} \end{eqnarray*}$ (a))/k!*(x-k)^k

ich habe keine Ahnung, was ich wo einsetzten muss Hilfe

13.02.2006, 22:52

JochenX

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sollte das hinten nicht x-a heißen?

a ist deine stelle, also dein x0
f^(k) steht für die k-te ableitung
k! ist k fakultät, also 1*2*3*...*k

woran scheiterts? z.b. die 1) geht doch schnell....

13.02.2006, 22:53

Frooke

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RE: Taylorreihe
Hallo, Du solltest etwas unmissverständlicher schreiben, dass Du auch Funktionen meinst, indem Du sie mit einem f(x)= versiehst!

$\begin{eqnarray*} \text{1. }f(x):=x^3 +1 \qquad x_0=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{2. }f(x):=\frac{x}{1+x}\qquad x_0=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{3. }f(x):=\operatorname{exp}\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)\qquad x_0=1 \end{eqnarray*}$

Die Taylorreihe sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{f^{(k)} (a)}{k!}(x-a)^k \end{eqnarray*}$

Um Konvergenzradien zu bestimmen, musst Du schon bis +unendlich aufsummieren Augenzwinkern

!

Nun, was kannst Du denn nicht einsetzen?

$\begin{eqnarray*} f^{(k)} (a) \end{eqnarray*}$ ist die k-te Ableitung in a. Der Rest ist ja eigentlich ersichtlich.

13.02.2006, 22:57

zeta

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a ist dein sogenannter entwicklungspunkt, in deiner aufgabe sagst du x_0 statt a, das ist jacke wie hose, hauptsache die ganze aufgabe durch einheitlich

das f mit dem k in der klammer oben dran ist eine schreibweise für ableitungen, f^(1) ist f', f^(2) ist f'' und so weiter, f'''''''''''''''''''''' sieht einfach kacke aus und ist unübersichtlich

k! ist die fakultät k mal (k-1) mal (k-2) und so weiter

x bleibt als allgemeines x stehen

so, zum einsetzen sollte das reichen

falls herleitung gewünscht noch mal melden

achja, das summensymboll ist bekannt?

13.02.2006, 23:26

k_wolt

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also muss ich k so stehen lassen und setzte nur x_0 ein
und was ist mit f(x)?

13.02.2006, 23:29

JochenX

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Zitat:

Original von k_wolt05
also muss ich k so stehen lassen und setzte nur x_0 ein
und was ist mit f(x)?

f(x) ist deine funktion unglücklich

k ist der laufindex

14.02.2006, 14:51

k_wolt

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also komme ich bei 1. auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} * x²- \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

stimmt das?

14.02.2006, 14:55

JochenX

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wo ist dein glied vom grade 3?

das ist das letzte glied, für das f^(k)(x) nicht konstant 0 ist, das fällt also nicht weg!

mfg jochen

ps: geht die taylorreihe eigentlich nicht von 0 los (?)
[edit: wikipedia sagt doch, eure taylorreihen sind also falsch oben, k=0 nicht vergessen]

14.02.2006, 15:32

k_wolt

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die 3. Ableitung ist doch aber 0

14.02.2006, 15:39

zeta

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das ist ja das tolle: die vierte (! dritte ableitng ist wegen grad f=3 konstant sechs), die fünfte ... ableitung ist jeweils null (bei deiner ersten aufgabe, danach siehts anders aus!). du hast also gar nicht viele n zu betrachten! was schon etwas über die konvergenz bzw. den konvergenzradius aussagen könnte.

ach ja: loed hat natürlich recht, k=0 ist erstes glied (sprich: nullte ableitung, was eben die funktion selber ist, fließt natürlich auch ein!)

14.02.2006, 16:54

k_wolt

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Zitat:

Original von zeta
die vierte (! dritte ableitng ist wegen grad f=3 konstant sechs)

das verstehe ich nicht.

denn $\begin{eqnarray*} f``` = 0 \end{eqnarray*}$

14.02.2006, 16:55

JochenX

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Zitat:

Original von k_wolt05 (texcode geändert)

Zitat:

Original von zeta
die vierte (! dritte ableitng ist wegen grad f=3 konstant sechs)

das verstehe ich nicht.

denn $\begin{eqnarray*} f''' = 0 \end{eqnarray*}$

schreibe bitte ' (auf der #-taste) statt ´, sonst sehen firefoxuser schmarn!

poste mal deine 3 ableitungen, f'''=6

14.02.2006, 17:38

k_wolt

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oh, ihr habt recht
also komme ich jetzt auf:

2x³+ 4,5 x² + 6x + 3,5

Kann das sein?

14.02.2006, 17:41

zeta

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also ich hab etwas anderes heraus Augenzwinkern

zeige doch mal deine einzelnen summanden?

14.02.2006, 17:58

k_wolt

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also bei mir schaut das so aus:

0 + 3 (x+1) - 6/2 * (x+1)² + 6/3 * (x+1)³

14.02.2006, 18:04

zeta

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kurz vor richtig, aber 6/3 ist falsch: da muss 3! im nenner stehen, was 6 ist!

14.02.2006, 20:38

k_wolt

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ah danke, demzufolge habe ich dann stehen:

x³ + 3/2 * x² + 3 x + 5/2 = T

aber wie ermittle ich den Konvergenzradius?

14.02.2006, 21:20

zeta

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da ist noch irgendwo der wurm drin...
überprüfe nochmal, das richtige ergebnis sollte dich "pertubieren" (ich steh' auf den ausdruck :punk smile

14.02.2006, 21:59

munich

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Hab das mal nachgerechnet, komme aber auf das gleiche Ergebnis wie k_wolt05:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 + 1 , x_0 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x^2 => f'(x_0) = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) =6x => f''(x_0) = -6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = 6 => f'''(x_0) = 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => f(x) = 0 + 3 (x + 1) + (-6)\frac{1}{2}(x + 1)^2 + 6\frac{1}{3!}(x+1)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3x + 3 - \frac{3x^2 + 6x + 3}{2} + x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =3x + 3 - \frac{3}{2}x^2 -3x -\frac{3}{2} + x^3 +3x^2 +3x +1 = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 3x + 2\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Wäre toll wenn ihr das überprüfen könntet.

Edit: $\begin{eqnarray*} x_0 = -1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ . Danke für den Hinweis, Zeta.

14.02.2006, 22:46

zeta

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Nomen est Omen (watch my Slogan!)

im ersten post steht x_0 = MINUS 1 !!!!!!!!!
edit: scheinst du aber in der rechnung gemacht zu haben.
Aber: der dritte summand (der erste ist die null) ist recht eigentümlich behandelt?????? was teilt ihr denn da noch durch 2???

15.02.2006, 13:05

k_wolt

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weil es die 2. Ableitung ist. Laut Taylorreihe muss man dann durch 2! teilen.

Aber weiß vielleicht noch jemand, wie ich den Konvergenzradius bestimme?

15.02.2006, 15:06

zeta

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der konvergenzradius ist der nächste schritt.

dein ergebnis ist immer noch falsch!!!!

$\begin{eqnarray*} \begin {aligned} T_{x^3+1}^n(-1) &= \sum_{k=0}^n \tfrac{f^{(k)}(-1)}{k!}(x+1)^k \\ &= \tfrac{f(-1)}{0!}(x+1)^0 + \tfrac{f'(-1)}{1!}(x+1)^2 + \tfrac{f''(-1)}{2!}(x+1)^2 + \tfrac{f'''(-1)}{3!}(x+1)^3 + 0 \dots \end {aligned} \end{eqnarray*}$

stumpfes einsetzen!!! dann hat man -6/2!, also -3, das kann man in den zähler ziehen, aber dann doch nicht mehhr teilen!?!

15.02.2006, 19:35

k_wolt

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super zeta, danke für dein Einsatz, also habe ich jetzt da stehen:

x³ + 3x² + 6x - 2

15.02.2006, 20:34

zeta

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das kannst du zwar da stehen haben, aber das ist nicht die richtige lösung, sorry!

überlege doch mal, was taylor eigentlich macht, und was deswegen passieren muss, wenn man wie du im vorliegenden ersten beispiel ein polynom axpproximierst!!!

entwickle doch mal die funktion f(x)=x^3+c im punkt p allgemein, d.h. lass da einfach c und p beliebige, aber feste konstanten (etwa reelle) sein. wollen wir wetten, dass wenn du keinen fehler machst, da taylor liefert: "x^3+c" Augenzwinkern

womit wir dann beim konrad (witzige abkürzung für konvergenzradius, gell) wären...

15.02.2006, 22:15

k_wolt

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da könnte doch 3x³ + 6x - 2 = c sein, oder darf x in c nicht vorkommen?

15.02.2006, 22:22

munich

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den allgemeinen fall hab ich noch nicht gerechnet, aber bei der Aufgabe hab ich jetzt $\begin{eqnarray*} x^3 + 1 \end{eqnarray*}$ raus.
Das müsste ja jetzt nach deinen Ausführungen stimmen, zeta. Weiß auch nicht was ich da zuerst verplant hab...

Nochmal danke für deine ausführliche Hilfe, zeta !!!

15.02.2006, 22:26

zeta

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$\begin{eqnarray*} \begin {aligned} T_{x^3+c}^n(a) &= \sum_{k=0}^n \tfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \\ &= \tfrac{a^3+c}{0!}(x-a)^0 + \tfrac{3a^2}{1!}(x-a)^1 + \tfrac{6a}{2!}(x-a)^2 + \tfrac{6}{3!}(x-a)^3 \\ &= a^3+c+3a^2(x-a)+3a(x-a)^2+(x-a)^3 \\ &= a^3+c+(x-a)[3a^2+3a(x-a)+x^2-2xa+a^2] \\ &= a^3+c+(x-a)(x^2+ax+a^2) \\ &= x^3+c\end {aligned} \end{eqnarray*}$

15.02.2006, 22:41

munich

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Klasse !!!! Das hab ich auch rausbekommen.

Okay, dann wärs super wenn du uns noch beim konrad helfen könntest.

Ich dachte mir das so, kann ich vielleicht das Quotientenkrierium nehmen und dann auflösen, für welche x der Betrag des Quotienten aus $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| \end{eqnarray*}$ < 1 ist, wobei a_n das n-te Glied der Folge ist.
Da müsste die Reihe ja dann konvergent sein.

Ergibt das sinn oder hab ich Unsinn gepostet ???

thx

15.02.2006, 22:46

zeta

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hast du bzgl. dieses spezialfalls eines zu approximierenden polynoms den eindruck, dass konrad sich nicht voll ausleben dürfte? (siehst du noch ein a im ergebnis x^3+c?)

15.02.2006, 22:55

munich

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Das heißt hier ist der Konvergenzradius R, oder ???

Und wie sähe es im Allgemeinen aus ? Könnte ich im Allgemeinen mit meiner Idee den Konvergenzradius bestimmen ???

thx

15.02.2006, 23:03

k_wolt

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Hey vielen dank zeta, aber wozu macht man das denn, wenn sowieso wieder das gleiche rauskommt

15.02.2006, 23:10

zeta

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das macht man eigentlich auch nicht für polynome, weil es da witzlos ist. aber bei deinen anderen aufgaben wird auch etwas anderes als die ausgangsfunktion herauskommen (nämlich eben ein plynom, falls konvergent)

zum konrad gibt es formeln, z.b. cauchy-hadamard, limes-betrachtung (beruht allerdings auf dem kehrwert des quot-krit!!)
einfach mal googeln oder so, ist machbar

15.02.2006, 23:12

munich

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okay, nochmal danke.
falls es mit konrad noch probleme gibt meld ich mich einfach nochmal.

thx,
cu

16.02.2006, 01:07

k_wolt

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also ist der Konvergenzradius= 1 ?

und bei der 2. Aufgabe mit der Fkt. komm ich auf folgende Taylorreihe:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{1+x};f^{(k)} =(-1)^{k+1}\frac{k!}{(1+x)^{(k+1)}} \end{eqnarray*}$

19.02.2006, 15:08

k_wolt

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Hallo Leute,
weiß vielleicht jemand, wie ich von $\begin{eqnarray*} x³+1 \end{eqnarray*}$ auf diese Taylorreihe $\begin{eqnarray*} 3(x + 1) - 3(x + 1)² + (x + 1)³ \end{eqnarray*}$ komme? Die wir oben stehen haben, ist wohl falsch. Hilfe

19.02.2006, 15:14

zeta

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du wirst doch das mal ausrechnen können???????????????????????
wenn sich da nicht etliches wegkürzt, hats du ne neue rechenart erfunden!

19.02.2006, 18:01

Frooke

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Zitat:

Original von k_wolt05
Die wir oben stehen haben, ist wohl falsch. Hilfe

Nein, ich habe im anderen von Dir gestarteten Taylor-thread bereits Folgendes gesagt:

Zitat:

Original von Frooke
die kubische Approximation einer kubischen Funktion [ist] sie selbst.