Qudarik Aufgabe

14.02.2006, 22:09	Magge	Auf diesen Beitrag antworten »
Qudarik Aufgabe Hallo alle zusammen. Ich bin grad in der Vorbereitungsphase auf die Scheinklausur in HM I. Und da hab ich so ne Aufgabe mit ner Quadrik gerechnet. jetzt würde ich gerne wissen ob mein Ergebnis stimmt. Wenn also mal jemand zeit und Lust hat wäre es echt nett, wenn das jemand nachrechnen könnte. Mein Ergebnis: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x²+(1-2 \alpha )\frac{1}{2}y²=0 \end{eqnarray}$ Also hier die aufgabe: Gegeben sei der Kegelschnitt $\begin{eqnarray} K(\alpha ) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} (1-\alpha )x²+2\alpha xy+(1-\alpha )y²-2\alpha=0 \end{eqnarray}$ Geben sie die Normalform von $\begin{eqnarray} K(\alpha ) \end{eqnarray}$ an. Ich bedanke mich schon mal für eure Bemühungen. Gruß
14.02.2006, 23:07	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werd das Beispiel mal morgen durchrechnen. Schreib ja am DO Lina II da brauch ich das auch, aber wär schonmal Ok wenn Du Matrizen (incl. transformation) etc. angeben würdest zum Vergleich.
15.02.2006, 10:16	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komm auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x²+(1-2 \alpha )\frac{1}{2}y²=\alpha \end{eqnarray}$ Setze $\begin{eqnarray} D = \begin{pmatrix} -2\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - 2\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y = Px \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} y = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{x_1 + x_2}{\sqrt{2}} \\ \frac{-x_1 + x_2}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} y^TDy = -2\alpha + y_2^2 + (1 - 2\alpha)y_3^2 \end{eqnarray}$ Umgeformt kommt man auf das was ich habe. Wie sieht den Deine Diagonalmatrix aus und wie Deine Transformationsmatrizen?
15.02.2006, 15:48	Magge	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke das du dir die Mühe gemacht hast das mal zu rechnen. Warum hast du drei Eigenwerte? Das ganze spielt sich doch im R² ab. Oder? Und warum man die Diagonalmatrix braucht ist mir nicht ganz klar. Kann mir nur denken, dass man damit Prüft, ob die Matrix aus den Eigenvektoren ein Hauptachsensystem bilden, denn nur dann gibt es eine Diagonalmatrix. Wenn ich mich nicht irre. Aber hier mal meine Transformationsmatrix: 1/sqrt(2) 1/sqrt(2) 1/sqrt(2) -1/sqrt(2) War mir mit dem Formeleditor zu umständlich.
15.02.2006, 16:59	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte Dir ja die Umformungen schon in dem anderen Thread gepostet. Zunächst schreiben wir die Quadrik als $\begin{eqnarray} x^TAx + b^Tx + c \end{eqnarray}$ Wobei A hier $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 - \alpha & \alpha \\ \alpha & 1 - \alpha \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist und b leicht zu sehen 0. $\begin{eqnarray} c = -2\alpha \end{eqnarray}$ Man überprüft jetzt sehr leicht das $\begin{eqnarray} K(\alpha) = x^TAx - 2\alpha \end{eqnarray}$ Jetzt bilden wir die erweiterte Koeffizientenmatrix $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} c & b^T \\ b & A \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} -2\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \alpha & \alpha \\ 0 & \alpha & 1 - \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn man jetzt $\begin{eqnarray} y = \begin{pmatrix} 1 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ setzt sieht man leicht das $\begin{eqnarray} K(\alpha) = y^TBy \end{eqnarray}$ ist. So, die Matrix ist symmetrisch, das heißt sie ist orthonormal Diagonalisierbar (es existiert eine ONB aus EV). Sei P die Transformationmatrix mit $\begin{eqnarray} P^TBP = D \end{eqnarray}$ Setzt man nun z = Py dann ergibt sich $\begin{eqnarray} y^TP^TDPy = z^TDz \end{eqnarray}$ So, die erste z Koordinate ist 1 den Rest nennen wir z1,z2. Wie die in x-Koordinaten aussehen können wir anhand der Rückführung von P bestimmen. Zumindest ist $\begin{eqnarray} z^TDz = -2\alpha + z_1^2 + (1-2\alpha)z_2^2 \end{eqnarray}$ damit ist die Normalform $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}z_1²+(1-2 \alpha )\frac{1}{2}z_2²=\alpha \end{eqnarray}$ Übrigens Deine Transformationsmatrizen sind genau der untere Block der Matrix P.

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