Ableiten von e^x

14.02.2006, 09:46

sammy2ooo

Ableiten von e^x

Folgendes soll abgeleitet werden:
e hoch (sin^2 x) = e hoch (sin x * sin x)

d.h. dann abgeleitet:
e hoch (sin^2 x) * cos x * sin x * cos x simmt das so?

nun soll y'(pi/4) berechnet werden. Da kommt bei mir alles raus, nur nicht sqrt(e)...

14.02.2006, 09:51

sammy2ooo

Auf diesen Beitrag antworten »

btw: kenn jemand von euch ein gutes Mathe Programm um Ableitungen durchzuführen? Das wäre mir beim lernen sehr hilfreich. Am besten OpenSource ... ich weiß, die Eierlegendevollmilchsau smile

14.02.2006, 09:52

Ambrosius

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, das war hier grad quatsch. hab die funktion falsch gelesen

14.02.2006, 09:54

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableiten von e^x
e hoch (sin^2 x) = e hoch (sin x * sin x)

willst du $\begin{eqnarray*} e^{sin^2 x} \end{eqnarray*}$ ableiten??

14.02.2006, 09:59

sammy2ooo

Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau, habs nicht hinbekommen mit latex

14.02.2006, 10:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableiten von e^x

Zitat:

Original von sammy2ooo
d.h. dann abgeleitet:
e hoch (sin^2 x) * cos x * sin x * cos x simmt das so?

Dann stimmt die Ableitung nicht. Was ist die Ableitung der inneren Funktion?

14.02.2006, 10:30

sammy2ooo

Auf diesen Beitrag antworten »

also die innere funktion ist ja
$\begin{eqnarray*} sin^{2}x \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} sin^{2}x = sin(x)*sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(x) \end{eqnarray*}$ ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$
d.h. dann
$\begin{eqnarray*} cos(x)*sin(x)*die neue Innere Ableitung \end{eqnarray*}$
und das wiederum ist doch dann
$\begin{eqnarray*} cos(x)*sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$
oder muss hier die Produktregel angewendet werden?

14.02.2006, 10:32

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo! Du solltest f(x)= vor deine Funktionen schreiben!

14.02.2006, 10:38

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

du musst hier die produktregel auf den exponenten anwenden.

14.02.2006, 10:42

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von brunsi
du musst hier die produktregel auf den exponenten anwenden.

Warum denn so kompliziert? Kettenregel tut's auch!

$\begin{eqnarray*} f(x):=\mathrm e^{u(x)^2} \Longrightarrow f'(x)=\mathrm e^{u(x)^2} \cdot 2 u(x) \cdot u'(x) \end{eqnarray*}$

14.02.2006, 10:46

sammy2ooo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frooke
Warum denn so kompliziert? Kettenregel tut's auch!
$\begin{eqnarray*} f(x):=\mathrm e^{u(x)^2} \Longrightarrow f'(x)=\mathrm e^{u(x)^2} \cdot 2 u(x) \cdot u'(x) \end{eqnarray*}$

also ich dachte eigenlich genau das gemacht zu haben oder was ist die Ableitung
$\begin{eqnarray*} y = sin^{2}x \end{eqnarray*}$ ?

14.02.2006, 10:50

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \bigg(\sin^2x\bigg)'=2\sin x \cdot \cos x \end{eqnarray*}$

14.02.2006, 10:53

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

die ableitung von $\begin{eqnarray*} sin^2 x \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} u=sin x \Rightarrow u'=cos x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=sin x \Rightarrow v'=cos x \end{eqnarray*}$

damit ist die ableitung dann:

$\begin{eqnarray*} u' \cdot v + u\cdot v' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(x) \cdot sin(x)+cos(X)\cdot sin(x)=2cos(x)\cdot sin(x) \end{eqnarray*}$

dasit ist jetzt abe rnur der exponetn, musst noch die basis berücksichtigen.

edit: @ Mike: Produktregel, weil er damit sbegonnen hatte und das wohla uch so weiteführen wollte, dachte ich zumindest.

14.02.2006, 10:57

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von brunsi
@ Mike: Produktregel, weil er damit sbegonnen hatte und das wohla uch so weiteführen wollte, dachte ich zumindest.

Es ist ja nicht falsch, nur etwas umständlich Augenzwinkern

14.02.2006, 11:01

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß, aber da er seinen weg gegangen ist und sicherlich eine lösung für seinen weg haben wollte, sollte man ihn nicht noch mit einem neuen verwirren. es führen viele wege nach Rom, aber der der nach Rom gelangen möchte geht nur einen und zwar den, den er kennt, auf einem anderen würde er sich nur verirren. Ich und meine methaphorische Sprache Big Laugh

14.02.2006, 11:06

sammy2ooo

Auf diesen Beitrag antworten »

jo, das heißt dann die Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{sin^{2}x}*2sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$
trotzdem bekomme ich für f'(pi/4) nicht sqrt(e) raus, sondern ~0,0698... Kotzen

14.02.2006, 11:08

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

du hast doch jeweils für das x den wert $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ eingesetzt??

14.02.2006, 11:11

sammy2ooo

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das habe ich. Bekommst du für $\begin{eqnarray*} y'(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{e} \end{eqnarray*}$ raus??? Irgendwas mach ich falsch...also wenn ich in der Klausur für so eine Aufgabe auch 30min brauch kann ich einpacken traurig

14.02.2006, 11:16

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

nee bekomme ich irgendwei auch nciht, aber ich bin wohl zu dusselig das in den taschenrechner einzugeben.

edit: ich bekomme immer 0,027417285 heraus.

14.02.2006, 11:21

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn $\begin{eqnarray*} sin(\pi/4) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} cos(\pi/4) \end{eqnarray*}$ ?

14.02.2006, 11:24

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit: was w illst du da jetzt wissen?? sollen wir dir dei taschenrechnerwerte geben??

14.02.2006, 11:31

sammy2ooo

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} sin(\pi/4) = 0,0137074 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(\pi/4) = 0,999906 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2*0,0137074*0,999906 = 0,0274122 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin^{2}\frac{\pi}{4} = 0,0001879 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{0,0001879} = 1,0001879 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1,0001879 * 0,0274122 \neq \sqrt{e} \end{eqnarray*}$

14.02.2006, 11:34

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

genau das habe ich auch, also vielelicht ist auch deine lösung dazu falsch?? verwirrt

14.02.2006, 11:37

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sammy2ooo
$\begin{eqnarray*} sin(\pi/4) = 0,0137074 \end{eqnarray*}$

Ach Leute, was macht ihr denn? verwirrt

Nicht in Radiant gerechnet?
sin(pi/4) =cos(pi/4) = 0,5 * Wurzel(2)
Dafür braucht man keinen Taschenrechner. Augenzwinkern

14.02.2006, 11:39

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das stimm ich hab in DEG gerechnet, muss aber wegen der Kreiszahl RAD nehmen. LOL Hammer

!!

Danke dir klarsoweit.

14.02.2006, 11:42

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem das geklärt wäre, kann man alles schön einsetzen und siehe da, was kommt raus? Und wie gesagt: alles ohne Taschenrechner. Augenzwinkern

14.02.2006, 11:57

sammy2ooo

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, weils so schön war gleich noch eine hinterher smile

... leute, ihr habts drauf

$\begin{eqnarray*} y = cos^{n}(\frac{x}{n}) \end{eqnarray*}$ hier weiß ich schon garnicht wie ich das angehen soll
also
$\begin{eqnarray*} cos(\frac{x}{n}) \end{eqnarray*}$ ist abgeleitet $\begin{eqnarray*} -sin(\frac{x}{n})*\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ aber was passiert mit dem n im Expo. von cos?

14.02.2006, 12:18

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch hier wieder Kettenregel. Was ist die äußere, was die innere Funktion?

14.02.2006, 14:04

sammy2ooo

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich würde sagen die äußere Funktion ist $\begin{eqnarray*} cos^{n} \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} cos(x) \end{eqnarray*}$ ?) und die innere Funktion ist $\begin{eqnarray*} \frac{x}{n} \end{eqnarray*}$
Hm wie leite ich $\begin{eqnarray*} cos^{n} \end{eqnarray*}$ ab? $\begin{eqnarray*} \frac{x}{n} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ abgeleitet

14.02.2006, 14:20

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Halb richtig. Du mußt einfach von innen nach außen gehen:
1. Funktion: teile x durch n
2. Funktion: nimm davon den cos
3. Funktion: nimm das zur Basis und bilde die n-te-Potenz.

Beim Ableiten geht es jetzt rückwärts. Also als erstes mußt du die 3. Funktion ableiten, d.h.: $\begin{eqnarray*} f(x) = (g(x))^n \end{eqnarray*}$

14.02.2006, 17:04

sammy2ooo

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, die ist mir zu schwer für den Anfang, deswegen diese hier:

$\begin{eqnarray*} y = ln(x + \sqrt{1 + x^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} * (1 + \frac{1}{2\sqrt{1 + x^{2}}}) = \frac{2\sqrt{1 + x^{2}} + 1}{2x\sqrt{1 + x^{2}} + 2 + 2x^{2}} \end{eqnarray*}$

äh und nu?? Meine tolle Musterlösung sagt mir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \end{eqnarray*}$ vorraus. Was habe ich übersehen?

14.02.2006, 18:25

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die innere Ableitung der Wurzel vergessen.

14.02.2006, 18:51

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sammy2ooo
okay, die ist mir zu schwer für den Anfang:

Was!? Geht doch alles stur nach Regel. Was ist denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) = x^n \end{eqnarray*}$ ?

14.02.2006, 20:04

sammy2ooo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von sammy2ooo
okay, die ist mir zu schwer für den Anfang:

Was!? Geht doch alles stur nach Regel. Was ist denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) = x^n \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{n} f'(x) = n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = ln(x + \sqrt{1 + x^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} * (1 + \frac{1}{2\sqrt{1 + x^{2}}}) *2x= \frac{2x\sqrt{1 + x^{2}} + x}{x\sqrt{1 + x^{2}} + 1 + x^{2}} \end{eqnarray*}$ und jetzt steh ich wieder unglücklich

ich könnte zwar noch ein x ausklammern nur sehe ich nicht wie mich das weiterbringen könnte

$\begin{eqnarray*} \frac{2\sqrt{1 + x^{2}} + 1}{\sqrt{1 + x^{2}} + x^{-1} + x} \end{eqnarray*}$

15.02.2006, 08:45

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sammy2ooo
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{n} f'(x) = n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

OK. Dann nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} f(x) = (cos(x))^n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von sammy2ooo
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} * (1 + \frac{1}{2\sqrt{1 + x^{2}}}) *2x \end{eqnarray*}$

Mit der Kettenregel hast du nciht, oder? Augenzwinkern

Richtig ist:
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} * (1 + \frac{2x}{2\sqrt{1 + x^{2}}}) \end{eqnarray*}$ denn die 2x ist die innere Ableitung von dem Teil unter der Wurzel.

15.02.2006, 14:27

sammy2ooo

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} * (1 + \frac{2x}{2\sqrt{1 + x^{2}}}) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}} + x}{x\sqrt{1 + x^{2}} + 1 + x^{2} } \end{eqnarray*}$ ich mach solange bis ich das Ergebnis rausbekomm smile

@klarsoweit
nein, mit der Kettenregel hab ichs wirklich nicht sonderlich

15.02.2006, 14:42

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du auf den letzten Term kommst, kann ich nicht erkennen. Also es gilt:
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot (1 + \frac{2x}{2\sqrt{1 + x^2}}) = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch kürzen und fertig.

Neue Frage »

Antworten »

Ableiten von e^x

Verwandte Themen