Riesen Problem mit Herleitung Summenregel

15.02.2006, 11:23

Milchshake

Riesen Problem mit Herleitung Summenregel

Hallo ihr Profis,

Ich muss eine Belegarbeit auf dem Gymnasium schreiben, da ich vergangenes Jahr im LK 4 Punkte hatte und mich nun nächsten Kurs verbessern muss. Ich fühle mich besser in MAthe als ich bin... Naja...

Soooo und nun wollte ich anfangen und ich scheitere schon an Aufgabe 1.

Also das Gesamtthema ist Kurvendiskussion.

1. Leiten Sie die Summenformel mit Hilfe des Differentialquatienten her.

Ich denke mir so "uuffffff" "manoman" usw.

Kann mir bitte jemand helfen?

15.02.2006, 11:32

klarsoweit

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RE: Riesen Problem mit Herleitung Summenregel
Dann schreib mal hin, wie die Ableitung über den Differentialquotienten definiert ist und was du beweisen möchtest.

15.02.2006, 11:44

Milchshake

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Hallo,

vielen Dank für die rasent schnelle Antwort.

Ich verstehe deine Frage nicht! Diese Aufgabe ist Haargenau so wie ich sie gepostet habe!

Also soweit ich das weiß ist doch die Summenregel

y= u +- v --> y´= u´+- v`

Da soll ich mit Hilfe des Differentialquatienten herleiten. nur leider weiß ich auch nichts mit dem Differenzialquatienten anzufangen!

15.02.2006, 11:45

rain

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deine funktion sieht so aus: $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)+k(x) \end{eqnarray*}$
vllt hilfts dir ja n bissle.

edit: bisschen zu spät Wink

15.02.2006, 11:48

Milchshake

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Trotzdem danke!!!

Aber ich weiß immer noch nichts mit dieser Aufgabe anzufangen! traurig

15.02.2006, 11:52

klarsoweit

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Der Differentialquotient:
Sei f auf einer Umgebung von x0 definiert. Die Funktion heißt differenzierbar an der Stelle x0,
genau dann, wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ existiert.

So. Jetzt mußt du schauen, wenn du eine Funktion f(x) = g(x) + h(x) hast, wie dann der Differentialquotient ausschaut.

15.02.2006, 11:59

Milchshake

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Zitat:

Original von klarsoweit
Der Differentialquotient:
Sei f auf einer Umgebung von x0 definiert. Die Funktion heißt differenzierbar an der Stelle x0,
genau dann, wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Also h strebt ja gegen 0! Setzte ich dann für X0 in der Gleichung 0 ein? Oder einen Parameter, da ich ja keinen genauen X0 Wert gegeben habe?

15.02.2006, 12:12

mYthos

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Nein ..

Es ist einfacher: Wende die o.a. Definition des Differentialquotienten auf die Summenfunktion an und trenne das Ergebnis dann wieder auf die Einzelfunktionen ...

Gr
mYthos

15.02.2006, 12:27

Milchshake

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Danke auch dir für deine Antowort!

Uff jetzt wird schwer, ich verstehe irgendwie nur Bahnhof!!!!

Ich soll also

Zitat:

auf y= u +- v --> y´= u´+- v`anwenden?? Wie stelle ich das an? Sorry aber brauche noch ein (paar) Denkanstöße.

15.02.2006, 12:32

mYthos

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Zitat:

Original von Milchshake
Danke auch dir für deine Antowort!

Uff jetzt wird schwer, ich verstehe irgendwie nur Bahnhof!!!!

Ich soll also

Zitat:

auf y= u +- v --> y´= u´+- v`anwenden?? Wie stelle ich das an? Sorry aber brauche noch ein (paar) Denkanstöße.

Sei die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x):= u(x) + v(x) \end{eqnarray*}$

Dann ist deren Differentiallquotient

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h) + v(x_0 + h) - u(x_0) - v(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

So, und nun das wieder in die Summanden trennen, du weisst ja, was herauskommen soll ? Und schon bist du fertig!

15.02.2006, 12:42

Milchshake

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also wäre das der nächste Schritt??

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) :=\lim_{h\to 0} \ {ux_0+uh+vx_0+vh-ux_0-vx_0} \end{eqnarray*}$ durch h

15.02.2006, 12:55

mYthos

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Zitat:

Original von Milchshake
also wäre das der nächste Schritt??

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) :=\lim_{h\to 0} \ {ux_0+uh+vx_0+vh-ux_0-vx_0} \end{eqnarray*}$ durch h

No, no, no!

$\begin{eqnarray*} u(x_0 + h) \end{eqnarray*}$ kannst nicht "ausmultiplizieren"!
Das bedeutet nämlich: Der Funktionswert von u an der STELLE $\begin{eqnarray*} (x_0 + h) \end{eqnarray*}$

Unter Trennen nach Summanden ist zu verstehen, dass die u - Terme und die v-Terme zu trennen sind, dann siehst es schon. Im Zähler kommt dann

$\begin{eqnarray*} u(x_0 + h) - u(x_0) + v(x_0 + h) - v(x_0) \end{eqnarray*}$ ....

Funkt's jetzt?

15.02.2006, 13:03

Milchshake

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Nein leider hat es nicht gefunkt!

Was soll das Umschreiben bringen, in endeffekt steht dann doch noch das selbe da nur in anderer Reihenfolge??!!!

meinst du das man das dann:

lim h gegen 0 u(x0+h-x0)/h+v0(x0+h-x0)/h

machen muss?? Aber das bringt doch auch nichts!!

15.02.2006, 13:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von Milchshake
lim h gegen 0 u(x0+h-x0)/h+v0(x0+h-x0)/h

Wie du auf diesen Term kommst, ist mir ein Rätsel. Du mengst da irgendwie irgendwas zusammen ohne Rücksicht auf Verluste. unglücklich

Ordentlich hingeschrieben müsste es lauten:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h) + v(x_0 + h)- u(x_0) - v(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h)- u(x_0)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{v(x_0 + h)- v(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$
Der Rest liegt auf der Hand.

15.02.2006, 13:20

mYthos

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Genau! Und das bringt es auf den Punkt, denn jetzt wurde gezeigt, dass mit

$\begin{eqnarray*} (u + v)(x) := u(x) + v(x) \end{eqnarray*}$

gilt:

$\begin{eqnarray*} (u(x)+v(x))' = f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{(u+v)(x_0 + h) - (u+v)(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h) + v(x_0 + h) - u(x_0) - v(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h) - u(x_0) + v(x_0 + h) - v(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h) - u(x_0)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{v(x_0 + h) - v(x_0)}{h} = u'(x) + v'(x) \end{eqnarray*}$

Weil es einfach ist, ist es manchmal nicht so naheliegend ...

@klarsoweit:

Crossposting traurig

Milchshake hat den Term nur schlampig aufgeschrieben, aber im Prinzip das Richtige gemeint.

Gr
mYthos

15.02.2006, 16:22

Milchshake

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Zitat:

Milchshake hat den Term nur schlampig aufgeschrieben, aber im Prinzip das Richtige gemeint.

Das meint mein Mathelehrer auch immer, Punkte gibt er mir trotzdem keine! Big Laugh

Riesigen Dank jedenfalls schon mal an euch. Wenn ich mir das jetzt so angucke siehts logisch aus.

Auch wenns jetzt für Profis wie euch ne echt dumme Frage ist, was an der Aufgabe ist jetzt der Differenzialquotient.

Trotzdems es mir logisch erscheint, warum wird
$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h) - u(x_0)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{v(x_0 + h) - v(x_0)}{h} = u'(x) + v'(x) \end{eqnarray*}$
das so umgewandelt??

$\begin{eqnarray*} 1/h \end{eqnarray*}$ wird doch wie Nul gehand habt, oder? Dann müsste eigentlich alles Null sein!

15.02.2006, 16:28

lego

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das interessante am differentialquotienten ist ja, dass man versucht, den term oberhalb des bruchstriches so umzuformen, dass man das h irgendwann wegkürzt und den grenzübergang problemlos durchführen kann, ohne dass der nenner gegen 0 geht.

wenn du es noch genauer brauchst geb ich dir ein beispiel, aber vielleicht weißt du ja jetzt schon, was gemeint ist.

Ok: hier ein beispiel:

wir wollen die funktion f(x)=x^2 differenzieren

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{2xh+h^2}{h} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{h*(2x+h)}{h} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} (2x+h) \end{eqnarray*}$

nun der grenzübergang

und somit ist:

f'(x)=2x

so wie ihr das bestimmt schon kennt

15.02.2006, 16:51

Milchshake

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Aja... *lichtaufgeh*

ABER: Ich erkenne nicht wie sich im o.g. letzten Abschnitt das h wergkürzt!

15.02.2006, 17:23

lego

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im vorletzten schritt, ich kann aus dem gesamtausdruck das h rausheben, und kürze es mit dem h ausm nenner weg

17.02.2006, 00:18

mYthos

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Ich denke, Milchshake unterliegt einem grundsätzlichen Mißverständnis.
Es geht hier - für den Beweis - nicht darum, den Grenzwert zu BERECHNEN, sondern nur ANZUSCHREIBEN. Die Funktionen u(x) und v(x) sind ja nicht explizit gegeben, also lässt sich in diesem Stadium der Grenzwert auch noch nicht berechnen

Wir wissen: Der Grenzwert einer Summe ist die Summe der Grenzwerte, welchen Wert diese im Einzelnen haben, ist dafür nicht von Belang.

Die h - Methode (oder auch die binomische mit $\begin{eqnarray*} x_2 - x_1 \end{eqnarray*}$ ) zu kennen und auszuwerten, ist nett, aber bei dieser Frage ein anderes Thema. Hier ist nur zu zeigen, wie man den Differentialquotienten einer Summe in jenen der Summanden darstellt. Deswegen genügen bereits die angeschriebenen Limiten der Funktionen u(x) und v(x), ohne sich jetzt Gedanken darüber zu machen, wie diese später (im speziell gegebenem Fall) zu ermitteln sind.

Gr
mYthos

17.02.2006, 11:28

Milchshake

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Naja eine Herleitung ist doch etwas anderes als ein Beweis, oder??

Wenn ich das jetzt alles richtig verstanden, bzw. nachvollzogen habe ist das nun der komplette BEweis? Muss man dabei irgendeine Form beachten, fehlt vielleicht die bedingung

= $\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$
= = $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h) + v(x_0 + h) - u(x_0) - v(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h) - u(x_0) + v(x_0 + h) - v(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h) - u(x_0)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{v(x_0 + h) - v(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} u'(x) + v'(x) \end{eqnarray*}$

Muss man dabei irgendeine Form beachten, fehlt vielleicht die Bedingung

$\begin{eqnarray*} f(x) = u(x) +- v(x) \end{eqnarray*}$ --> f´(x)= u´(x) +- v´(x)

Wobei das ja eigentlich keine Bedingung sein dürfte, da ich das ja eigentlich herleiten muss. Ich bin verwirrt!

17.02.2006, 11:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Milchshake
= $\begin{eqnarray*} u'(x) + v'(x) \end{eqnarray*}$

Das muß heißen: $\begin{eqnarray*} u'(x_0) + v'(x_0) \end{eqnarray*}$
Und wenn du noch die f'(x0) zwischendurch wegläßt, weil die eher verwirren als helfen, sieht das doch ganz gut aus.

Nochmal zu tieferen Logik des Beweises:
Vorausgesetzt wird, daß u und v in x0 differenzierbar sind. Deswegen existieren die Grenzwerte der jeweiligen Differenzenquotienten (siehe vorletzte Zeile im Beweis). Aufgrund von Grenzwertsätzen darf man die zusammenführen und das ergibt den Differenzenquotienten für die Funktion f im Punkt x0. Da dieser Grenzwert existiert, ist also f in x0 differenzierbar. Der eigentliche Beweis geht also im Grunde rückwärts.

Für f(x) = u(x) - v(x) gilt analoges. Du kannst die Summenregel nutzen, indem du g(x) := -1 * v(x) setzt. Dann hast du f(x) = u(x) + g(x) und wegen der Summenregel ist f'(x) = u'(x) + g'(x) und g'(x) = -1 * v'(x) wegen der Faktorregel. Die muß natürlich vorher bewiesen worden sein.

17.02.2006, 12:19

Milchshake

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Vielen Dank,

speziell Mythos und klarsoweit, ihr 2 habt mir sehr weitergeholfen! Aber so wie ich bis jetzt in der Belegarbeit weitergekommen bin, brauche ich wohl nochmal eure hilfe! Wink

17.02.2006, 12:37

lego

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mir war klar, dass es in diesem topic um etwas anderes geht. aber nach der frage, was der grenzwert bringen soll, da das h im nenner ja immer gegen 0 geht, habe ich daraus geschlossen, dass er noch nie gesehen hat, was es mit dem differentialquotienten überhaupt auf sich hat, bzw für was der überhaupt da ist.

aus diesem grund habe ich ein sehr einfaches beispiel gepostet und dieses auch als komplettlösung angegeben, weil ich wusste, dass es in diesem topic ja um etwas anderes geht.

ich denke, um sinnvoll diese summenregel beweisen zu können, sollte man zu mindest einmal die motivation zum differentialquotienten kennen und wenigstens eine funktion mal auf diese art abgeleitet haben.

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