Dichtefunktion

16.02.2006, 21:38

aRo

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Dichtefunktion

Hallo!

Ich weiß, dass ich zur Dichtefunktion schonmal was gefragt habe, aber leider habe ich das damals nicht verstanden unglücklich

unglücklich

Ich habe mir auch nochmal hier ein bsischen in den Threads rumgelesen, aber auch da werde ich nicht so richtig klug draus, ich hoffe jmd. nimmt sich meiner noch einmal an smile

smile

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} f_c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_c(t) =\begin{pmatrix} ct\cdot e^{-t} ; t>0 \\ 0 ; sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) ist fc(t) eine DIchtefunktion?

Dafür muss ich doch zeigen, dass fc(t) für alle t >0 ist und die FLäche von -unendlich bis +unendlich 1 ergibt, richtig?
Da habe ich dann raus, dass c=1 sein muss, damit das alles gilt. Das ist zwar richtig, aber ich bin mir nicht ganz sicher, warum es erlaubt war die untere Grenze = 0 zu setzen. t ist doch >0?
Wenn die FUnktion noch aus weiteren "Stücken" bestände, müsste ich die dann irgendwie alle addieren?

Jetzt soll ich die Verteilungsfunktion angeben, und das ist mein großes Problem!
Wie mach ich das genau? Gibts da eine standard-vorgehens-strategie? Vor allem: wie finde ich diese Konstanten, die man eventuell noch hinzu addieren muss?!!

Ich hoffe jmd. kann mir helfen,
aRo

16.02.2006, 21:56

papahuhn

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RE: Dichtefunktion

Zitat:

Original von aRoDafür muss ich doch zeigen, dass fc(t) für alle t >0 ist und die FLäche von -unendlich bis +unendlich 1 ergibt, richtig?

Zusätzlich muss die Dichtefunktion stets nichtnegativ sein. Wenn sie stückweise definiert ist, musst du halt stückweise integrieren und dann alles aufaddieren. Die Verteilungsfunktion ist einfach $\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x~f(t)dt \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Dichtefunktion ist.

16.02.2006, 21:59

aRo

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wieso obere Grenze = x?

aRo

16.02.2006, 22:51

papahuhn

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Schau mal bei Wikipedia vorbei.

17.02.2006, 14:21

aRo

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ach, ich verstehe was du meinst.

Du meinst $\begin{eqnarray*} P(x\leq a ) = \int_{-\infty }^{a}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$ oder?

Ich meine aber eine Verteilungsfunktion wie die hier:

$\begin{eqnarray*} F_1(t) = \begin{pmatrix} -te^{-t} -e^{-t}+1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie komme ich da auf die +1? Worauf muss ich da achten und so?

Gruß,
aRo

17.02.2006, 14:36

papahuhn

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Was soll das sein, eine mehrdimensionale Zufallsverteilung? Da muss ich passen, nie gesehen.

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17.02.2006, 14:49

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@aRo

Ganz offenbar meinst du

$\begin{eqnarray*} F_1(t) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; t\leq 0\\ -te^{-t} -e^{-t}+1 & \;\mbox{für}\; t>0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

als zugehörige Verteilungsfunktion zur Dichte

$\begin{eqnarray*} f_1(t) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; t\leq 0\\ te^{-t} & \;\mbox{für}\; t>0 \end{cases}. \end{eqnarray*}$

Zunächst betrachtest du das schon angesprochene $\begin{eqnarray*} F_1(x) = \int\limits_{-\infty}^x ~ f_1(t)~ \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ . Da wird nur über Null integriert, kann nur wieder Null ergeben für alle $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ , speziell auch für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , es ist also $\begin{eqnarray*} F_1(0)=0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ hilft dann die ebenfalls schon angesprochenen Aufteilung des Integrals:

$\begin{eqnarray*} F_1(x) = \int\limits_{-\infty}^x ~ f_1(t)~ \mathrm{d}t = \int\limits_{-\infty}^0 ~ f_1(t)~ \mathrm{d}t ~ + ~ \int\limits_0^x ~ f_1(t)~ \mathrm{d}t = F_1(0) ~ + ~ \int\limits_0^x ~ f_1(t)~ \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

Und dann ganz normal das bestimmte (!) Integral auswerten, da kommt der Summand 1 dann ganz automatisch rein.

17.02.2006, 15:19

aRo

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aah...ich muss also auch bei der Verteilungsfunktion zur Dichte immer "von links hochaddieren"?

dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ was ihr da stehen habt, ist das jetzt so ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wie ich das meinte?

und um auf die Verteilungsfunktion zu kommen, muss ich x ja dann t setzten, oder?

aRo

17.02.2006, 19:11

bil

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Zitat:

Original von aRo
dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ was ihr da stehen habt, ist das jetzt so ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wie ich das meinte?

so wie du mit dem a das vorher beschrieben hast, ist es auch richtig. kann man so machen wie man will.

Zitat:

und um auf die Verteilungsfunktion zu kommen, muss ich x ja dann t setzten, oder?

du integrierst ganz normal über t. aber dein integral läuft von 0 bis x. also hast du am ende eine funktion in x.

gruss bil

18.02.2006, 13:36

aRo

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@bil: was bedeutet genau "eine Funktion in x"?

also ich habe mir das jetzt so gedacht:
$\begin{eqnarray*} F_1(x) = \int\limits_{-\infty}^x ~ f_1(t)~ \mathrm{d}t = \int\limits_{-\infty}^0 ~ f_1(t)~ \mathrm{d}t ~ + ~ \int\limits_0^x ~ f_1(t)~ \mathrm{d}t = F_1(0) ~ + ~ \int\limits_0^x ~ f_1(t)~ \mathrm{d}t = \end{eqnarray*}$

das ist dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x}~t \cdot e^{-t}~dt = [-t \cdot e^{-t}]_{0}^x + \int_{0}^{x}~e^{-t}~dt = [-t \cdot e^{-t} - e^{-t}]_{0}^x \end{eqnarray*}$

soo...und wenn ich jetzt für x t einsetzte bekomme ich meine Verteilungsfunktion. Ich weiß also nicht genau, wieso ich die obere Grenze als x haben muss. Ich hätte doch dann als Ergebnis eigentlich stehen: $\begin{eqnarray*} -x \cdot e^{-x} - e^{-x} +1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß,
aRo

18.02.2006, 23:05

aRo

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ich weiß nicht, ob es so eine gute Idee von mir war, mich nochmal an einer anderen Funktion zu versuchen, aber naja, ich habs mal getan, vielleicht durchschaut ihr dann mehr meine Probleme:

$\begin{eqnarray*} f_c(t) = \begin{cases} ct & \;\mbox{für}\; 0\leq t \leq 2\\ c(4-t) & \;\mbox{für}\; 2<t \leq 4 \\0 & \;\mbox{für}\; sonst \end{cases}. \end{eqnarray*}$

1. Schritt: Ich muss zeigen, dass die Funktion überall >= 0 ist.
1. Zeile ist größer oder gleich null, wenn c größer oder gleich null ist
2. Zeile ebenfalls für c >= 0
3. zeile sowieso immer null.

Damit wäre gezeigt, dass diese Voraussetzung für c>=0 erfüllt ist.

2.Schritt:
Ich muss ein c so bestimmen, dass die gesamte Fläche 1 ergibt, das habe ich mir dann so gedacht:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty }~f_c(t)~dt = \int_{-\infty }^{0}~f_c(t)~dt + \int_{0 }^{2 }~f_c(t)~dt +\int_{2 }^{4}~f_c(t)~dt + \int_{4}^{\infty }~f_c(t)~dt \end{eqnarray*}$

bleibt übrig:
$\begin{eqnarray*} \int_{0 }^{2 }~f_c(t)~dt +\int_{2 }^{4}~f_c(t)~dt = \int_{0 }^{2 }~ctdt +\int_{2 }^{4}~c(4-t)~dt \end{eqnarray*}$

wenn ich das integriere komme ich an $\begin{eqnarray*} 4c \end{eqnarray*}$ . ALso müsste $\begin{eqnarray*} c=0.25 \end{eqnarray*}$ sein. Ich glaube das Ergebnis stimmt, ist denn auch mein Weg so korrekt? Möchte nciht dass mein Lehrer mir deswegen Punkte abzieht.

Jetzt kommt wieder mein groooßes Problem, diese dumme Verteilungsfunktion. Mich irritiert dieses x da in der oberen Grenze. Und jetzt muss ich ja sogar auch noch die Verteilungsfunktion splitten. Es wär super nett, wenn mir das nochmal einer zeigen könnte. Vielleicht auch meinen vorherigen Post nochmal kommentieren würde.

Wär super, wenn ich das bis Mittwoch (da ist meine Klausur) auch könnte!

Gruß,
aro

18.02.2006, 23:22

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Bis jetzt ist alles richtig, wir gehen also im folgenden von

$\begin{eqnarray*} f(t) = f_{1/4}(t) = \begin{cases} \frac{t}{4} & \;\mbox{für}\; 0\leq t \leq 2\\ \frac{4-t}{4} & \;\mbox{für}\; 2<t \leq 4 \\0 & \;\mbox{sonst} \end{cases}. \end{eqnarray*}$

aus. Und jetzt wie oben schon dargestellt, einfach von links kommend alle Bereiche integrieren:

1) Für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ ist offenbar $\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x ~ f(t) ~ \mathrm{d}t = 0 \end{eqnarray*}$ .

2) Für $\begin{eqnarray*} 0<x\leq 2 \end{eqnarray*}$ erfolgt wieder so eine Zerlegung:

$\begin{eqnarray*} F(x) = F(0) + \int\limits_0^x ~ f(t) ~ \mathrm{d}t = 0 + \int\limits_0^x ~ \frac{t}{4} ~ \mathrm{d}t = \frac{x^2}{8} \end{eqnarray*}$

3) Für $\begin{eqnarray*} 2<x\leq 4 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} F(x) = F(2) + \int\limits_2^x ~ f(t) ~ \mathrm{d}t = \frac{2^2}{8} + \int\limits_2^x ~ \frac{4-t}{4} ~ \mathrm{d}t = \frac{1}{2} + \bigg[ -\frac{(4-t)^2}{8} \bigg]_{t=2}^x = 1-\frac{(4-x)^2}{8} \end{eqnarray*}$

4) Und schließlich für $\begin{eqnarray*} x>4 \end{eqnarray*}$ der Rest

$\begin{eqnarray*} F(x) = F(4) + \int\limits_4^x ~ f(t) ~ \mathrm{d}t = 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt klar?

P.S.: Man möge mir das Verraten der Lösung verzeihen, aber einmal muss man so eine Rechnung wohl mal als Demonstration gesehen haben...

19.02.2006, 12:03

aRo

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also wäre folgendes meine Verteilungsfunktion?

$\begin{eqnarray*} F_{1/4}(t)= \begin{cases} \ 0 & \;\mbox{für}\; t<0 \\ \frac{t^2}{8} & \;\mbox{für}\; 0\leq t \leq 2\\ 1-\frac{(4-t)^2}{8} & \;\mbox{für}\; 2<t \leq 4 \\1 & \;\mbox{für}\; t>4 \end{cases}. \end{eqnarray*}$

ich glaube dann hätte ich es verstanden! Und wenn ich jetzt Wahrscheinlichkeiten ausrechnen wollen würde, musste ich wahrscheinlich wieder hochsummieren, oder? Nehmen wir mal an ich möchte berechnen:
$\begin{eqnarray*} P(1.5\leq x\leq 3) = \int_{-\infty }^{0}~f_{1/4}(t)~dt +\int_{0}^{2}~f_{1/4}(t)~dt +\int_{2}^{3}~f_{1/4}(t)~dt - [ \int_{-\infty }^{0}~f_{1/4}(t)~dt +\int_{0}^{1.5}~f_{1/4}(t)~dt] \end{eqnarray*}$

wäre das dann: $\begin{eqnarray*} [\frac{t^2}{8} ]_{0}^2 + [1-\frac{(4-t)^2}{8} ]_{2}^3 - [\frac{t^2}{8} ]_{0}^{1.5} = 0.59375 \end{eqnarray*}$ ??

wär klasse wenn ihr eventuelle Fehler noch verbessern könntet, und wenn keine da sind, mir vielleicht ne Übungsaufgabe geben könntet. Denn das waren alle, die wir bekommen haben.. unglücklich

unglücklich

aRo

19.02.2006, 12:11

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Jetzt, wo du die Verteilungsfunktion vorliegen hast, rechnest du einfach

$\begin{eqnarray*} P(1.5\leq x\leq 3) = F(3)-F(1.5) \end{eqnarray*}$

Deshalb ja der ganze Aufwand. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2006, 12:20

aRo

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lol

Augenzwinkern

aber mein ergebnis hat ja wenigstens gestimmt. Also kann es vorkommen, dass ich die Verteilungsfunktion noch weiter aufsplitten muss, so wie hier?

Übungsaufgabe hast du auch keine, oder?

aRo

19.04.2006, 14:21

aRo

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ich wollte nochmal kurz nachfragen, ob mein Erwartungswert und meine Varianz hier stimmen:

$\begin{eqnarray*} E(x) = \int_{-\infty }^{\infty }~f_{1/4} \cdot t~dt = \int_{0}^{2}~t^2/4~dt +\int_{2}^{4}~\frac{4-t}{4}\cdot t ~dt = 2 \end{eqnarray*}$

wobei man -unendlich bis 0 und 4 bis unendlich weglassen kann, weil hier die Fläche sowieso null ist.

Und die Varianz hat die gleichen Integral grenzen nur,dass halt vor dem jeweiligen f1/4(t) noch (t-2)^2 kommt. Das Ergebnis ist hier dann $\begin{eqnarray*} 2/3 \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

und das hier:
"wobei man -unendlich bis 0 und 4 bis unendlich weglassen kann, weil hier die Fläche sowieso null ist." ist so auch richtig, oder?

19.04.2006, 14:47

AD

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Ja, alles richtig.

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